一元一次方程及解法

一元一次方程及解法

Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

一元一次方程及解法

撰稿：占德杰责编：赵炜

一、目标认知

学习目标：

经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。

重点：

一元一次方程的解法

难点：

一元一次方程的解法

二、知识要点梳理

知识点一：方程的概念

1、含有未知数的等式叫做方程.

2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

3、求方程的解的过程叫做解方程。

4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）。

知识点二：一元一次方程的概念

1、概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，

“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，应从以下几点理解此概念：

（1）方程中的未知数的个数是1。例如2x+3y=2就不是一元一次方程，因为未知数的个数是两个，而不

是一个。

（2）一元一次方程等号的两边都是整式，并且至少有一边是含有未知数的整式。例如方程，

其中不是整式，所以它不是一元一次方程。

（3）未知数的次数是1，如x2+2x-2=0, 在x2项中，未知数的次数是2，所以它不是一元一次方程。

2、判定：判断一个方程是不是一元一次方程应看它的最终形式，而不是看原始形式。

（1）如果一个方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形能化为ax＝b(a≠0)，

或ax b＝0(a≠0)，那么它就是一元一次方程；否则就不是一元一次方程。

（2）方程ax＝b或ax b＝0，只有当a≠0时才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程ax＝b或

ax＋b＝0是一元一次方程，则隐含条件a≠0.

例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

知识点三：等式的性质

1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。

2、等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：

如果，那么；如果，那么

在对等式变形时，应注意如下几个方面：

(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行，同时加或减、同时乘或除以，

不能漏掉某一边，并且两边加或减、乘或除以的数必须相同

(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，

如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立。

(3)等式的性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因忽略除数不为0这

一条件而导致出错，特别是等式的两边除以一个式子时，更应注意这一条件。

知识点四：合并同类项与移项

1、合并同类项：将方程中含有相同字母（字母的指数也相同）的项进行合并，把一元一次方程变形为：的形式，然后利用等式的性质2，方程两边同时除以a，从而得到：

2、移项：将方程中的某项改变符号后从一边移到另一边，叫做移项. 移项实际上是在方程的两边都加上（或减去）同一个数（或同一个整式）.

要点诠释：

（1）移项的目的：将含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。

这样我们就能够合并同类项，而使方程变形为

的形式，再将方程两边同

时除以a，使x的系数化为1，得到，即为方程的解。具体过程如下：

（2）移项的理论依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；

（3）移项法则“移项必变号”，即移项要变号，不变号不能移项。

知识点五：去括号与去分母

1、去括号：方程中含有括号时，解方程过程中把括号去掉的过程叫做去括号。

去括号时注意以下两点：

（1）不要漏乘括号内的项；

（2）注意“+”“-”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的符号变化情况。

2、去分母：含分数系数的方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，这

样的变化过程叫做去分母。去分母时注意以下两点：

（1）不要漏乘不含分母的项；

（2）分子是一个整体，去分母后应加上括号。

知识点六：解一元一次方程的一般步骤

解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母——方程两边都乘各系数分母的最小公倍数；具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的

最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+ =3，去分母得10x+3=3就错了，

因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

（2）去括号——利用乘法对加法的分配律去掉括号；按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后

去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字

因数时要注意使用分配律。

（3）移项——把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。

（4）合并同类项——把方程化为ax＝b（a≠0）的形式.

（5）系数化为1——在方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解

x=..

注：

(1)解方程时，上述步骤中有些变形可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式

灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

(2)去分母是为了简化运算，若不使用，也可进行分数的运算。

(3)去括号时，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。

(4)方程是含有未知数的等式，所以方程也具有等式的性质，可以应用等式的性质解较简单的一元一次

方程，步骤一般有两步：

①方程两边同时加(或减)同一个数。

②方程两边同时乘(或除以)同一个不为0的数。

例如，解方程：3x+5=2

解：两边都减5，得3x= -3

两边同时除以3，得x= -1

三、规律方法指导

从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接．通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的理解．并且结合方程的解法复习已学过的整式的知识，深刻认识数、式与方程间的联系与区别．

经典例题透析

类型一：一元一次方程的概念

1．判断下列各式是不是方程如果是方程，指出已知数和未知数，并指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么

（1）2x－1＝5；（2）4＋8＝12；（3）5y－8；（4）2a＋3b＝0；（5）6a2－5x＋4；（6）2x2＋x＝1；

（7）x－2≠1；（8）ax＋2a＝3.

思路点拨：方程是含有未知数的等式，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程；方程是等式，两个代数式用等号连接起来就是等式,但等式不一定是方程；方程、等式都含有等号，而代数式不含等号.

解：（1）是方程. 2、－1、5是已知数，x是未知数，且是一元一次方程；

（2）不是方程. 因为等式中不含未知数；

（3）不是方程. 因为它是代数式，而不是等式；

（4）是方程. 2、3、0是已知数，a、b是未知数，因为含有两个未知数，所以不是一元一次方程；

（5）不是方程. 因为它是代数式，而不是等式；

（6）是方程. 2、1是已知数，x是未知数，因为未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程；

（7）不是方程. 因为它不是等式；

（8）是方程. 当a是未知数时，x、2、3是已知数，且当时，是一元一次方程；

当x是未知数时，a、2a、3是已知数且当时，是一元一次方程；

当a、x是未知数时，2、3是已知数，不是一元一次方程。.

总结升华：（1）化简后未知数系数为零时，则此含有未知数的等式不是方程，如2x＋1＝3＋2x就不是方程；（2）方程的已知数包括它前面的符号，当未知数的系数是1时，省略的1可看作已知数，但是一般不写出，如本例中的（6），x的系数为1，在写已知数时，也可以不写.

举一反三：

[变式]下列四个方程中，一元一次方程是（）

A. x2-1=0

B. x+y=1

C. 12-7=5

D. x=0

答案：D

类型二：方程的解

2．检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。

3y－1＝2y＋1(y＝2，y＝4)

思路点拨：判断一个数是否是方程的解，把这个数代入方程的两边，若方程两边相等，则该数是方程的解；若方程两边不相等，则不是方程的解。

解：把y＝2代入方程3y－1＝2y＋1的两边，

左边＝3×2－1＝5，右边＝2×2＋1＝5，左边＝右边，

所以y＝2是方程3y－1＝2y＋1的解。

把y＝4代入方程3y－1＝2y＋1的两边，

左边＝3×4－1＝11，右边＝2×4＋1＝9，左边≠右边，

所以y＝4不是方程3y－1＝2y＋1的解。

举一反三：

[变式1]（2011广东湛江）若是关于的方程的解，则的值为__________.

答案：-1

[变式2]关于x的方程ax+3= 4x+1的解为正整数，则a的值是（）

A. 2 B．3 C．2或3 D．1或2

答案：C

类型三：解一元一次方程

3．解方程：9－3x＝5x＋5

思路点拨：可将右边的5x变号后移到左边，将左边的9变号后移到右边，然后合并化成左边是含有未知数的项，右边是常数项的方程.

解：9－3x＝5x＋5

移项，得－3x－5x＝5－9

合并，得－8x＝－4

系数化为1，得x＝

总结升华：解方程时经常要“合并”和“移项”，目的是将方程逐步变成ax＝b （a≠0）的形式，然后利用等式的性质②，化系数为1，最终求得未知数x的值；应该特别注意移项要变号，合并则是将所有含相同字母的项的系数相加.

举一反三：

[变式]解方程：4x=18-2x

分析：利用等式的性质1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

解：根据等式的性质1，在方程两边同时加上2x

4x+2x=18-2x+2x

6x=18

根据等式的性质2，在方程两边同时除以6，得

x=3

4．解方程

思路点拨：本题考查去分母的过程，注意不要漏乘方程中的每一项。

解：去分母，得4(2x－1)－4(2x+5)=3(6x－7)－12

去括号，得8x－4－8x－20＝18x－21－12

移项，得8x－8x－18x＝－21－12+4+20

合并同类项，得－18x＝－9

系数化为1，得x＝。

总结升华：解一元一次方程的基本思路是把未知数移到等号的一边，把常数项移到等号的另一边，最后把系数化成1. 这一过程中注意三点：去括号要依据符号法则，特别是括号前是负号的情况；移项要变号；去分母时，方程各项都要乘分母的最小公倍数.

举一反三：

[变式]解方程：

解：去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化1，得

5．解方程x-2[x-3(x+4)-6]=1

思路点拨：方程特点是含有多重括号，去括号时从小括号开始由里向外一层一层去。

解：去括号，得x-2[x-3x-12-6]=1

x-2[-2x-18]=1

x+4x+36=1

移项，得x+4x=1-36

化简，得5x=-35

系数化为1，得x=-7

举一反三：

[变式]

答案：x=5

类型四：一元一次方程的综合应用

6．已知方程是关于x的一元一次方程；

（1）求m的值。

（2）写出关于x的一元一次方程

（3）并解（2）中的方程。

解析：（1）根据一元一次方程的定义，可知

∴m＝－2。

（2）把m＝－2代入原方程得，－4x+3＝7

（3）－4x+3＝7，

两边同减３，得：－4x＝7－３＝４

两边同除以－４，得：x＝－１

7．对于有理数a，b，c，d，规定一种运算＝ad－bc，如

＝1×(－2)－0×2＝－2。那么＝25时，写出关于x的一元一次方程，并解此方程。

分析：由题中可看出的运算方式是对角线位置的数的乘积的差，所以＝25变形为2×5－(－4)×(3－x)＝25。

解析：＝25可以化为2×5－(－4)×(3－x)＝25，即4x＋3＝0。

移项，化简得：x=-3/4

8．关于x的方程3x-4= a-bx有无穷多个解，则a=_____ ,b=______.

解析：由3x-4= a-bx，得：（3+b）x=a+4

要使此方程有无穷多个解，则有：

所以a= -4, b= -3

学习成果测评

基础达标：

一、选择题：

1．下列各式中，是方程的一共有（）

；；；；；

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

2．下列方程中，一元一次方程一共有（）

；；；；；

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3．如果是方程的解，那么的值（）

（A）（B）5 （C） 1 （D）

4．关于x的方程的解为（）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题

1．（2011遵义）方程的解为_________

2．若，则___________。

3．若方程与方程的解相同，则___________。

4．若和方程的解相同，那么___________。

三、解方程

（1）－6 = 4－（2）5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)

（3）（4）

（5）（6）

答案与解析：

一、 1．C ２、B 3、 A 4、 D

解析：

第1题：考查方程的概念，含有未知数的等式叫做方程。其中是一般等式，是不等式，

其余都是方程。注意方程中的未知数不必都用x表示。

第2题：考查一元一次方程的定义。其中经过化简可知是一元一次方程。

是二元一次方程，是一元二次方程，是分式方程。

第3题：考查方程的解的概念。把代入方程就可求出。

第4题：这是关于未知数ｘ的方程，其中字母ａ，ｂ应看成已知数。通过移项，合并即可。

二、１、２、 3、-3 4、6

解析：

第1题：考查解方程，直接求解即可。

第2题：考查平方和绝对值的非负性，由题意得：，，即可求出。

第3题：考查方程的解的概念。由题意得出的解为，把它代入即

可求出ａ的值。

第4题：考查方程的解得概念。同第３题。

三、

（1）解：移项得：+ = 4+6

合并同类项得： = 10

系数化为1得： x = 20

（2）解：去括号，得 5x-6x-3+7x=6x-20+12x,

移项，得 5x-6x+7x-6x-12x=-20+3

合并同类项，得 -12x=-17,

系数化为1，得 x=

启发：

方程中带有括号，先设法去掉括号。对于有多重括号的方程，应先去小括号，再去中括号，最后去大括号，运用分配律去括号时，注意符号不要标错，并且不要漏乘括号中的项。移项时，要注意变号,最好别跳过移项这一步，因为将移项和合并同类项同步完成，很容易产生错误。

（3）解：去分母得：5y－1 = 14

移项得：5y = 14+1

合并同类项得：5y = 15

系数化成1得：y = 3

（4）解：去分母得：4(2x－1)－3(5x+1) = 24

去括号得：8x－4－15x－3 = 24

移项得：8x－15x = 24+4+3

合并同类项得：－7x = 31

系数化成1得：

（5）解：原方程可化为：

去分母得：

去括号，移项与合并同类项得：

系数化成1得：

启发：

分数线除了可以代替除号“÷”(表示“分子÷分母”；也可以说代替“：”，表示“分子：分母”)以外，还起着括号的作用，分子如果是一个代数式，应该看作一个整体，在去分母时，不要忘了将分子作为一个整体加上括号。

（6）解：方程两边同乘以5，得

移项，得

方程两边同乘以4，得

移项，得

方程两边同乘以3，得

移项，得x=-2

启发：

解这种方程，如果从内向外采用乘法对加法的分配律去括号，非常麻烦，这里根据方程的结构特点，利用等式的性质2，在去掉一个分母的同时，即去掉一个括号，如此进行，并不费力。

能力提升：

一、选择题：

1、（2011湖北荆州）对于非零的两个实数、，规定，若

，则的值为

A．B．C．D．

2、一元一次方程2(3x―4) =5(x―2)的解是 ( )

A. x = 3

B. x = 2

C. x = 4

D. x =－2

3、单项式2ab2m+3与4ab4m－1是同类项则m等于 ( )

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

4、方程(1) (2) 2(x +1) = 4

(3) (4) 3x－4+2x = 4x－3中，

解相同的是 ( )

A. (1) (2) (3)

B. (2) (3) (4)

C. (1) (2) (4)

D. (1)(3)(4)

5、若的值相等，则a为： ( )

A. 6

B.

C. 3

D. 2

二、填空题：

1、一元一次方程的标准形式是 ___________ (其中x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).

2、将方程的两边同乘以 ______得到3(x+2) =2(2x－3)这种变形叫 ______.

3、当x _____ 时，x－的值等于2.

4、已知 = 4,代数式x2－2x+5的值是 _________.

5、已知x =－2是方程2kx－3 =17+k的解，则k = ______.

6、若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a的值是

___________。

三、解方程：

1、5(y+8)―5 = 4(2y―7)

2、；

3、；

答案与解析：

一、1、D 2、 D 3、D 4、B 5、B

解析：

第1题：考查一元一次方程的解法。

第2题：考查一元一次方程的解法。

第3题：考查同类项的概念，由题意得：2m+3=4m-1,求出m 即可。

第4题：考查一元一次方程的解法。

第5题：考查列方程再解方程。由题意得：