案例一两圆的位置关系
一.首先利用线段直尺工具在绘图区域绘制长度任意且合适的两条线段,并且标记为r1,r2
如图:
二.然后再绘制区域绘制任意方向的直线一条(水平方向为宜),如图:
三.接下来在直线上利用点工具任意选取两点,距离应当稍大些,并且标记为O1,O2,并
且以这两点为圆心,r1和r2为半径画圆.如图:
四.然后在直线右侧利用点工具任意绘制一点A,并且依次选择右侧圆的圆心O2点A,然
后选择菜单栏下的编辑—操作类型按钮—移动,并且将标签改为相离即可如图:
五. 然后我们来完成外切的构造,首先从左向右依次选取r2的两个端点,然后利用菜单栏下
边的变换—标记向量选项。然后选中左边的圆和直线然后选择菜单栏下的构造—交点选项,之后形成两个交点,并按从左向右取为Q ,P 两点。如图:
六. .之后选择r2和点p,然后选择菜单栏下的变换—平移,之后在直线上变形成了一点如图:
七.然后标记该点为B,然后和上步外离一样,依次选择O2和B点,再选择菜单栏下的编
辑—操作类型按钮—移动,将标签改为外切即可。如图:
八.然后在B点稍微往左一点构造一个点C,之后依次选取O2和C点,利用菜单栏下的编
辑—操作类型按钮—移动选项。并且将标签改为相交。如图:
九.然后我们来做内切的动画。首先和外切一样选取r2的左右两个端点,再选择菜单栏下的
变化—标记向量。然后依次选择点Q和线段r2,点击变换—平移。并且将直线上新形成的点标记为E。如图:
十.然后依次选择O2和E点,点击菜单栏下的编辑—操作类型按钮---移动选项。并将标签
改为内切。如图
—编辑—操作类型按钮—移动,并将标签改为内含。如图:
十二.然后在适当位置表上文字信息,如图:
自此一个两圆的位置关系的动画型课件就做完了。然后存盘退出。
点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα,点βαα∈∈∈C B A ,,,且L C ∈,又R L AB =?,过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ,则γβ?是( ) A .直线AC B .直线B C C .直线CR D .以上都不对 2、空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( ) A .0 B .1 C .1或4 D .无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中,一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中,P 、Q 分别为11,CC AA 的中点,则四边形PBQ D 1是( ) A .正方形 B .菱形 C .矩形 D .空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中,点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若AC=BD , 且BD AC ⊥,则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是( ) A . 若βα??b a ,,则直线b a ,为异面直线 B . 若βα??b a ,,则直线b a ,为异面直线 C . 若?=?b a ,则直线b a ,为异面直线 D . 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有 公共点,则这两条直线是异面直线,以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面,可以作( ) A .1个 B .1个或无数个 C .0个或无数个 D .0个、1个或无数个 9、b a //,且a 与平面α相交,那么直线b 与平面α的位置关系是( ) A .必相交 B .有可能平行 C .相交或平行 D .相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( ) A .一条直线不相交 B .两条直线不相交 C .任意一条直线不相交 D .无数条直线不相交 11、如果两直线b a //,且//a 平面α,则b 与平面α的位置关系是( ) A .相交 B .α//b C .α?b D .α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与平面α的位置关系是( ) A .α//b B .α?b C .b 与平面α相交 D .以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线,且//a 平面α,则b 与平面α的位置关系是( ) A .α//b B .b 与平面α相交 C .α?b D .不能确定 14、已知//a 平面α,直线α?b ,则直线a 与直线b 的关系是( ) A .相交 B .平行 C .异面 D .平行或异面
《用方向和距离确定位置》教学设计 教学内容:小学六年级数学教材第50页的例1,第51页的“练一练”,完成练习九第1~3题。 教学目标: 1.在具体情境中初步理解北偏东(西)、南偏东(西)的含义,会用方向和距离描述物体的位置,初步感受用方向和距离确定物体位置的科学性。 2.经历用方向和距离描述物体位置的方法的探究过程,进一步培养学生观察、识图和有条理地进行表达的能力,发展空间观念。 3.进一步体验数学与生活的密切联系,增强用数学的眼光观察日常生活现象和解决日常生活问题的意识。 教学重点:掌握用方向和距离确定物体位置的方法,能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置。教学难点:确定物体位置的方向。教学教具:课件、铅笔、直尺、量角器 教学过程: 一、情境导入 1.谈话:请同学们回忆一下,我们已经学习了哪些确定位置的知识?(东南西北,第几排第几个,数对等) 2.如果一个物体处在没有竖列没有横行的环境中,比如在海上、空中,又用什么方式确定位置呢?今天这节课,我们就继续来研究确定位置的方法。 二、互动新授
1.用方向描述物体的位置。 (1)教学北偏东(西)、南偏东(西)①出示第50页例1的情境图。提问:一艘轮船在正北方向航行,你能说出灯塔1和灯塔2分别在轮船的什么方向吗?学生用学过的东北、西北来描述灯塔1和灯塔2的位置。引导明确:东北方向也叫北偏东,西北方向也叫北偏西。②小组合作探究:请同学们想一想,东南、西南方向又叫作什么方向?学生思考后回答:东南方向也叫作南偏东,西南方向也叫作南偏西。③下面我们来比比谁的手指快。教师说方向,学生在图中指一指。 (2)教学用角度确定位置。①如果老师现在告诉苏我你还有一个灯塔A也在北偏东方向,你能在图中指一指吗?请多个学生上黑板指一指。明确:只要指在北和东的夹角范围内的都符合老师的要求。提问:如果灯塔1和灯塔A都在轮船的北偏东方向,但是位置却不同,我们该怎么区分它们呢?引导学生思考:可以根据它们偏离角度的不同来区分。②问:怎样测量灯塔1和正北方向偏离的角度呢?课件演示并强调:量角器的中心对准观测点,00刻度线对准轮船的正北方向,观察灯塔1所在的边,读出度数。学生先在图上量一量灯塔1偏离正北方向的角度,说出度数,然后在书中填一填。 2.用距离确定物体的位置。(1)提问:是不是知道灯塔1在北偏东300方向就能把它具体位置确定下来了呢?课件演示:画出北偏东300这条射线,并提问:这条射线上的点都在北偏东300方向,哪个点是灯塔1的位置呢?还需要知道什么?学生分小组讨论。明确:看来,
用数对确定位置的教学设计 万载县第一小学潘月星 教学目标: (一)知识目标 1、能在具体的情境中,探索确定位置的方法,说出某一物体的位置。 2、能在方格纸上用“数对”确定位置。 (二)技能目标 通过形式多样的确定位置的方式,让学生在探索知识的过程中发展空间观念,并增强其运用所学知识解决实际问题的能力。 (三)情感目标 感受确定位置的丰富现实背景,体会数学的价值,产生对数学的亲切感。 教学重点:学习用“数对”的形式描述物体的具体位置,并能在方格纸上用“数对”确定位置。 教学难点:学会利用已有知识解决问题,建立“数对”概念。 教学准备:课件,实物投影仪。 教学方法:例证法、类比法、迁移法 教学过程: 一、创设情境,导入新课 (一)创设情境 师:请同学们回忆一下,课间操的时候,你在我们班的什么位置?如果要开家长会,你准备怎样向家长介绍你在教室里的位置?(出示课件)这是一张学生座位表,你能不能用自己的话来描述小青所在的位置? 学生交流后引导学生小结:同一位置,观察的角度不同,所描述的话也就不一样了。为了便于大家交流,通常用列和行来表示某人的准确位置。
(二)导入新课 什么是列?什么是行?竖排为列,横排为行。那小青在第4列第3行,请找出他的准确位置。 学生活动(可找出4个孩子),引出几列几行。第一列在哪儿?第一行在哪儿?通常以观察者的最左边为第一列,以观察者的最前边为第一行(大家都是观察者)。这是第一列,这是……那么这时谁能找出小青的准确位置?你能用更简洁的方法来描述他的位置吗?想一想,写在本子上。师辅导并选几种写在黑板上。4~3 4—3 4;3 有那些相同点?我们规定,把第4列用数字4表示,第3行用数字3表示,为了区分列与行,用逗号作为分隔符,它们表示的是同一位置,是一个整体,因此就用小括号括起来,像(4,3)这样的一对数,我们把它叫作数对,今天我们来学习用数对确定位置。读作:数对四三。 二引导探究,发现规律 (一)教学例1。 课件出示课本第2页的情境图。 1、说一说 让学生说一说,从中获得了哪些数学信息,然后老师提出问题:能否像刚才说位置的方法,准确说明这个班某个同学的位置? 2、议一议 让学生议一议,如何既清楚又简便的表示位置,然后组织交流。 3、写一写 让学生用数对写出其他几位同学的位置。 4、比一比 比一比王艳位置(3,4)与赵强的位置(4,3)有什么不同?让学生明确:两个数字组成顺序不一样,表示的意思就不一样。 5、小结
《用数对确定位置》案例分析 《用数对确定位置》是学生第一次接触用数对确定方位的课,他们既陌生又感兴趣,对新课的学习充满了憧憬与热情。于是我事先给他们设计好了一份有助于学生自主先学的导学单,引导学生在家自主先学。导学单如下: 《用数对确定位置》导学单 班级——第——组姓名—— 活动一: 1.请仔细看例题1图,写出小军坐在什么位置——,还可以怎样表示——。 2.如果规定竖排为叫作列,横排叫作行,列从左向右数,行从前向后数,先说列再说行,你认为现在该怎样表达小军的位置—— 3.请自学书上用数对表示法,再用数对表示出小军所在的位置—— 活动二: 图中第4列,第8行在什么位置,用数对表示是(——,——)。 解析:这张导学单通过三次让学生写出小军所在的位置,使学生逐步明白用数对怎样表示位置,以及为什么要用数对表示位置,这将为新课的学习奠定了良好的基础。 课堂上,我先检测学生自主先学的成果。 师:例题图中小军坐在什么位置,可以怎样表示? 生:小军所在的位置可以用数对(4,3)表示。 师:数对(4,3)中的4表示什么意思?3又表示什么意思呢? 生:4表示小军坐在第4列,3表示小军坐在第3行。 师: 数对(4,3)中的,和()表示什么意思? 评析:这时学生回答不上来,我就组织学生在小组里交流,然后再找学生在全班内交流。以上是教师先侦查学情,也就是先检查学生自主先学的效果,然后再启发思考,指导疑难。生: ,表示把列与行分开,()表示一个完整的数对。 追问:那么你们认为在写数对时,要注意什么问题呢? 评析:这时学生回答不上来,我就再一次组织学生在小组里交流,然后再找学生在全班内交流。这一问题其实是对数对认识的一个总结和清晰再认识。 生:写数对时要先写列数,后写行数。列和行表达的意思不同,数对中两个数的顺序不能任意颠倒。 师:说的真好。 评析:及时对学生的回答进行评价、肯定、表扬,能增强学生学习的自信心,激发学生的学习兴趣。 让学生交流
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点:空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换 2、三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ,A ∈α ,B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么L A · α C · B · A · α P · α L β
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0,); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2
第2课时在方格纸上用数对确定物体的位置 上课解决方案 教案设计 设计说明 本课时通过联系生活实际,在分析生活中常见的示意图的基础上,使学生学会用数对在方格纸上确定物体的位置的方法。教学中重点关注以下两个方面: 1.以学生为主体。 注意唤起学生的学习兴趣,鼓励学生自主探索,合作交流,引导学生质疑问难。使学生在合作探究中,充分体会数学与生活的紧密联系,从正反两方面掌握在方格纸上表示物体位置的方法,实现技能上由数对到点的质的飞跃。 2.注重知识的综合性。 充分利用教材中提供的“用数对确定物体的位置”和前面学习的“平移”“方位”知识的素材,使学生初步体会到数形结合的思想,让学生理解并掌握在方格纸上用数对表示点的位置的方法,架起了数与形之间的桥梁,加强了知识间的相互联系,为解决数学问题提供有力的帮助。 学前准备 教具准备PPT课件 学具准备表示动物园示意图的方格纸图 教学过程 ⊙复习导入 1.复习。 先用数对表示班级学习委员的位置,再说说数对中的第一个数字表示什么,第二个数字表示什么。(数对中的第一个数字表示列,第二个数字表示行) 2.揭题。 本节课,我们学习用数对在方格纸上确定物体的位置。(板书课题:用数对在方格纸上确定物体的位置) 设计意图:通过用数对表示同学的位置,复习用数对表示位置的方法,强化数对中两个数的顺序,为学习本课新知做准备。 ⊙探究新知
1.出示动物园示意图课件,理解图意。 (1)你能看懂这张图吗?(这是动物园的示意图,横排和竖排所构成的区域是整个动物园的范围。动物园的各场馆都画成一个点,这些点都分散在方格纸竖线与横线的交点上,它们只反映各场馆的位置,不反映其他内容) (2)图上的数字表示什么?(纵向排列的数字表示从下往上数每条横线代表的行数;横向排列的数字表示从左往右数每条竖线代表的列数。图上的数字表明行和列的起点均为0) 2.自主学习例题。 (1)小组之间互相交流、探讨,独立完成问题1和问题2。 (教师相应地进行指导,收集学生的学习信息,重点让学生展示不同的思维方法,特别是引导小组内学生之间的交流与探讨) (2)指名板演。 3.课件展示自学结果。 (1)问题1。 熊猫馆在第3列第5行,用(3,5)表示; 海洋馆在第6列第4行,用(6,4)表示; 猴山在第2列第2行,用(2,2)表示; 大象馆在第1列第4行,用(1,4)表示。 (2)问题2。 让板演的学生说说自己是怎样标出各个场馆的位置的。如:飞禽馆(1,1)在第1列第1行交点上…… 4.拓展延伸。 (1)分别观察飞禽馆、大象馆以及猩猩馆和狮虎山在图中的位置和表示它们位置的数对,你有什么发现? (表示同一列中景点位置的数对,它们的第一个数相同;表示同一行中景点位置的数对,它们的第二个数相同) (2)周日,王艳和妈妈去动物园玩,她们的游玩路线如下: (3,0)→(2,2)→(0,3)→(1,4)→(3,5)→(6,4)→(3,0) ①请你说出她们的参观路线。(大门→猴山→猩猩馆→大象馆→熊猫馆→海洋馆→大门) ②请你设计一条路线,并用数对写出满足以下两个条件的路线方案。 a.经过所有的景点。
《用数对确定位置》 教学内容: 《义务教育课程标准实验教科书数学》小学数学四下第45-46页。 教学目标: 1、结合生活情境,使学生体验用数对确定位置的必要性、准确性和简洁性。 2、在具体情境中,能用数对表示位置,根据数对确定位置,并能在方格图中根据数对确定位置。 3、引导学生经历由实物图到方格图的抽象过程,渗透坐标的思想与对应的思想,发展学生的空间观点。 4、体验确定物体位置与生活的联系。 教学重点: 用数对表示位置。 教学难点: 在方格纸上用数对表示位置。 教学准备: 多媒体课件、写有数对的纸条。 教学过程: 一、用自己的方法确定位置 师:这是四年级同学上课时的一张照片,看后你有什么想说的?你们呢?老师相信只要你们肯坚持,也一定会成这个好习的,在这个班级中的小强各方面表现是最棒的!仔细观察,小强在什么位置?想一想怎样能用准确而简练的语言把小强的位置描述出来? (师巡视,搜集部分学生的记录并展示。) 1号:第二排第四个。 2号:从左边数第三排,从前边数第二个。 3号:从左往右数第三竖排,从右往左数第四竖排,从前往后数第二横排,从后往前数第四横排。) 师:你们觉得这3位同学描述得怎么样?谁来评价一下? 生1:1号不知道是从哪儿开始数的第二排,所以虽然非常简练但没有交代清楚。2号写清楚了从哪儿开始数的,但是不知道是横排还是竖排。 生2:1号说小强在第二排,2号说小强在第三排,他们的“排”意思不一样,但都没有写清楚。 生3:3号描述比较准确不过太麻烦了。 师:确实是这样的。1号和2号的描述比较简练,但不够准确;3号的描述比较准确,但又不够简练。怎样能描述得既准确又简练呢?这就需要统一标准。 二、用列与行的方法确定位置
点、线、面的位置关系 ● 知识梳理 (一).平面 公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理2:不共线... 的三点确定一个平面. 推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线 (二)空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系:相交,平行,异面 1.1平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.2等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; 1.4异面直线所成的角:(1)范围:(]0,90θ∈??;(2)作异面直线所成的角:平移法. 2.直线与平面的位置关系: 包含,相交,平行 3.平面与平面的位置关系:平行,相交 (三)平行关系(包括线面平行,面面平行) 1.线面平行:①定义:直线与平面无公共点. ②判定定理:////a b a a b αα α???????? ③性质定理:////a a a b b αβαβ??????=?
2.线面斜交: ①直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围:[]0,90θ∈?? 3.面面平行:①定义://αβαβ=??; ②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述:,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? 判定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:,//a a αβαβ⊥⊥?. ③面面平行的性质:(1)////a a αββα????? ; (2)////a a b b αβαγβγ? ? =???=? (四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直) 1.线面垂直①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意,a α?都有l a ⊥,且l α?,则l α⊥. ②判定:,a b a b O l l l a l b ααα?? ?=? ???⊥??⊥? ⊥?? ③性质:(1) ,l a l a αα⊥??⊥; (2),//a b a b αα⊥⊥?; 3.2面面斜交①二面角:(1)定义:【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角-的平面角 范围:[0,180]AOB ∠∈?? ②作二面角的平面角的方法:(1)定义法;(2)三垂线法(常用);(3)垂面法. 3.3面面垂直(1)定义:若二面角l αβ--的平面角为90?,则αβ⊥; (2)判定定理: a a ααββ?? ?⊥?⊥?
北师大版小学数学《确定位置(一)》教学案例【课例背景】 导学课堂以导、学、练为核心要素,体现自主、合作、探究的教学理念和以教师为主导、以学生为主体的教学思想,其课堂形式是以游戏、生活情境导出问题、导入新课,达到激趣煽情、明确主题的目的;以问题或活动组织自学,并用自学提示给予方法、方向引导,给足学生自主学习的时间和空间;以多层次、多形式的交流和教师的引导点拨方式展开探究,解开疑惑;以紧扣教学目标的练习检测学习效果、以解决生活中的实际问题巩固知识、以具有拓展性、延伸性的问题或练习将探究学习引向延伸。在课内比教学活动中,我将导学课堂用于数学课堂来落实自主、合作、探究的教学理念和以教师为主导、以学生为主体的教学思想,让数学课堂成为活动的课堂、思维的课堂,现以《确定位置》为例呈现我们的研究与思考。 【教学内容】 北师大版《义务教育课程标准实验教科书》四年级上册第63页。 【教材分析】 1.教材的地位和作用 《确定位置(一)》是北师大版小学数学四年级上册第五单元第二节的内容。在此之前,学生已经学习了前后、左右、
上下等表示物体具体位置的知识,也认识了简单的路线,具备了初步的观察、操作等活动经验,建立了一定的空间观念。此课的学习安排在第二学段,既是认识图形知识的继续,又是今后学习坐标、一次函数等知识的基础,起着承前启后的作用,这是一节探索活动课。 2.学生情况分析 由于学生在生活中常常会接触到确定位置的问题,四年级学生对这一类问题有一定的生活经验和知识基础,但是,在表示方式都是按照自己习惯的方式来表达,探寻统一、正确的方法表示位置是学生的心理需求。如:做操要按顺序排队;看电影时找座位;开家长会时,将自己的座位信息告诉家长,方便家长找到座位等都要有正确的表示位置的方法。因此,教学确定位置这节内容要充分利用学生的知识经验,引导学生自主探索,为后期学习奠定知识基础和方法储备。【教学目标】 1、能在具体的情境中,探索确定位置的方法,说出某一物体的位置;能在方格纸上用数对的方法确定位置。 2、结合具体情境,探索确定位置的方法,培养学生的理解和应用能力。 3、通过小组活动、游戏等方式培养学生的合作意识,体会学习数学的乐趣。 【教学重点】
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点:空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换 2、三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ,A∈α ,B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 L A · α C · B · A · α P · α L β
3、异面直线所成角θ的范围是 00 <θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0,); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 共面直线 =>a ∥c 2
“确定位置”教学案例与分析 五年级数学教案 教学内容:苏教版《义务教育新课程标准实验教科书》第十册 教学目标: 1、使学生在具体情境中,能用数对来表示位置,并能在方格纸上用数对确定位置。 2、在探索物体的位置关系的过程中,进一步发展空间观念。 3、感受数学与生活的联系,培养学生的数学应用意识。 4、通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动,体验数学问题的探索性和挑战性,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。 课前准备有关课件、每人一个数对。 教学流程 一、巩固旧知,激趣引入。 多媒体课件出示学生座位图(6×6的座位) 师:同学们,仔细看一看,你能说出小军的具体位置吗? 生1:小军在从左往右数第2个,从前往后数第3个。
生2:小军在从上往下数第4个,从左往右数第2个 生3:小军在从右往左数第5个,从前往后数第3个。 生4:…… 师:同学们都说得很好,看来小军的位置有这么多种不同的说法。那么我们就应该来给他它作一个统一的规定。我们一般规定,从左往右为“行”,从前往后为“列”。那么你们知道小军在第几列,第几行。 生:第2列第3行。(板书) 课件展示图(将座位图上的每个“人”全部改成“圆片”) 师:现在你能找到第2列第3行吗? (学生思考后,上黑板前点击鼠标,找到第2列第3行。) 师:这就是我们今天所要学习的“确定位置”(板书) 师:第2列第3行还可以用“数对” 来表示写成(2,3)(板书),教师说一说如何写,然后问,你知道“2”表示什么?“3”表示什么? 生:“2”表示第2列,“3”表示第3行。 师:老师现在任意点一个圆片(第3列第5行),由你们来写数对表示它的位置。生写(3,5),然后汇报。教师及时评价。老师再点出第5列的所有圆片,
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系练习题 一、 选择题: 1.下面推理过程,错误的是( ) (A ) αα??∈A l A l ,// (B ) ααα??∈∈∈l B A l A ,, (C ) AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, (D ) βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2.一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( ) (A ) 1个或3个 (B ) 1个或4个 (C ) 3个或4个 (D ) 1个、3个或4个 3.以下命题正确的有( ) (1)若a ∥b ,b ∥c ,则直线a ,b ,c 共面; (2)若a ∥α,则a 平行于平面α内的所有直线; (3)若平面α内的无数条直线都与β平行,则α∥β; (4)分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个 4.正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 6 (D ) 12 5.以下命题中为真命题的个数是( ) (1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则直线l ∥α; (2)若直线a 在平面α外,则a ∥α; (3)若直线a ∥b ,α?b ,则a ∥α; (4)若直线a ∥b ,α?b ,则a 平行于平面α内的无数条直线。 (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个 6.若三个平面两两相交,则它们的交线条数是( ) (A ) 1条 (B ) 2条 (C ) 3条 (D )1条或3条 7. 下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 8. 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l α∥. ②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
确定位置 教学目标: 1、使学生在具体的情境中认识列、行的含义,知道确定第几列、第几行的规则,初步理解数对的含义,会用数对表示具体情境中的位置。 2、使学生经历由具体的座位图到抽象成用列、行表示平面图的过程,提高抽象思维能力,发展空间观念。 3、使学生体验数学与生活的密切联系,进一步增强用数学的眼光观察生活的意识。 教学过程: 一、情境引入,激发需要 我们在三、四年级已经学习了用方向来确定物体的位置,这节课我们来学习确定位置的另一种方法。(板书:确定位置) 二、自主探索,学习新知 (一)自学课本:初步了解数对 (1)书中是怎样表示张亮的位置的,你能介绍一下吗? (2)你能用同样的方法来表示王艳和赵雪的位置吗?看看有什么不同? (3)通过学习例1,你们得出了什么结论?还有什么疑问吗? (二)反馈交流:深入理解数对 1、学习例1:反馈导学单 (1)书中是怎样用数对来表示张亮的位置的?(2,3) 请学生回答 老师刚才的发现来整理一下,确定张亮的位置先竖着看,确定第几列一般是从左往右数,一起数:第1列,第2列……张亮在第2列,再横着看,确定第几行一般是从前往后数,张亮的位置用数对表示(2,3)。强调数对的写法:在书写时,用小括号把两个数括起来,中间加一个逗号,竖着看第2列写2,再横着看第3行写3,板书示范写法,表示的意义,齐读 把这幅图再简化后得到点子图,谁来介绍张亮的位置。指2名。一起说。 (2)你能用同样的方法来表示王艳和赵雪的位置吗?看看有什么不同? 介绍王艳和赵雪位置,讨论不同点 (3)通过学习例1,你们得出了什么结论?还有什么疑问吗? 我们的疑问是:谁帮我们来解决?大家还有什么疑问吗? 2、学习例2:用数对确定方格纸上物体的位置。 (1)刚才我们学会了用数对来表示班级同学所在的位置,那么你能用“数对”在方格纸上表示动物园各场所的位置吗?请看屏幕,我们可以把方格的竖线看做“列”,从左到右依次标注为0、1、2……,横线看做“行”。从下往上依次为0、1、2……,0既是列的起始,也是行的起始。那么,竖线和横线的任何一个交叉点都能用“数对”确定其位置。大门用(3、0)表示,请你也用数对表示其它
空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过____________的一条直线. 公理3:经过____________________的三点,有且只有一个平面. 推论1:经过____________________,有且只有一个平面. 推论2:经过________________,有且只有一个平面. 推论3:经过________________,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 * (1)位置关系的分类 ?? ? 共面直线????? 异面直线:不同在任何一个平面内 (2)异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内______________的直线是异面直线. (3)异面直线所成的角 ①定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间任意一点O ,作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ,b 所成的角. ②范围:____________. 3.公理4 平行于____________的两条直线互相平行. 4.定理 } 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角________.
自我检测 1.若直线a与b是异面直线,直线b与c是异面直线,则直线a与c的位置关系是____________. 2.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对. 3.三个不重合的平面可以把空间分成n部分,则n的可能取值为________. 4.直三棱柱ABC—A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________. 5.下列命题: ①空间不同三点确定一个平面; ] ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________(填序号). : 【例题讲解】 1、平面的基本性质 例1如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB =CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,AH∶HD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连结EH.
《确定位置》教学案例 武功县普集街乡永丰小学张博 【案例背景】 导学课堂以“导、学、练”为核心要素,体现“自主、合作、探究”的教学理念和“以教师为主导、以学生为主体”的教学思想,其课堂形式是以游戏、生活情境导出问题、导入新课,达到激趣煽情、明确主题的目的;以问题或活动组织自学,并用自学提示给予方法、方向引导,给足学生自主学习的时间和空间;一多层次、多形式的交流和教师的引导点拨方式展开探究,解开疑惑;以紧扣教学目标的练习检测学习效果、以解决生活中的实际问题巩固知识、以具有拓展性、延伸性的问题或练习将探究学习引向延伸。在课内比教学活动中,我将导学课堂用于数学课堂来落实“自主、合作、探究”的教学理念和“以教师为主导、以学生为主体”的教学思想,让数学课堂成为活动的课堂、思维的课堂,现以《确定位置》为例呈现我们的研究与思考。 【教学内容】 北师大版《义务教育课程标准实验教科书》四年级上册。 【教材分析】 1.教材的地位和作用 《确定位置(一)》是北师大版小学数学四年级上册第六单元第一课时的内容。在此之前,学生已经学习了前后、左右、上下等表示物体具体位置的知识,也认识了简单的路线,具备了初步的观察、操作等活动经验,建立了一定的空间观念。此课的学习安排在第二学段,既是认识图形知识的继续,又是今后学习坐标、一次函数等知识的基础,起着承前启后的作用,这是一节探索活动课。 2.学生情况分析 由于学生在生活中常常会接触到确定位置的问题,四年级学生对这一类问题有一定的生活经验和知识基础,但是,在表示方式都是按照自己习惯的方式来表达,探寻统一、正确的方法表示位置是学生的心理需求。如:做操要按顺序排队;看电影时找座位;开家长会时,将自己的座位信息告诉家长,方便家长找到座位等都要有正确的表示位置的方法。因此,教学确定位置这节内容要充分利用学生的知识经验,引导学生自主探索,为后期学习奠定知识基础和方法储备。 【教学目标】 1、能在具体的情境中,探索确定位置的方法,说出某一物体的位置;能在方格纸上用“数对”的方法确定位置。 2、结合具体情境,探索确定位置的方法,培养学生的理解和应用能力。
《用数对确定物体的位置》教案 楊耘恺 教学目标: 1、使学生在具体的情境中认识列、行的含义,知道确定第几列、第几行的规则,能初步理解数对的含义,会用数对表示具体情境中物体的位置。 2、使学生体验数学与生活的密切联系,进一步增强用数学的眼光观察生活的意识。 3、培养学生的空间意识和能力,进一步培养数感。 教学重点:会用数对确定物体的位置 教学难点:正确区分列和行的顺序 教学准备:课件、写有数对的卡片 教学过程: 一、情境导入: 1、说一说:用语言描述班长所在的位置。 今天有几位老师和我们一起上课,同学们欢迎吗?老师们都很想认识我们班的同学,那么咱们先来给各位老师介绍一下我们班的班长吧!老师想请同学们来向大家介绍介绍,在介绍之前,老师有一个要求:不能说出班长的名字,也不能用手指出班长在哪儿,只能用语言描述班长所在的位置。看谁能够说清楚? 2、导入课题:刚才大家在描述班长的位置时,你有你的说法,他有他的说法,感觉怎样?(有点乱)我们能不能寻找一种既准确又简单的方法来描述位置呢,这节课我们就一起来探讨怎样确定物体的位置。(板书:确定物体的位置) 二、自主探究、学习新知 一)、认识“列”和“行” 出示导学案一:初步感知,认识“列行”。 1、在日常生活中,我们可以用组、排、行等多种方式表示物体的位置,还可以从不同的方位来描述物体的位置。我们在确定位置的时候,为了在语言上达成一致,在数学上我们把竖排叫列,横排叫行。(板书:竖排、横排、列、行) 2、明确实际教室中的“列与行”: 1)观察我们的座位:你认为从哪开始是第一列?从哪开始是第一行? 根据人们的习惯,我们通常把观察者最左边的一竖排称为第一列,从左往右数依次是第2列,
空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过____________的一条直线. 公理3:经过____________________的三点,有且只有一个平面. 推论1:经过____________________,有且只有一个平面. 推论2:经过________________,有且只有一个平面. 推论3:经过________________,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内______________的直线是异面直线. (3)异面直线所成的角 ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的____________叫做异面直线a,b所成的角. ②范围:____________. 3.公理4 平行于____________的两条直线互相平行. 4.定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 ________.
自我检测 1.若直线a与b是异面直线,直线b与c是异面直线,则直线a与c的位置关系是____________. 2.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对. 3.三个不重合的平面可以把空间分成n部分,则n的可能取值为________. 4.直三棱柱ABC—A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________. 5.下列命题: ①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________(填序号). 【例题讲解】 1、平面的基本性质 例1如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,AH∶HD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连结EH. 求证:EH、FG、BD三线共点. 变式迁移1
《确定位置》解决重难点案例 教材分析:用数对确定位置是在第一学段已经学习了前后、上下、左右等表示物体具体位置及简单路线等知识的基础上进行学习的,是第一学段学习内容的延续和发展,让学生用抽象的数对来表示位置,进一步发展学生空间观念,提高抽象思维能力,为今后进一步学习“图形与坐标”打下重要基础。 学情分析:在日常生活中,根据需要按一定顺序排列是学生已有的经验。如:教室的座位、课间操站队、放学路队等。但是用数对表示位置顺序,并在方格图上用数对确定位置,学生还是第一次接触,因此教学时,应从学生已有知识经验出发,创设现实情境,增加学生参与、体验的机会,让其在实践中加深理解,在活动中感受数学与生活的紧密联系,培养学生的空间观念。 教学目标: (1)、探索确定位置的方法,认识数对。 (2)、能用数对表示位置,并能在方格图上确定位置。 (3)、经历知识的形成过程,发展空间观念 教学重点:探索确定位置的方法,能在方格纸上用“数对”确定位置。 教学难点:正确地用数对描述物体的具体位置。 充分利用“数形结合”的方法,把具体实物图形抽象为直观的点子图、方格图,是本节课突破重点和难点的关键。 教法和学法: 在生活中有很多数学问题,引导学生从生活中发现问题,归纳问题的共同特点,从而建立数学模型是设计本课的一个重要指导思想。四年级学生与中低年级的学生相比,他们在动手操作、观察比较等方面能力更强。想象的有意性迅速增长并逐渐符合客观现实,同时,创造性成分日益增多。
(1)情境教学法:以教材的情境设计为依托,结合学生自身的生活经验为学生创设问题情境,引起学生对数对学习关注,激发学生学习的兴趣和问题意识。 (2)数形结合法:把抽象的知识与具体的图形联系起来,使图形更加直观,从而有效降低教学的难度,加深学生对数对的理解和认识。 (3)合作学习法:在独立思考和自主探索的基础上,进行小组间的合作与交流,为每位学生提供从事数学活动机会,帮助学生在多元交流中真正理解和掌握知识。 教学过程:围绕这3个基本目标及教学重点、难点,为了达到预期的教学目标,同时遵循学生的认知心理特点我设计以下4个教学环节。 一、创设情境,激趣导入 同学们在班上一定有自己的好朋友,谁愿意向老师介绍一下你的好朋友?最好说出他坐在哪里,让老师猜猜他是谁,好吗? 二、设置疑问,引出数对 (一)列、行的含义和确定第几列、第几行的规则 1.咱们先以同学们的座次为例,刚才你们说到的竖排指什么吗?(学生指一指)在数学上称列,从哪开始数,你们有两种数法,习惯上从左往右数。(板书左右)那从观察者的角度,也就是以老师的角度来看,谁是第一列,请起立,第三列、第五列。 2.横排指什么,数学上称行。从哪开始数,(板书从前往后)谁是第一行,请起立,第三行。 3.谁站了两次,为什么? 4.现在你能更清楚的告诉我你在教室内的位置吗?你朋友的位置,你班长的位置。 (二)、发挥想象,创造符号,渗透“数形结合”思想。