运筹学讲义2

第二部分动态规划（Dymamic Programming）

第三章动态规划

动态规划是解决一类多阶段决策问题的优化方法，也是考察问题的一种途径，而不是一种算法（如LP单纯形法）。因此它不象LP那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。

动态规划方法是现代企业管理中的一种重要决策方法。如果一个问题可将其过程划分为若干个相互联系的阶段问题，且它的每一阶段都需进行决策，则这类问题均可用动态规划方法进行求解。

根据多阶段决策过程的时序和决策过程的演变，动态规划方法有以下四种类型：离散确定性、离散随机性、连续确定性和连续随机性。

§1动态规划的基本概念和最优化原理

一、引例（最短路线问题）

上图是一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离（或费用），试求一条由A到E的铺管线路，使总距离最短（或总费用最小）。

将该问题划分为4个阶段的决策问题，即第一阶段为从A到B j（j=1，2，3），有三种决策方案可供选择；第二阶段为从B j到C j（j=1,2,3），也有三种方案可供选择；第三阶段为从C j到D j(j=1,2)，有两种方案可供选择；第四阶段为从D j到E，只有一种方案选择。如果用完全枚举法，则可供选择的路线有3

×3×2×1=18（条），将其一一比较才可找出最短路线：

A →

B 1→

C 2→

D 3→E

其长度为15。

显然，这种方法是不经济的，特别是当阶段数很多，各阶段可供的选择也很多时，这种解法甚至在计算机上完成也是不现实的。

由于我们考虑的是从全局上解决求A 到E 的最短路问题，而不是就某一阶段解决最短路线，因此可考虑从最后一阶段开始计算，由后向前逐步推至A 点：

第四阶段，由D 1到E 只有一条路线，其长度f 4（D 1）=4，同理f 4（D 2）=3。 第三阶段，由C j 到D i 分别均有两种选择，即

()()()103846min min 2421141113=??

????++=???

???++=*D f D C D f D C C f ，决策点为D 1 ()()()735*43min min 242

2141223=??????++=??????++=D f D C D f D C C f ,决策点为D 1 ()()()83548min min 2423141333=?

??

???++=??

????++=*D f D C D f D C C f ，决策点为D 2 第二阶段，由B j 到C j 分别均有三种选择，即：

()()()()108673101min min *33332322131112=??

???

?????+++=????

??????+++=C f C B C f C B C f C B B f ，决策点为C 2 ()()()()148677108min min *33332322132222=?????

?????+++=??????????+++=*

C f C B C f C B C f C B B f ，决策点为C 2或C 3 ()()()()118674102min min *33332323131332=??

???

?????+++=????

??????+++=C f C B C f C B C f C B B f ，决策点为C 2 第一阶段，由A 到B ，有三种选择，即：

()()()()151********min min 5252222211=??

???

?????+++=????

??????+++=*B f AB B f AB B f AB A f ，决策点为B 1 f 1(A=15)说明从A 到E 的最短铺管线长为1，最短路线的确定可按计算顺序反推而得。即

A →

B 1→

C 2→

D 1→E

图中各点上方框的数，表示该点到E 的最短距离。图中双箭线表示从A 到E 的最短路线。

从引例的求解过程可以得到以下启示：

①对一个问题是否用上述方法求解，其关键在于能否将问题转化为相互联系的多个阶段的决策问题。

所谓多阶段决策问题是：把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。如下图所示：

②在处理各阶段决策的选取上，不仅只依赖于当前面临的状态，而且还要

注意对以后的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的问题。

③各阶段选取的决策，一般与“时序”有关，决策依赖于当前的状态，又随即引起状态的转移，整个决策序列就是在变化的状态中产生出来，故有“动态”含义。因此，把这种方法称为动态规划方法。

④决策过程是与阶段发展过程逆向而行。 二、动态规划的基本概念

1、阶段。阶段的划分，一般根据时序和空间的自然特征来划分，但要便于把问题的过程能转化为阶段决策的过程。描述阶段的变量称为阶段变量，常用自然数k 表示。如引例可划分为4个阶段求解，k=1，2，3，4。

2、状态。状态就是阶段的起始位置。它既是该阶段某支路的起点，又是前一阶段某支路的终点。

（1）状态变量和状态集合。描述过程状态的变量称为状态变量。它可用一个数、一组数或一向量（多维情形）来描述，常用S k 表示第k 阶段的状态变量。通常一个阶段有若干个状态。第k 阶段的状态就是该阶段所有始点的集合。如引例中

{}A S =1，{}3212,,B B B S =，{}3213,,C C C S =，{}214,D D S =

（2）状态应具有无后效性（即马尔可夫性）。即如果某阶段状态给考虑，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各阶段状态的影响。

在构造决策过程的动态规划模型时，不能仅由描述过程的具体特征这点去规定状态变量，而要充分注意是否满足无后效性要求。

3、决策与决策变量。在某阶段对可供选择状态的决定（或选择），称为决策。描述的变量称为决策变量。常用d k (S k )表示第k 阶段处于状态S k 时的决策变量，它是状态变量的函数。决策变量允许取值的范围，称为允许决策集合，常用D k (S k )表示。显然d k （S k ）∈D k (S k )。

如在引例的第一阶段中，若从B 1出发，D 2（B 1）={}321,,C C C ，如果决定选取C 2，则d 2（B 1）=C 2。

4、策略与子策略。策略是一个决策序列的集合。当k=1时，P in （S 1）=()()(){}n n S d S d S d ,,2211就称为全过程的一个策略，简称策略，简记为P in (S 1).

称P k,n (S k )= ()()(){}n n k k k k S d S d S d ,,1121++为由第k 阶段开始到最后阶段止的一个子策略，简称后部子策略。简记为P k,n (S k )

称可供选择策略的范围，为允许策略集，用P 表示。 动态规划方法就是要从允许策略集P 中找出最优策略P in *。

5、状态转移方程。它是确定过程由某一阶段的一个状态到下一阶段另一状态的演变过程，用S k+1=T k (S k ,d k )表示。该方程描述了由第k 阶段到第k+1阶段的状态转移规律。因此又称其为状态转移函数。

6、阶段指标、指标函数和最优指标函数

（1）衡量某阶段决策效益优劣的数量指标，称为阶段指标，用v k (S k ,d k )表示第k 阶段的阶段指标。

在不同的问题中，其含义不同。它可以是距离、利润、成本等。 在引例中，用d k =U k (S k ,d k )表示在第k 阶段由点S k 到点S k+1=d k (S k )距离。如d 2(B 3,C 1)=2。

（2）用于衡量所选定策略优劣的数量指标，称为指标函数。它是定义在全过程和所有后部子过程上确定的数量函数。记为V k,n (S k ,P k,n ).

V k,n (S k ,P k,n )=V k,n (S k ,d k ,S k+1,…S n+1) k=1,2,…,n 。

构成动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系。 常见的指标函数的形式有： ①()()()()n k k k k k ku k n

k

j j j

j n k k k n k P S V d S v d S

v S S u S V ,1,111,,,,,,,++=+++==

∑

②()()()()111111,,,,,,++++=++?==∏n k k k k ku k n k

j j j i n k k k n k S d S V d S v u S u S S u S V （3）最优指标函数f k (S k ),表示从第k 阶段的状态S k 开始采用最优子策略P*k,n ，到第n 阶段的终止时所得到的指标函数值。

即f k (S k )=0PtV k,n (S k ,u k ,…S n+1)

其中0Pt 是最优化（0Ptimiyation ）的缩写，可根据题意取max 或min 。 在引例中，指标函数V k,n 表示在第k 阶段由点S k 至终点E 的距离。f k (s k )表示第k 阶段点S k 到终E 的最短距离。f 2(B 1)=10表示从第2阶段中的点B 1到点E 的最短距离。

7、基本方程（递推关系式）

从引例求A 到E 的最短路的计算过程中可以看出，在求解的各个阶段，我们利用了k 阶段与k+1阶段之间的递推关系；

()()(){

}()()()()?????==∈+=++0

1,2,3,4,,min 5511s f k S D s d s f d s U s f k k k k k k k k k k k 一般地，

若()∑==n

k j j j j n k d S U V ,,,则有

{}?????=-=∈+=++++)

(0)(1,1,)(,)(),(0)(1111边界条件n n k k k k k k k k k k s f n n k s D d s f d s U Pt s f 若∏==n

k

j j j j n k d s U V 则有),,(,

{}?????=-=∈?=++++)

(1)()1,1,(),()()(),(0)(1111边界条件n n k k k k k k k k k k k s f n n k s D s d s f d s U pt s f 以上递推关系式称为动态规划的基本方程。 三、动态规划方法的基本思想与最优化原理

1、基本思想：动态规划方法的关键在于正确地写出基本方程，因此首先必须将问题的过程划分为多个相互联系的多阶段决策过程，恰当地选取状态变量和决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化成一族同类型的子问题。然后从边界条件开始，逆过程行进方向，逐段递推寻优。在每个子问题求解时，

均利用它前面已求出的子问题的最优化结果依次进行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问题的最优解。

在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前的一段和未来的各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每阶段决策的选取是从全局来考虑，与该段的最优选择一般是不同的。

动态规划方法的基本思想体现了多阶段性、无后效性、递归性、总体优化性。

2、最优化原理

动态规划方法基于R·Bellman等人提出的最优化原理：“作为整个过程的最优策略具有这样的性质，即无论过去的状态和决策如何，对于先前的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。”简言之，“一个最优策略的子策略总是最优的”。

但是，最优化原理仅是策略最优性的必要条件，而基本方程是策略最优性的充要条件。由此可见，基本方程是动态规划理论与方法的基础。

§2、动态规划模型的建立与求解

一、构成动态规划模型的条件

建立动态规划模型，就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。为此，必须满足以下条件：

1、将问题的过程划分成恰当的阶段；

2、正确选择状态变量S k，使它既能描述过程的演变，又要满足无后效性；

3、确定决策变量d k及每阶段的允许决策集合D k(S k)；

4、正确写出状态转移方程；

5、正确写出指标函数V k,n的关系式，它应具有以下三个性质；

（1）是定义全过程和所有后部子过程上的数量函数；

（2）具有可分离性，并满足递推关系，即

V k,n(S k,d k,…S n+1)=￠ (S k,d k,V k+1,n)

（3）函数￠（S k,d k,V k+1,n）对于V k+1,n要求严格单调。

以上五点是正确写出动态规划基本方程的要素。

二、求解动态规划模型的方法

1、在已知初始状态S1下，采用逆序解法：（反向递归）

(S k+1,v k+1) v n(S n n 1112222k k k+1

kn

f k(S k)=0ptV k,n

寻优方向按上图示意的求解方法称为逆序法。例如引例的求解，就是把A看作始端，E为终端，规定从A到E为过程的行进方向，而寻优则是从E到A逆过程进行，所以是采用了逆序法。

2、在已知终止状态S n下，采用顺序解法（正向递归）

如果我们把引例中E看作始端，A为终端，规定从E到A过程为行进方向，而寻优则是从A到E过程进行求解的方法称为顺序法。其示意图如下：

(S1,d1) v2(S2,d2) v k(S k,d k k+1k+1k+1n n n

1

V1,k

f k,(S k)=0ptV1,k

寻优方向

逆序法与顺序法的不同仅在对始端终端看法的颠倒或在规定的行进方向不同。但在寻优时却都是逆行进方向，从最后一阶段开始，逐段逆推向前计算，

找出最优结果。

§3、建模训练与求解

一、维资源分配问题

例1某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效率的设备五台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂获得这种设备，可以提供的期望盈利如

解：设x j（j=1,2,3）分别表示分配给甲、乙、丙三个厂的设备台数，则此

问题可写成以下数学模型：max=g 1(x 1)+g 2(x 2)+g 3(x 3)

???≥=++且皆为整数,05

3

.2.1321x x x x x x 其中g 1(x 1),g 2(x 2),g 3(x 3)分别对应表中甲、乙、丙厂的期望盈利数。 先考虑构成动态规划模型的条件：

1、按工厂将问题划分为三个阶段，并将工厂编号为k=1,2,3。

2、设状态变量S k 表示为分配给第k 个工厂至第3个工厂的设备台数。（显然S 1=5，所以可考虑用逆序法。）

3、决策变量X k ，表示为分配给第k 个工厂的设备数。0≤X k ≤S k 。

4、状态转移方程为S k+1=S k -X k

5、阶段指标g k (s k ,x k )表示X k 设备分配到第k 个工厂所得的期望盈利值。 因此基本方程为：

{}?????==≤≤-+=+0

)()1,2,3(0)(),(max )(441s f k s x x s f x s g s f k k k k k k k k k k 下面用逆序法采用表格形式进行求解

k=2

0≤X 2≤S 2

S 3=S 2－X 2

按计算表格的顺序反推，得最优分配方案有两个：

第一方案：x 1*=0 x 2*=2 x 3*=3 第二方案：x 1*=2

x 2*=2

x 3*=1

它们所得的总盈利都为21（万元）

本例若设S k 表示分配给从第1个工厂到第k 个工厂的设备台数，即S 3=5，因此，本例还可用顺序法求解，其结果完全一致。

例1实际上是一个一维资源分配问题。

一维资源分配问题总可以写成“静态规划”问题： MaxZ=g 1(x 1)+g 2(x 2)+…+g n (x n ) ???=≥=+++n x a x x x j j

n ,2,1021

由于这类问题的特殊结构，可以把它看成是一个阶多段决策问题，并利用动态规划的递推关系求解。一般有

（1）阶段划分：通常把资源分配给一个或几个使用者的过程作为一个阶段。即把问题中变量的个数作为阶段数，k=1, 2, …n 。

（2）状态变量S K 的含义：S K 表示分配用于生产第k 种产品至第n 种产品的资源数。显然S 1=a ，所以该类问题可用逆序法求解。（也可用顺序法，S n =a ）

（3）决策变量d k 的选定：d k =x k ，含义为分配给生产第k 种产品的资源数。允许决策集合为：D k (S k )={d k | 0≤d k =x k ≤S k }。

（4）状态转移方程：S k+1=S k ―d k =S k ―x k

(S k =S k+1+x k )

（5）由于阶段指标v k (S k , x k )=g k (x k )，所以指标函数：

∑∑====n

k

j j j n k

j j j j n k x g x S v V )(),(,

∑∑====k

j j j k

j j j j k x g x S v V 1

1

1)()(

于是基本方程为

??

???==≤≤-+=++++),,2,1(0)(0)}()(max{)(1111n k S f S x X S f x g S f n n k k k k k k k k k ??

???==≤≤+=+--+),,2,1(0)(0)}()(max{)(001111n k S f S x S f S g S f k k k k k k k k

二、生产存贮问题

例2. 某工厂要对一种产品制订今后四个时期的生产计划，据估计在今后四个时期内，市场对于该产品的需求量如下表所示。假定生产每批产品的固定成本3(千元)，若不生产就为0；每单位产品成本为1(千元)；每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位；每个时期未售出的产品，每单位需付存贮费0.5(千元)。还假定在第一个时期的初始库存量为0，第四个时期末的库存量也为0。问该厂应如何安排各个时期的生产与库存，才能在满足市场

解：先考虑构成动态规划模型的条件

1. 阶段：把生产的四个时期作为四个阶段。k=1, 2, 3, 4。

2. 状态变量S k 表示第k 时期初(发货以前)的库存量。(由题意有S 1=0，S 5=0，故可考虑用顺序法或逆序法。)

3. 决策变量x k 表示第k 时期的生产量。

0≤x k ≤min{S k+1+d k , 6} 其中d k 为第k 时期的需求量

4. 状态转移方程为S k+1=S k +x k ―d k （或S k =S k+1+d k ―x k ）。

5. 阶段指标V k (x k )表示第k 时期的生产成本C k (x k )与库存量的存贮费h k (S k )之和。即V k (x k )=C k (x k )+h k (S k )。其中

??

?

??>∞=?+==6

6,2,1,1300)(k k k k k k x x x x x C 当当当

h k (S k )=0.5S k

于是指标函数∑==k

j j j k S v v 1

1)(，表示从第1时期到第k 时期的总成本。

因此，基本方程为??

?

??==+≤≤-++=+---+)4,3,2,1(0)()}6,min{0)}(min{

)(1011111k S f d S x x d S f v S f k k k k k k k k k k

下面用顺序法进行求解：

k=1，由f 1(S 2)=min{C 1(x 1)+h 1(S 2)}和s 1=s 2+d 1－x 1

x 1=min{S 2+2,6}

S 2可在0与4}26,9min{}6,min{4

21=-=-∑=j j d d 之间取值,即s 2=0, 1, 2, 3, 4，

于是由x 1=min{S 2+2,6}知，x 1可取值为2, 3, 4, 5, 6。分别计算如下：

f 1(0)=min{3+2+0.5×0}=5

有x 1=2

x 1=2

f 1(1)=min{3+3+0.5×1}=6.5 有x 1=3

x 1=3

f 1(2)=min{3+4+0.5×2}=8.5 有x 1=4

x 1=4

f 1(3)=min{3+5+0.5×3}=9.5 有x 1=5

x 1=5

f 1(4)=min{3+6+0.5×4}=11 有x 1=6

x 1=6

k=2，由f 2(S 3)=min{C 2(x 2)+h 2(S 3)+f 1(S 3+3－X 2)}可知，

0≤x 2≤min{S 3+3, 6}

S 3可在0与3}6,min{4

32=-∑=j j d d 之间取值。即S 3可取值0, 1, 2, 3。

x 2可在0与min{S 3+3, 6}之间取值。分别计算如下：

由5.9565.6584*5.90min )

0()0()3()1()0()2()2()0()1()3()0()0(min )30()0(1221221

2212222=??

????????????++++=???????++++++++=≤≤f h C f h C f h C f h C x f ，有x 2=0。 由5.1155.75.65.685.55.95.4*115.0min )0()1()4()1()1()3()2()1()2()3()1()1()4()1()0(min )40()1(12212212212212222=?

??????

???????+++++=???

?

?

?????????

????+

++

+++++++=≤≤f h C f h C f h C f h C f h C x f ，有x 2=0。

用同样的方法计算f 2(2)=min{C 2(x 2)+h 2(2)+f 1(5－x 2)}=14，有x 2=5

0≤x 2≤5

f 2(3)=min{C 2(x 2)+h 2(3)+f 1(6－x 2)}=15.5，有x 2=6

0≤x 2≤6

k=3，由f 3(S 4)=min{C 3(x 3)+h 3(S 4)+f 2(S 3+2－x 3)}可知，S 4可在0与min{4, 6－2}=4之间取值。x 3可在0与min{S 3+3, 6}之间取值。分别计算如下：

145.955.114*140min )0()0()2()1()0()1()2()0()0(min )0(2332332333=?

?

?

???????+++=??????????++++++=f h C f h C f h C f ，有x 3=0。

16*5.95.65.115.5145.4*55.155.0min )0()1()3()1()1()2()2()1()1()3()1()0(min )1(2332332

332333=???????

???????++++=???

???????????++++++++=f h C f h C f h C f h C f ，有x 3=0或3。

用同样的方法计算

f 3(2)=min{C 3(x 3)+h 3(2)+f 1(4－x 3)}=17.5，有x 3=4

0≤x 3≤4

f 3(3)=min{C 3(x 3)+h 3(3)+f 1(5－x 3)}=19，有x 3=5

0≤x 3≤5

f 3(4)=min{C 3(x 3)+h 3(4)+f 1(6－x 3)}=20.5，有x 3=6

0≤x 3≤6

k=4，由f 4(S 5)=min{C 4(x 4)+h 4(S 5)+f 3(S 4+4－x 4)}与S 5=0

0≤x 4≤min{S 5+4, 6}可知，

f 4(0)=min{C 4(x 4)+h 4(0)+f 3(4－x 4)}

0≤x 4≤4

5.201471665.175194*5.200min )0()4()1()3()2()2()3()1()4()0(min 3434343434=?

??????

???????+++++=???

?

??????????

????+

++

++=f C f C f C f C f C ，有x 4=0。

按计算顺序反推算，

x 4=0—→x 3=6—→x 2=0—→x 1=5(由S k =S k+1+d k ―x k 推出)

即每个时期的最优生产决策为:

x 1*=5，x 2*=0，x 3=6，x 4*=0

其相应的最小总成本为20.5千元。 三、设备更新问题

在已知一台设备的效益函数r(t)，维修费用函数u(t)及更新费用函数C(t)条件下，在n 年内，每年年初作出决策，是继续使用旧设备还是更换一台新设备，使n 年总效益最大的这类问题称为设备更新问题。

设r k (t)表示在第k 年设备已使用t 年（或称役令为t 年），再使用1年时的效益：

u k (t)表示在第k 年设备役令为t 年，再使用1年的维修费用；

C k (t)表示在第k 年卖掉一台役令为t 的设备，买进一台新设备的更新净费用；

α为折旧因子(0≤α≤1)，表示1年以后的单位价值相当于现年的α单位。 构成该问题动态规划模型的条件：

阶段数k ：计划设备使用的年限数，即k=1, 2, …, n 。

状态变量S k ：表示役令。即在第k 年初，设备已使用的年数。

决策变量x k ：表示在第k 年初对役令为S k 的设备的决策，是更新，还是继续使用，即

??

?=继续使用更新)()(Re Keep K placement

R x k 状态转移方程：

???==+=+R

X K X S S k k k

k 当当1

11

阶段指标：

???=--=-=R

X s c u r K X s u s r x s v k k k k k k k k k

k k k 当当)

()0()0()

()(),(

指标函数：∑==n k

i i i i n k x S v v ),(,(k=1, 2, …, n)

最优指标函数f k (S k )表示第k 年初，使用一台役令为S k 年的设备，到第n 年末最大收益。即

???

???=+--=+-=++++R X s f s c u r K X s f s u s r s f k k k k k k k k k k k k k

k k k 当当)

()()0()0()

()()(max )(1111αα

因此，基本方程为：

?

??

???=+--=+-=++++R X s f s c u r K X s f s u s r s f k k k k k k k k k k k k k

k k k 当当)()()0()0()

()()(max )(1111αα

f n+1(s n+1)=0

例：设某台新设备的年效益及年均维修费，更新净费用如下表所示。试作今后5年内的更新决策计划，使总收益最大。（设α=1）

解：如前所述建立动态规划模型。n=5，由于s 1=0，所以用逆序法求解。

k=5 ??????=--=-=R X s c u r K X s u s r s f 555555555555)()0()0()

()(max )(当当

由于，s 5可取1, 2, 3, 4，所以有

???

???=--=--=-=-=35.15.05)1()0()0(*

5.315.4)1()1(max )1(55555

5c u r u r f =3.5 x 5*(1)=K ?

??

???=--=--=-=-=3.22.25.05)2()0()0(*

5.25.14)2()2(max )2(55555

5c u r u r f =2.5 x 5*(2)=K

???

???=--=-=*25.25.0575.1257.3max )3(5f =2 x 5*(3)=R

???

???=--=-=*5.135.055.05.23max )4(5f =1.5 x 5*(4)=R

k=4

?

?????=+--=++-=R

s x f s c u r K s x s f s u s r s f )()

1()()0()0()()

1()()(max )(44544444445444

444当当 此时s 4可取1, 2, 3

???

???=+--=+-=*5.65.35.15.0565.215.4max )1(4f =6.5 x 4*(1)=R

???

???=+--=+-=*8.55.32.25.055.425.14max )2(4f =5.8 x 4*(2)=R

???

???=+--=+-=*5.55.35.25.0525.35.1275.3max )3(4f =5.5 x 4*(3)=R

k=3

?

?????=+--=++-=R

s x f s c u r K s x s f s u s r s f )()1()()0()0()()

1()()(max )(33433333334333

333当当 此时s 3可取1,2。按上述方法计算有 f 3(1)=9.5 x 3*(1)=R

f 3(2)=8.8

x 3*(2)=R

k=2

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s x f s c u r K s x s f s u s r s f )()1()()0()0()()

1()()(max )(22322222223222222当当 由于s 2只能取1，所以

f 2(1)=12.5

x 2*(1)=R

k=1

?

????

?=+--=++-=R

s x f s c u r K s x s f s u s r s f )()1()()0()0()()

1()()(max )(11211211112111111当当 由于s 1只能取0，所以

f 1(0)=17

x 1*(0)=K

为了求得该问题的解，将上述计算结果，并由状态转移方程

?

??==+=+R s X K s X S S k k k k k

k )(1)(1

1当当 反推。即 x 1*(0)=k —→???==+=R s X K s X S S )(1

)(1

111112当当得S 2=1查f 2(1)，知x 2*(1)=R

—→???==+=R s X K s X S S )(1)(1

222223当当得S 3=1—→x 3*(1)=R

—→S 4=1—→x 4*(1)=R

—→S 5=1—→x 5*(1)=K 。

于是该设备更新问题的最优策略为：(K, R, R, R, K)。即第1年初购买的设备第2, 3, 4年初各更新一次，用到第5年末，其最佳效益为17千元。

《管理运筹学》课程教学大纲

《管理运筹学》课程教学大纲 课程编号：182002 英文名：Management Operations 课程类别：专业基础课 适用专业：信息管理与信息系统、物流管理、财务管理等 前置课：微积分、线性代数、概率统计、统计学、管理学原理 后置课：生产运作管理、管理系统工程、企业战略管理等 学分：4学分 课时：72课时 一、课程教学目标及学生应达到的能力 本课程是工商管理和信息管理与信息系统的专业基础课，通过本课程教学，使学生掌握“运筹学”各主要分支的基本概念、数学模型及其求解方法，掌握运筹学整体优化的思想和若干定量分析的优化技术。因此，开设运筹学课程的目的是使学生能够运用运筹学理论把实际问题构建成数学模型，选择适当的优化方法，求出最优解或满意解全过程的训练，提高学生分析和解决实际问题的能力，也为进一步学习后继课程打下坚实的基础。 二、课程教学内容与基本要求 （一）运筹学概论（2学时） 1．主要内容： 运筹学的产生、发展及应用；运筹学的主要分支。 2．基本要求 了解运筹学的产生、发展及最新发展动向和成果；了解本学科的研究内容、特点及研究方法。3．自学内容：线性代数 4．课外实践：无 （二）线性规划与单纯形法（14学时） 1．主要内容： 线性规划问题及其数学模型、线性规划问题的图解法、线性规划的基本概念和基本定理、单纯形法。 2．基本要求 （1）初步掌握建立线性规划模型方法 （2）掌握线性规划模型特征；如何化线性规划模型为标准型 （3）掌握两个变量线性规划问题的图解法 （4）了解线性规划理论依据---几个基本定理、求解线性规划问题基本思路 （5）了解引入工人变量目的 （6）牢固掌握大M法和两阶段法求解过程、判别什么情况下无解 3．自学内容：矩阵论 4．课外实践：无 （三）对偶理论与灵敏度分析（10学时） 1．主要内容： 改进单纯形法、线性对偶规划对偶问题的经济学解释——影子价格、对偶单纯形法、灵敏度分析与参数线性规划

运筹学复习重点

运筹学复习重点 第1章线性规划与单纯形法 （1）化线形规划标准形的手法 （2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定 （3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。 （4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。 （5）两阶段法、大M法 第2章对偶理论和灵敏度分析 （1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。 （2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。（3）对偶单纯形法 （4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法 第3章目标规划 （1）根据问题的特征和对多个目标的追求，通过引入偏离量，正确构建所需的目标规划数学模型 （2）会用图解法求目标规划的最优解或满意解 第4章整数规划 （1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。 （2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。 第5章无约束优化 （1）凸函数与凸规划的定义与判别 （2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程 （3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程 第6章约束极值优化 （1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义 （2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系 （3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。

（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法 第7章动态规划 （1）动态规划的基本原理和基本方程 （2）动态规划的逆推解法 （3）动态规划求静态规划问题的套路 第8章图与网络优化 （1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法 （2）求最短路的Dijkstra算法 （3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法 第9章网络计划 （1）遵循网络计划图的绘制规则，正确画出网络计划图。 （2）会计算网络计划的各种时间参数，确定关键线路 （3）不同目标下网络计划优化的方法 第10章排队论 （1）排队系统基本性能指标的含义、关系 （2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。 （4）标准M/M/1模型的系统状态概率、基本性能指标的表达式。 第11章对策论 （1）矩阵对策中鞍点、最优纯策略、对策的值 （2）矩阵对策的混合策略和图解法 （3）矩阵对策局中人各自对应的线性规划问题之间的关系（理解互补松弛定理在对策论中的应用） 第12章决策论 （1）风险决策的EMV准则，EOL准则，二者之间的关系 （2）多级风险决策的图形工具：决策树，以及基于决策树的EMV决策套路（3）会利用决策树计算抽样信息的期望价值、完全信息的期望价值 题型：计算题和证明题。计算量不大，不必带计算器，可带尺子画图。

运筹管理精编运筹学讲义

运筹管理精编运筹学讲 义 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-

M B A运筹学讲义运筹学是一门应用科学，它广泛应用现代科学技术知识、用定量分析的方法，解决实际中提出的问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。运筹学的核心思想是建立在优化的基础上。 例如，在线性规划中体现为两方面： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成 （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多 运筹学解决问题的主要方法是用数学模型描述现实中提出的决策问题，用数学方法对模型进行求解，并对解的结果进行分析，为决策提供科学依据。 随着计算机及计算技术的迅猛发展，目前对运筹学的数学模型的求解已有相应的软件。因此，在实际求解计算时常可借助于软件在计算机上进行，这样可以节省大量的人力和时间。 第一部分线性规划内容框架 LP问题 基本概念数学模型可 行解、最优解 实际问题LP问题解的概念基本解、基可行解 提出 基本最优解

基本方法 图解法 原始单纯形法 单纯形法大M法 人工变量法 对偶单纯形法两阶段法 对偶理论 进一步讨论 灵敏度分析──参数规划* 在经济管理领域内应用 运输问题（转运问题）

特殊的LP问题整数规划 多目标LP 问题* 第一部分线性规划（Linear Programming）及其应用 第一章 LP问题的数学模型与求解 §1 LP问题及其数学模型 （一）引例1（生产计划的问题） 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表所示。问应如何安排计划使该工厂获利最多 该问题可用一句话来描述，即在有限资源的条件下，求使利润最大的生产计划方案。 解：设x 1,x 2 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于 资源的限制，所以有：

管理运筹学第二版课后习题参考答案

管理运筹学第二版课后 习题参考答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。 . ??? ??≥≤++≤++0,,862383 21321321x x x x x x x x x 解：标准化 32124max x x x Z ++= . ?? ? ??≥=+++=+++0,,,,862385432153 214 321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表

运筹学复习资料

《运筹学》综合复习资料 一、判断题 1、LP 问题的可行域是凸集。 2、LP 问题的基可行解对应可行域的顶点。 3、LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 4、若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. 5、求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ,其中∶0≥" ' j j x x , 在用单纯形法求得的最优解中,有可能同时出现0>" ' j j x x . 6、在PERT 计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足0)(),()(=--i t j i t j t E L 节点连接而成的线路是关键线路 7、在一个随机服务系统中，当其输入过程是一普阿松流时，即有 (){}()t n e n t n t N P λλ-==! ， 则同一时间区间，相继两名顾客到达的时间间隔是相互独立且服从参数为λ的负指数分 布，即有()t e t X p λλ-== 8、分枝定界求解整数规划时,分枝问题的最优解不会优于原(上一级)问题的最优解. 9、对偶问题的对偶问题一定是原问题。 10、运输问题是一种特殊的LP 问题，因而其求解结果也可能会有唯一的最优解或无穷多个最优解。 11、动态规划中，定义状态变量时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。 12、用割平面法求解整数规划时，每次增加一个割平面／线性约束条件后，在新的线性规划可行域中，除了割去一些不属于整数解的可行解外，还割去了上级问题不属于整数解的最优解。 13、在求解目标规划时，遵循的基本原则就是在考虑低级目标时，不能破坏已经满足的高级目标。 14、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。

管理运筹学教学创新的重要性

管理运筹学教学创新的重要性作者：徐辉单位：广东商学院工商管理学院 １引言 古朴的运筹学思想可以追溯到古代先秦时期。我们运筹学的先驱从《史记》“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”一语中摘取“运筹”两字作为这门学科的名称，既显示其军事起源，也表明其朴素的思想早已出现在几千年前的中国。但世上公认的运筹学学科起源于二次世界大战期间，英、美等国的军事部门为战争需要而成立的一些研究小组的活动。其热点是集中多个学科领域的科研人员，对某一特定问题进行全面、系统的分析，提出提高某武器系统效率的操作方法和执行策略。第二次世界大战结束后，运筹学的研究方法在理论上得到全面发展。作为一种重要的管理决策分析工具，运筹学的应用领域也从军事部门迅速向工商、管理和工业部门转移。运筹学是研究各种广义资源的运用、筹划以及相关决策等问题的近代新兴学科。在我国已有五十多年历史，其目的是根据问题的需求，通过数学的分析和运算，做出综合性的、合理的优化安排，以便更有效地发展有限资源的效益。“运筹学”名称最早于１９３８年出现在英国，当时称之为“ＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ”，１９４２年美国开始从事这项研究工作，称之为“ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ”。运筹学的发展、运筹学在各领域的广泛应用、运筹学的定量分析对于解决实际问题的思路及其特点，适合当今社会发展对高级管理决策人才的迫切需要。本课程是工商管理类专业重要的专业基础课，也是一门实践性

和应用型很强的学科。２１世纪，科技进步与社会发展提出了培养信息社会高素质人才的要求，高等教育改革不断深化，《管理运筹学》课程教学面临新的挑战，必须重新对课程原有的教学体系和教学方法进行全面的审视和思考。 ２工商管理专业《管理运筹学》课程教学中存在的问题 当前的工商管理专业《管理运筹学》课程教学主要存在以下问题：一是教学目的不明确，教学方式单一。多数讲授《管理运筹学》课程的教师是学数学出身，缺乏必要的工程技术和管理知识，使得目前《管理运筹学》教学普遍存在着偏重教学理论与解题技巧的传授，将《管理运筹学》当作一门纯数学学科进行教学。这与工商管理专业培养要求相脱节，学生在学习过程中感受不到《管理运筹学》在管理中的应用。在教学方式上，也一直延用传统单一的传授方式，当学生运用所学知识去分析和解决实际问题时，显得茫然无措，无从下手。 二是学生学习兴趣不浓厚。《管理运筹学》研究问题的基本手段是建立数学模型，并较多地运用各种教学工具。学习《管理运筹学》课程，需要有良好的数学基础；其前期必修课程包括微积分、线性代数、概率论、概率论与数理统计。可以说《管理运筹学》是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质。工商管理类专业的学生绝大多数是文科生源，不少学生害怕数学。比如线性规划的单纯形法及对偶理论，要想完全领会其原理，需要大量运用线性代数的工具进行推理，因而非常抽象。在课时总体压缩的背景下，教师要在较短时间内讲授完抽象数学原理的推导，学生听不懂只好放

《运筹学》复习参考资料知识点及习题

第一部分线性规划问题的求解 一、两个变量的线性规划问题的图解法： ㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 ㈡图解法： 图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出； 2、确定可行解域； 3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向； 注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。 4、确定最优解及目标函数值。 ㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型） 例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示： 问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？ （此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）

解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。 max z = 70x 1+30x 2 s.t. ???????≥≤+≤+≤+0 72039450555409321212121x x x x x x x x ， 可行解域为oabcd0，最优解为b 点。 由方程组 ???=+=+72039450 5521 21x x x x 解出x 1=75，x 2=15 ∴X * =??? ? ??21x x =（75，15） T ∴max z =Z *= 70×75+30×15=5700 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

max z = 6x 1+4x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ， 解： 可行解域为oabcd0，最优解为b 点。 由方程组 ???=+=+810 22 121x x x x 解出x 1=2，x 2=6 ∴X * =? ?? ? ??21x x =（2，6）T ∴max z = 6×2+4×6=36 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

运筹学复习资料

一、单项选择题: 1、对偶问题与原问题研究出自(D )目得。 A、不同 B、相似 C、相反 D、同一 2、机会成本可同时满足(A )用途。 A、1种 B、1种以上 C、2种 D、无限种 3、运筹学有助于管理人员正确决策,因为它把研究对象当成( C)。 A、决策变量 B、决策目标 C、有目标得系统 D、影响模型得关键 4、运筹学就是系统工程得理论基础之一。 5、现代运筹学就是因为(D )得需要而诞生与发展起来得。 A、工业 B、商业 C、金融业 D、战争 6、一个图就是树得充要条件就是其为一个(D ),并且边数=节点数-1。 A、有向图 B、简单图 C、多重图 D、连通图 7、线性规划标准形式得约束式为(D )。 A、不等式 B、大于等于 C、小于等于 D、等式 8、动态规划有(B )限制。 A、阶段数 B、维数 C、节点数 D、层级数 二、填空题: 1、最小树得求解方法: __破圈法与避圈法__ 2、整数规划得基本分类: __整数线性规划整数非线性规划规划__ 3、图解法得基本理论就是__凸集基本理论__ 4、多数情况下,模型得___形式化___ 工作需要借助某些定量化方法 5、一般整数规划问题可采取: ___计算机方法分支定界法割平面法___ 6、动态规划得优点首先就是通过对一个多阶段得__复杂动态问题____ 进行分级处理,变成了求解多个单阶段得__静态问题____ ,使求解过程大大简化了 7、对偶解——影子价格得大小客观地反映资源在系统内得稀缺程度。

8、 若标准线性规划问题得可行域有界,则标准线性规划问题必有最优解 9、 一般整数规划问题可采取:计算机方法 分支定界法 割平面法。 三、综合分析题: 1、 不平衡运输问题得求法得基本思想? 参考答案: 将不平衡运输问题化为平衡运输问题;然后,应用表上作业法求解。 四、论述题: 请结合自己得实际情况与运筹学得原理及用途,举一个例子,说说学习运筹学能帮助自己解决实际中得什么问题,为什么？ 参考答案: 应用《运筹学》得知识,结合自己得实际构造一案例。 元)得需求经统计如下表 星期 一 二 三 四 五 六 七 人数 12 15 12 14 16 18 19 为了保证销售人员充分休息,销售人员每周工作5天,休息2天。问应如何安排销售人员得工作时间,使得所配售货人员得总费用最小？ 模型假设: 每天工作8小时,不考虑夜班得情况; 每个人得休息时间为连续得两天时间; 每天安排得人员数不得低于需求量,但可以超过需求量 问题分析: 因素:不可变因素:需求量、休息时间、单位费用;可变因素:安排得人数、每人开始工作得时间、总费用; 方案:确定每天工作得人数,由于连续休息2天,当确定每个人开始休息得时间就等于知道工作得时间,因而确定每天开始休息得人数就知道每天开始工作得人数,从而求出每天工作得人数。 变量:第i 天开始休息得人数 约束条件: 1、每人休息时间2天。 2、 每天工作人数不低于需求量,第i 天工作得人数就就是除了该天在休息得所有人,即除了第i-1天及第i 天开始休息得人以外得所有人,所以有约束: 3、变量非负约束: 目标函数:总费用最小,总费用与使用得总人数成正比。由于每个人必然在且仅在某一天开始休息,所以总人数等于 模型: 五、简答题: 1、 灵敏度分析。 参考答案: 就是指为了改善决策方案与有效控制实施过程,在获得最优解得基础上,仍假定最优基不变,分别研究参数得波动对最优解有什么影响。 2、 线性规划标准形式有什么特点？ 一、1265432≥++++x x x x x 二、1576543≥++++x x x x x 三、1217654≥++++x x x x x 四、1421765≥++++x x x x x 五、1632176≥++++x x x x x 六、1843217≥++++x x x x x 日、1954321≥++++x x x x x 7,...,2,1,0=≥i x i 且为整数?????????????=≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++∑=7,...,2,1,019 1816 14121512 ..200 min 5432174321763217652117654765436543271 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x i i i 且为整数

《管理运筹学》课程教学改革思考

《管理运筹学》课程教学改革思考 针对工商管理专业《管理运筹学》课程教学中存在的一些问题，结合《管理运筹学》课程特点，从教学创新与实践改革的必要性出发，提出PBL教学法的改革思路。该教学法在培养学生自主学习能力和解决实际问题能力等方面具有较强的优势，符合新形势下对工商管理类专业人才培养的要求。 标签：PBL；《管理运筹学》；课程教学；教学改革 1引言 古朴的运筹学思想可以追溯到古代先秦时期。我们运筹学的先驱从《史记》“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”一语中摘取“运筹”两字作为这门学科的名称，既显示其军事起源，也表明其朴素的思想早已出现在几千年前的中国。但世上公认的运筹学学科起源于二次世界大战期间，英、美等国的军事部门为战争需要而成立的一些研究小组的活动。其热点是集中多个学科领域的科研人员，对某一特定问题进行全面、系统的分析，提出提高某武器系统效率的操作方法和执行策略。 第二次世界大战结束后，运筹学的研究方法在理论上得到全面发展。作为一种重要的管理决策分析工具，运筹学的应用领域也从军事部门迅速向工商、管理和工业部门转移。运筹学是研究各种广义资源的运用、筹划以及相关决策等问题的近代新兴学科。在我国已有五十多年历史，其目的是根据问题的需求，通过数学的分析和运算，做出综合性的、合理的优化安排，以便更有效地发展有限资源的效益。“运筹学”名称最早于1938年出现在英国，当时称之为“OperationalResearch”，1942年美国开始从事这项研究工作，称之为“OperationsResearch”。运筹学的发展、运筹学在各领域的广泛应用、运筹学的定量分析对于解决实际问题的思路及其特点，适合当今社会发展对高级管理决策人才的迫切需要。本课程是工商管理类专业重要的专业基础课，也是一门实践性和应用型很强的学科。21世纪，科技进步与社会发展提出了培养信息社会高素质人才的要求，高等教育改革不断深化，《管理运筹学》课程教学面临新的挑战， 必须重新对课程原有的教学体系和教学方法进行全面的审视和思考。 2工商管理专业《管理运筹学》课程教学中存在的问题 当前的工商管理专业《管理运筹学》课程教学主要存在以下问题： 一是教学目的不明确，教学方式单一。多数讲授《管理运筹学》课程的教师是学数学出身，缺乏必要的工程技术和管理知识，使得目前《管理运筹学》教学普遍存在着偏重教学理论与解题技巧的传授，将《管理运筹学》当作一门纯数学学科进行教学。这与工商管理专业培养要求相脱节，学生在学习过程中感受不到《管理运筹学》在管理中的应用。在教学方式上，也一直延用传统单一的传授方

管理运筹学课件

管理运筹学课件 《运筹学》武汉大学商学院刘明霞教材 Operation al Research(简写OR) 直译为:作战研究、运用研究日本:运用学中国:运筹学(意译) 教材《运筹学》，韩伯堂，高等教育出版社，2000年参考书《运筹学》，清华大学出版社《管理运筹学》韩大卫编，大连理工大学出版社其它同类书教学目的与方法教学目的:介绍运筹学各分支体系的基本模型、求解方法;引导并锻练MBA学员用运筹学知识定量分析与解决实际问题的能力。教学方法以各种实际问题为背景，引出各分支基本概念、基本模型和基本方法，侧重各种方法及应用，回避繁复的数学理论推导。运用软件教学，并让学生掌握这类软件。分组进行案例分析与讨论教学内容运筹学ABC 线性规划问题整数规划目标规划动态规划网络规划排队论存贮论对策论决策论第一章运筹学ABC 运筹学的发展:三个来源运筹学的性质和特点运筹学研究的问题与解决方法运筹学的工作步骤运筹学的发展:三个来源军事管理经济 军事:运筹学的主要发源地古代军事运筹学思想中国古代的“孙子兵法”在质的论断中渗透着量的分析(1981年美国军事运筹学会出版了一本书，书中第一句话就是说孙武子是世界上第一个军事运筹学的实践家)，中国古代运筹学思想的例子还有:田忌赛马、围魏救赵、行军运粮，等等。国外历史上的阿基米德、伽利略研究过作战问题;第一次世界大战时，英国的兰彻斯特(Lanchester)提出了战斗方程，指出了数量优势、火力和胜负的动态关系;美国的爱迪生为美国海军咨询委员会研究了潜艇攻击和潜艇回避攻击的问题。运筹学的正式产生:第二次世界大战鲍德西(Bawdsey)雷达站的研究 1939年，以Blackett为首的一个研究小组(代号“Bla ckett 马戏团”)，研究如何改进英国的空防系统，提高英国本土防空能力。 Blackett备忘录 1941年12月， Blackett应盟国政府的要

2015年运筹学复习资料

运筹学复习 一、 填空题 1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线. 2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则 3、对偶问题为最小化问题。 4、在运输问题模型中，1m n +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。 5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。 6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题； 7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。 8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。 9、一个无圈且连通的图称为树。 10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法． 11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低． 12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。 13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量． 14、原问题与对偶问题是相互对应的． 线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题． 15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高． 16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法． 17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个． 18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题． 19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k ）变量，正确选择状态（Sk ）变量，正确选择_ 决策（UK ）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程． 20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图． 21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线． 简述单纯形法的计算步骤： 第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。 第二步：判断最优，检验各非基变量 的检验数 。 1若所有的 ，则基B 为最优基，相应的基可行解即为基本最优解，计算停止。 2若所有的检验数 ，又存在某个非基变量的检验数所有的 ，则线性规划问题有无穷多最优解。 3若有某个非基变量的检验数 ，并且所对应的列向量的全部分量都非正，则该线性规划问题的目标函数值无上界，既无界解，停止计算。 第三步：换基迭代

运筹学讲义

《管理运筹学》 1、运筹学的工作步骤 (1)提出和形成问题． (2)建立模型． (3)求解． (4)解的检验． (5)解的控制． (6)解的实施. 2、运筹学模型三种基本形式：(1)形象模型 (2)模拟模型 (3)符号或数学模型 构模的五种方法和思路： (1)直接分析法 (如线性规划) (2)类比法（手机的普及与电视机的普及） (3)数据分析法（如汽车销售量预测模型） (4)试验分析法（销售量与价格之间的关系模型） (5)想定(构想)法（销售与心理） 3、如何将线性规划问题的一般形式化为标准形式： 1.如果问题是求目标函数的最小值，求min f＝∑Cjxj则可先将目标函数乘（-1），化为求极大值问题，即求 max Z=－f=－∑Cjxj 2.如果有某个bk≤0，则可将该等式两边均乘以(－1)，使右端常数项bk=－bk≥0 3.如果第k个约束条件是∑akjxj≤bk,引入松弛变量sk≥0 , 将它写成∑akjxj+sk＝bk 如果第l个约束条件是∑aljxj≥bl则引入剩余变量(也可称为松弛变量)sl≥0，将它写成∑aljxj—sl=bl 且使松弛变量和剩余变量在目标函数中的系数为零。 4.如果对某个变量xj没有非负限制(这种变量称为自由变量或无约束变量)，则引进两个非负变量xj′，xj″，令xj＝xj′－xj″代人目标函数和约束条件中，可将它化为对全部变量都有非负限制的问题。 4、①目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式的模型称之为线性规划。 ②如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。 ③满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 ④把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称为该线性规划的最优解,此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值 5、图解法的启示 1．最优解：如果某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解。（一般为封闭可行域凸集） 2．无穷多个最优解：若将上例中的目标函数变为求 maxZ=50x1+50x2 则代表目标函数的直线平移到最优位置后将和直线x1+x2=300重合。此时不仅顶点B，

最全的运筹学复习题及答案

四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10b-1f g X32C O11／5 X l a d e01 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

运筹学复习资料(1)

运筹学复习 一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识） 线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。 无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。 线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。 单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。 检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。要求检验数全部小于等于零。 “当x 1由0变到45/2时，x 3首先变为0，故x 3为退出基变量。”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。这里，x 1为进基变量，x 3为出基变量。将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。 单纯型原理的矩阵描述。 在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m 矩阵与其最初的那一列向量的乘积。 最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。这个样子： '1 222 1 0 -382580 1 010 0 158P B P -?????? ??????==?????? ???????????? ５１＝５ 所有的检验数均小于或等于零，有最优解。但是如果出现非基变量的检验数 为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。解的结果应该是： X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1） 说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。 无最优解的情况就是：应该进基的变量所对应的列的系数全部小于零。若存

《运筹学》复习资料

远程教育学院期末复习大纲模板 注：如学员使用其她版本教材，请参考相关知识点 一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断） （一）多选题 1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC） A决策变量B约束条件C目标函数 D 价值向量 ★考核知识点: 线性规划模型得构成、（1、1） 附1、1、1（考核知识点解释）：线性规划模型得构成：实际上，所有得线性规划问题都包含这三个因素： （1）决策变量就是问题中有待确定得未知因素。例如决定企业经营目标得各产品得产量等。 （2）目标函数就是指对问题所追求得目标得数学描述。例如利润最大、成本最小等。 （3）约束条件就是指实现问题目标得限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达得程度。 2．下面关于线性规划问题得说法正确得就是（AB） A．线性规划问题就是指在线性等式得限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）得问题。 B．线性规划问题就是指在线性不等式得限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）得问题。 C．线性规划问题就是指在一般不等式得限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）得问题。 D．以上说法均不正确 ★考核知识点: 线性规划模型得线性含义、（1、1） 附1、1、2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，就是指如果目标函数就是关于决策变量得线性函数，而且约束条件也都就是关于决策变量得线性等式或线性不等式，则相应得规划问题就称为线性规划问题。 3．下面关于图解法解线性规划问题得说法不正确得就是（BC ）A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量得线性规划 B 图解法适用于两个或两个以上决策变量得线性规划 C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解

运筹学讲义6

第六讲排队论 X/Y/Z X处填写表示相继到达间隔时间的分布; Y处填写表示服务时间的分布; Z处填写并列的服务台的数目c.c=1 单服务台，c>1 多服务

台

表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M —负指数分布 D —确定型 Ek —k 阶爱尔朗分布 GI — 一般相互独立的时间间隔的分布 G — 一般服务时间的分布 X/Y/Z/A/B/C A 处填写系统容量限制N ；N=c 损失制，N=∞等待制系统，N>c 混合制系统 B 处填写顾客源数m （有限、无限）； C 处填写服务规则（FCFS/LCFS/SIRO/PR ）。 约定：FCFS Z Y X /////∞∞如略去后三项，即指 1、平均到达率(λ)：单位时间内平均到达的顾客数。 平均到达间隔 (1/λ) 2、平均服务率(μ)：单位时间内平均服务的顾客数。平均服务时间(1/μ) 3、队长(Ls)：排队系统中顾客的平均数。 4、队列长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。Ls=Lq+正被服务的顾客数 5、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。 6、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。

Ws=Wq+服务时间 7、系统的状态：描述系统中的顾客数 损失制、服务台个数c 系统容量N 系统容量无限 0,1,2,...,N 0,1,2,... 0,1,2,...,c 8、系统的状态概率[Pn ( t )] ：指t 时刻、系统状态为n 的概率 9、稳定状态（统计平衡状态）：lim Pn (t )→Pn P n =P {N =n }稳态 系统中有n 个顾客概率 P 1稳态 系统中有1个顾客概率 P 0稳态 所有服务台全部空闲概率 模型 P n (t)的计算（在时刻t 系统中有n 个顾客的概率） 在时刻在时刻×O ×O 离去到达n n n n ××O O n n +1n -1n (A)(B)(C)(D) t +Δt 顾客数 在区间（t , t +Δt ）t 顾客数 情况λΔt μΔt λΔt P n (t )P n (t )P n+1(t )P n-1(t )1-λΔt 1-λΔt μΔt 1-μΔt 1-μΔt P n (t +Δt )= P n (t )(1-λΔt )(1-μΔt ) + P n +1(t )(1-λΔt )μΔt++ P n-1(t)λΔt(1- μΔt) + P n (t)λΔt μΔt n ≥1

运筹学复习资料资料讲解

运筹学复习 一、 填空题 1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线. 2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则 3、对偶问题为最小化问题。 4、在运输问题模型中，1m n +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。 5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。 6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题； 7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。 8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。 9、一个无圈且连通的图称为树。 10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法． 11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低． 12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。 13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量． 14、原问题与对偶问题是相互对应的． 线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题． 15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高． 16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法． 17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个． 18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题． 19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k ）变量，正确选择状态（Sk ）变量，正确选择_ 决策（UK ）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程． 20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图． 21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线． 简述单纯形法的计算步骤： 第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。 第二步：判断最优，检验各非基变量 的检验数 。 1若所有的 ，则基B 为最优基，相应的基可行解即为基本最优解，计算停止。 2若所有的检验数 ，又存在某个非基变量的检验数所有的 ，则线性规划问题有无穷多最优解。 3若有某个非基变量的检验数 ，并且所对应的列向量的全部分量都非正，则该线性规划问题的目标函数值无上界，既无界解，停止计算。 第三步：换基迭代

管理运筹学教学大纲

《管理运筹学》课程教学大纲 The Course Syllabus of Operations Research for Management 一、课程基本信息( Basic Course Information ) 课程代码：0140350 Course code：0140350 课程名称：管理运筹学 Course name：Operation Resrarch for Management 课程类别：专业课 Course type ：Specialty Course 学时：42 Period：42 学分：2 Credit：2 适用对象：工商管理、物流管理等本科专业 Target students：Undergraduate Majoring for Business Management and Logistics Management 考核方式：考试 Assessment：examination 先修课程：管理学、西方经济学、线性代数、概率论及数理统计 Preparatory Courses：Management，Western Economics，Linear algebra，probability theory and mathematical statistics 二、课程简介（Brief Course Introduction） 管理运筹学课程是近几十年发展起来的一门新兴学科，是管理科学和现代化管理方法的重要组成部分，主要运用数学方法研究各种系统的优化途径和方案，为决策者选择最优决策提供定量依据。本课程系统介绍线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、动态规划、图论及其应用、排队论及决策分析等的基本概念、基本原理和基本方法。着重从实例入手建立数学模型，探讨一些经济管理中比较实用的数学模型和方法。培养学生基于实际问题建立数学模型、求解模型、分析模型解的结果并进行经济评价的能力。 As an important component of management sciences and modern management methods, operations research for management being a new and developing course in recent decades, makes researches on optimizing approaches and schedules of all kinds of systems by applying mathematical methods, so as to supply quantitative accordance for decision-makers choosing optimum decision. The course introduces fundamental concepts, principles and methods of linear programming, transportation problem, integer programming, goal programming, graph theory and its applications, queuing theory and decision analysis. On the basis of emphasizing on establishing mathematical model according to realistic examples, some practical mathematical models and methods in economics and management fields are discussed. Thus, the ability for students of establishing models, solving models, analyzing model solutions