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高思奥数导引小学六年级含详解答案第9讲计算综合二

第7讲几何综合一

兴趣篇

1. 图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知a=2厘米，b=4厘

米，c=5厘米，求图形的面积。

【分析】2

S=?+?+?=++=

2716531461535(cm)

2. 如图所示，∠+∠+∠+∠+∠+∠

123456等于多少度？

【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为720，列方程得(1801)(1802)(1803)(1804)(1805)(1806)720

-∠+-∠+-∠+-∠+-∠+-∠=，所以12345)6360

∠+∠+∠+∠+∠+∠=

3. 如图，平行四边形ABCD 的周长为75厘米。以BC 为底时高是14厘米，以CD 为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD 的面积。

【分析】 75237.5BC CD +=÷=,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以

:16:148:7BC CD ==,因此37.5(87)820BC =÷+?=,平行四边形ABCD 的面积是2014280?=平方厘米

4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是

平方米、25平方米、15

平方米和1

10平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是

多少平方米？

【分析】 1251110CH HD ==,因此23CH =,13HD =,331024

AE EB ==,所以37AE =,4

7EB =,因此

2353

721FG =-=,那么它的面积是2

52521441??

= ???

平方米

5. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。那么，正方体盒子的底面积是多少？

绿

黄红

【分析】将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保

持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24212÷=.根据公式可知，空白处面积=黄?绿÷红=1212207.2?÷=，则正方形盒底面积是

7.212122051.2+++=.

6. 如图，在三角形ABC 中，IF 和BC 平行，GD 和AB 平行，HE 和AC 平行。已知AG ：

GF ：FC =4:3:2，那么AH ：HI ：IB 和BD ：DE ：EC 分别是多少？

I F O G

【分析】连接,.

AO BOCO ,设4AOG S a =△，则3GOF S a =△，2COF S a =△，那么4AOH S a =△，2COE

S a =△，根据相似2

39749GOF AIF S S ??

???△△,所以940GOF GOIA S S =△,则163

HOI S a =△，又2

39525GOF GDC S S ??== ???△△,所以43DOE S a =△，2

749981AIF ABC S S ??

== ???△△,因此163

BDOI S a =，那么8

BOI BOD S S a

==△△，因此168

::4::3:4:233AH HI IB a a a ==::BD DE EC a a a ::==::84242333

7. 如图，已知三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，求三角形OBC 的面积。

【分析】因为DE 是ABC △的中线，所以3

BCED S =

四边形,设ODE S a =△，根据梯形蝴蝶定理有324294a a a a a +++==，所以112a =所以11

4123

OBC S =?=△

8. 在图中的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点。请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？

【分析】设正方形的面积为1，则14ACD S =

△,116ABO AOD S S ==△△,所以113

41616

COD S =-=△,因此三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的3倍

9. 如图，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，

则阴影部分的面积为多少平方厘米？

A B

【分析】设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．

可得1

=4AED

ABCD

S 平行四边形，对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以

::2:344DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，所以

1111

7263434

AEO

ABCD S

S =?=??=平行四边形(平方厘米)，

212ADO AEO

=?=(平方厘米)．

同理可得6CFM S =平方厘米，12CDM

=平方厘米．

所以 366624ABC

AEO

CFM

S S

--=--=(平方厘米)，

于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．

10. 如图，在三角形ABC 中，CE =AE 2，F 是AD 的中点，三角形ABC 的面积是1，那么

阴影部分的面积是多少？

3332

1F E D

C B

【分析】连接CF ，

根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△,

设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212

DCEF ABC S S =

=△

◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇

1. 如图，A 、B 是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度。问：A 、B 中阴影部分的周长哪个长？长多少？

【分析】 2()2(2)44A C a a b b b a b =+-++=+，2(2)46B C a b a b a b =+++=+，因此B 的周长

大，长了2b ,因为两个长方形的长比宽长8厘米，即(2)()8a b a b +-+=，即8b =，所以长了216b =厘米

2. 如图，ABCDE 是正五边形，CDF 是正三角形，BFE ∠等于多少度？

【分析】 1086048BCF EDF

∠=-==∠,

因

为

,BC CF DF DE

==,所以

()18048266BFC EFD ∠=∠=-÷=,因此36066260168BFE ∠=-?-=

3. 一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示。问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？

【分析】设CD x =，有13(12)5x x =-?，解得103x =

，所以11025

5233

S =??=阴影平方厘米

4. 图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48。请问：图中阴影部分的面积是多少？

【分析】如图，阴影部分的面积等于1

EF CD ??，所以，设大长方形的长为AB a =厘米，

宽为CD b =厘米，则有：EF 的长度为：

48125

4836122421

a a a -=++所以，阴影部

分的面积为1515100

1202212217

a b ??=??=(平方厘米)

5. 三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。

【分析】将中间的正方形卡片往左移动，可得到新的下右图的长方形盒子

在移动的过程中，最下方空白部分的面积没有变动，仍为3；而且空白部分面积和相等。移动后，左边和中间的正方形纸片共同拥有一个小正方形，则其各部分面积如下图：

令面积为3的正方形的边长为a ，则有2

3a =，而面积为6的长方形中的长为2a ，即大的正方方形纸片的边长为2a 。所以整个外面的长方形的长为5a ，宽为3a 。所以其面积为

21545a =.

6. 如图，三角形ABC 的面积为1。D 、E 分别为AB 、AC 的中点。F 、G 分别为BC 边上的三等分点。请问：三角形DEF 的面积是多少？三角形DOE 的面积是多少？

10a

6a 4a 6a 10a

15a

D C

【分析】连接GE

DE BC

FG BC

=,所

以

==,设4

OFG

S a

△

，则

4696101045

DECB

S a a a a a a a

=+++++=

四边形

ADE

ABC

△

,所以15

ADE

S a

△

，因此

601

ABC

S a

△

，即1

a=，所以

1515

604

DEF

S a

==?=

△

，13

6020

DOE

S a

==?=

△

7. 如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米。如果EF与上、下底平行，

那么EF的长度是多少？

【分析】102

153

==,

=,所以

106

OF=?=厘米,

156

EO=?=厘米,因此6612

EF=+=厘米

8. 如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

【分析】连接FC，根据梯形蝴蝶定理，面积为48

E D

9. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？

【分析】设每人的影子长为x 米，根据相似有1.545

x =

+，解得3x =，所以他的两个影子总长度是2236x =?=米

10. 如图，O 是长方形ABCD 一条对角线的中点，

图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？

F E

【分析】连接CO ,根据题意有431COE S =-=△,所以3DE OE

=,即

58EF BE CD BD ==,

525

864BCD S S ??

== ???阴影△,即25258648

S =?=阴影

11. 如图，在三角形ABC 中，AE ED =，D 点是BC 的四等分点，阴影部分的面积占三角

形ABC 面积的几分之几？

E D

【分析】设1CDE S =△,则3BDE ABE S S ==△△,根据燕尾模型有1AEC S =△,

ABE BCE S AF CF S ==△△,所以3

AEF S =

△,因此3

33733117

ABC S S +

==+++阴影

△

12. 如图，在三角形ABC 中，三角形AEO 的面积是1，三角形ABO 的面积是2，三角形BOD

的面积是3，则四边形DCEO 的面积是多少？

1O E

D C

【分析】连接OC ,设COD S x =△，

32COD AOC S DO S AO ==△△,所以23AOC S x =△，则2

COE S x =-△ 有

BCO COE

ABO AOE

S S S S =

△△△△,21

3321x x -+=，所以15x =，因此51243

DCEO S x =-=四边形

◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇

1. 如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长

方形分成了两个梯形和一个三角形。请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？

【分析】如图，添加辅助线，长方形被分成了12份。

梯形占5份，所以，

梯形面积=60÷12×5=25（平方厘米）

2. 如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四

边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20。请问：三角形ABC的面积是多少？

【解析】

本题主要应用：夹在平行线间的平行四边形面积之比等于底边长度之比（等高）。

由于S AIPD:S PHCG=IP:PH

所以，IP:PH=12:15=4:5

同理可推，PD:PE=3:5，FP:PE=4:3

连接ID，即可利用共角定理求S PEH=12.5

同理，可求其余部分。

答案：三角形ABC的面积是72平方厘米。

3. 如图所示，正方形ABCD的面积为1。E、F分别是BC和DF的重点，DE与BF交于

M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？

G M

N D

【分析】

过F 点做FG ∥EC 则，

FG DF EC DC ==

又2BC EC =

4,211,42////11

,421115315111115

15230FNM ABF FNM

ABF

AD FG BE FG FG FG AD BE FG AD BC

FN FG FM FG AN AD BM BE S S S

S ∴==∴==∴====∴=?=∴=

4. 如图，三角形ABC 的面积为1 ，D 、E 、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积。

答案：

5. 如图，小悦测出家里的瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？

1h h 44

P Q

【分析】

连接CD

则24CD =

121212:4:241:6::1:6

347(),1()1028()16()

=816=642

AB CD h h AB CD h h cm h cm MP cm NQ cm S cm ∴==∴==+=+=∴=∴=-==∴??菱形又同理，（）

6. 如图，ED 垂直于等腰梯形ABCD 的上底AD ，并交BC 于G ，AE 平行于BD ，

DCB =45°，且三角形ABD 和三角形EDC 的面积分别为75、45，那么三角形AED 的面积是多少？

【分析】

从A 点向BC 做垂线交BC 于F 点，交BD 于H 点。

三角形ABH 面积等于三角形CDE 的面积，又四边形AEDH 为平行四边形。所以三角形AED 的面积=75-45=30。

7. 在长方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，将长方形的四个角分别沿着HE 、EF 、FG 、GH 对折后，A 点与B 点重合，C 点与D 点重合。已知EH =3，EF =4，求线段AD 与AB 的长度比。

【分析】

如图可知，令K 为A 与B 重合的点，L 为C 与D 重合的点。则有：

E 为AE 中点，且等于EK 长度，由于AEH HEK ∠=∠,KE

F BEF ∠=∠,所以有：

90HEF ∠=,所以HF =5，EK =

125；所以245

AB =，由于5AH BF HF +==. 所以：24

::524:255

AD AB =

8. 如图，在长方形ABCD 中，:::AE ED AF AB BG GC ==。已知EFC ?的面积为20，FGD ?的面积为16，那么长方形ABCD 的面积是多少？

【分析】令AE a =，DE b =，AF c =，BF d =，则有：

a c

c d

=+①，由于 ()()()()()1111

202222

CEF S a b c d ac b c d d a b ac bc ad =++--+-+=++=三角形②

由①知，ac ad bc +=③，代入②得：20bc =。所以

()()()()1111

()162222

DFG S a b c d a b c ad b c d ac ad bd =++-

+--+=++=三角形④

()()11

201622

bc bd bd +=+=，则12bd =。所以2401252ABCD S ac ad bc bd bc bd =+++=+=+=长方形

所以长方形的面积为52。

（第9届日本算术奥林匹克决赛试题）

8、如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在三角形ABC 的三条边上，且BQ QC =。请求出正方形PQRS 的面积。

2厘米

9厘米

7厘米

6厘米C

【分析】

令整个三角形ABC 的面积为

根据鸟头模型可知

12143

a b c d =---=

则6875

1143143

c d ++=-

所以68

a b c d =

++ 将三角形c 与三角形d 分别以逆时针和顺时针旋转90°即可以得到一个新的四边形。这个心的四边形的面积为：b +c +d =7×6÷2+9×2÷2=30。则可以求出68

3027275

a .=?

=(平方厘米)。 d

第7讲几何综合一

兴趣篇

1. 图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。已知a =2厘米，b =4厘米，c =5厘米，求图形的面积。

【分析】

22716531461535(cm )S =?+?+?=++=

2. 如图所示，∠+∠+∠+∠+∠+∠123456等于多少度？