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基于非均匀有理B样条曲面重构汽轮机扭曲叶片

第30卷第12期 2010年12月

动力工程学报

Journal of Chinese Society o f Pow er Eng ineering

Vol.30No.12 Dec.2010

收稿日期:2010 06 24 修订日期:2010 07 19基金项目:国家自然科学基金资助项目(60974125)

作者简介:乐英(1971 ),女,河南信阳人,副教授,博士研究生,主要从事汽轮机叶片等复杂曲面造型方面的研究工作.

电话(T el.):139********;E mail:yueying71@https://www.wendangku.net/doc/595333823.html,.

文章编号:1674 7607(2010)12 0926 06 中图分类号:T K 263.3 文献标识码:A 学科分类号:470.30

基于非均匀有理B 样条曲面重构汽轮机扭曲叶片

乐英, 王璋奇, 韩庆瑶

(华北电力大学机械工程系,保定071003)

摘要:为了准确高效地构造汽轮机叶片曲面,采用三次非均匀有理B 样条拟合叶片表面.分别采

用向心参数法和累积弦长参数化法计算叶片横截面和纵向的节点矢量,根据求得的控制顶点网格和节点矢量建立叶片精确的数学模型,并给出其矩阵表达形式.经实例验证表明:所建立的叶片数学模型完全满足精度要求,对提高叶片的设计质量和进行叶片动力特性分析具有实用价值.关键词:汽轮机;叶片;NURBS 曲面;重构

Reconstruction of Turbine Blade Twisted Based on N URBS Surface

YUE Ying , WA N G Zhang qi , H A N Qing y ao (Departm ent of M echanical Eng ineering ,N orth China Electric

Pow er U niv ersity ,Baoding 071003,China)

Abstract:T o co nstruct turbine blade efficiently and accurately ,non unifo rm r ational B spline (NURBS)has been ado pted to fit the turbine blade sur face.T he specific w ay is first to w or k out the cross section and longitudinal no de vector s,respectiv ely using the centripetal parameter metho d and the accumulation chord leng th parameter metho d,then to build accurate mathematical model based on control points and no de vector acquired previously,and finally to give out its matr ix expression.Actual application results show that the mathematical m odel satisfies relevant accuracy r equirements,and therefo re may serv e as a reference in impr oving design quality and carry ing on char acteristic analysis of turbine blades.Key words:steam tur bine;blade;NU RBS surface;reconstruction

叶片是汽轮机的关键零件,叶片的数学描述对叶片结构设计和动力特性分析有着重要意义

[1 2]

.拟

合叶片的数学方法主要有Bezier 方法、B 样条方法和非均匀有理B 样条(no n unifo rm rational B spline,NURBS)方法[3 4].Bezier 曲线应用在叶片设计上有两个局限性:(1)它不能进行局部的控制修改,即当移动某一控制点时,曲线上的各个部分都会随之改动,这对于要求对叶片进行局部修改时是无法实现的;(2)它不能准确表达如圆弧之类的二

次曲线,而大多数叶片的前后缘都是圆弧.B 样条曲线能够克服Bezier 曲线局部能力不强的弱点,但是仍然实现不了对二次曲线的精确表达.

为了提高汽轮机的级效率,目前叶片的叶型基本为变截面扭曲的复杂曲面,其形状不能用初等解析函数来表示.由于NU RBS 实现了二次解析几何和自由曲线曲面的统一,通过局部改变控制点或权因子即可以调整局部的曲线曲面形状,而不影响其他部分,具有良好的几何性质[5].基于以上原因,本

文利用NURBS重构汽轮机叶片曲面.

1 NURBS曲线曲面表示

一条k次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数[6 7]:

p(u)= n

i=0

i d i N i,k(u)

i=0

i N i,k(u)

(1)

式中: i(i=0,1,2,,n)称为权因子,分别与控制顶点d i(i=0,1,2,,n)相联系;N i,k(u)是由节点矢量U=[u0,u1,,u n+k+1]决定的k次规范B样条基函数,且满足如下递推关系:

N i,1(u)=1当u i!u!u i+1

0其它

(2)

N i,k(u)=(u-u i)N i,k-1(u)

u i+k-1-u i

(u i+k-u)N i+1,k-1(u)

u i+k-u i+1

(3)

其中

u0=u1==u k-1

!u n!u n+1==u n+k

在实际应用中,节点矢量的首尾取k重节点,分别为0与1.

类似于NU RBS曲线,一张k?l次的NURBS 曲面可定义为[6]:

p(u,v)= m

i=0

j=0

w i,j d i,j N i,k(u)N j,l(v)

i=0

j=0

w i,j N i,k(u)N j,l(v)

(4)

式中:控制顶点d i,j(i=0,1,,m;j=0,1,n)呈矩形阵列,形成一个控制网格;w i,j是与顶点d i,j联系的权因子,规定四角顶点处用正权因子,即w0,0、w m,0、w0,n和w m,n均大于0,其余w i,j#0,且顺序k?l个权因子不同时为零;N i,k(u)(i=0,1,,m)和N j,l(v)(j=0,1,,n)分别为沿u向的k次和沿v 向的l次B样条基函数,同样由德布尔考克斯递推公式确定.

u向和v向的节点矢量分别为:

U=[u0,u1,u2,,u m+k+1](5)

V=[v0,v1,v2,,v n+l+1](6) 2 叶片曲面重构

汽轮机叶片重构的基本原理是:根据曲面上的型值点,利用参数曲面方法反算控制顶点,再用参数曲面方法构造曲面模型.其构造过程是:

(1)根据给定的型值点和几何形状,通过插入型值点统一横截面的曲线段数;

(2)对各横截面曲线的节点矢量(横截面设为u向)进行计算,通过插入统一节点矢量,构造不同横截面的NURBS曲线;

(3)v向(沿叶片高度方向)节点矢量由横截面求得的控制顶点确定,为统一数值,取各横截面曲线节点矢量的平均值作为v向节点矢量;

(4)以横截面所求得的控制顶点为型值点,根据v向节点矢量计算基函数,反算v向的控制顶点;

(5)根据求得的控制顶点网格和节点矢量得到NU RBS曲面的参数形式.

在利用给定的型值点进行NURBS曲线曲面的反求、拟合时,广泛采用C2连续的三次B样条曲线作为插值曲线.由于数据量庞大,如果用常规的表达式对NURBS曲线曲面进行求值、求导,处理过程十分繁琐,计算量庞大,计算时间长,故采用N URBS 曲线曲面的矩阵表示形式.本文以某汽轮机组通流部分低压缸动叶片为研究对象,采用3?3次NU RBS曲面对叶片进行拟合.

给定空间(n+1)?(m+1)个控制顶点d i,j(i= 0,1,n;j=0,1,,m),采用3?3次NURBS曲面方法,其矩阵表示形式如下:

p(u,v)=U B u D

ij B T v V T

U B u W ij B T v V T

(7)

式中:

U=[1,u,u2,u3]

V=[1,v,v2,v3]

W ij=

w i,j w i,j+1w i,j+2w i,j+3

w i+1,j w i+1,j+1w i+1,j+2w i+1,j+3

w i+2,j w i+2,j+1w i+2,j+2w i+2,j+3

w i+3,j w i+3,j+1w i+3,j+2w i+3,j+3

D w ij=

w i,j d i,j w i,j+1d i,j+1w i,j+2d i,j+2w i,j+3d i,j+3

w i+1,j d i+1,j w i+1,j+1d i+1,j+1w i+1,j+2d i+1,j+2w i+1,j+3d i+1,j+3 w i+2,j d i+2,j w i+2,j+1d i+2,j+1w i+2,j+2d i+2,j+2w i+2,j+3d i+2,j+3 w i+3,j d i+3,j w i+3,j+1d i+3,j+1w i+3,j+2d i+3,j+2w i+3,j+3d i+3,j+3定义符号:

1i=u i+1-u i (i=0,1,2,,n+k)

2i=u i+2-u i (i=0,1,2,,n+k-1)

3i=u i+3-u i (i=0,1,2,n+k-2)

由节点矢量u=[u0,u1,u2,,u n+3]可得:

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第12期乐英,等:基于非均匀有理B样条曲面重构汽轮机扭曲叶片

B u=n11n12n13n14

n21n22n23n24

n31n32n33n34

n41n42n43n44

2i+3

2i+11-n11-n13

2i+2

3i+2 2i+20

-3n111+n11-n12

3 i+3 i+2

3i+2 2i+20

-3n11-(3n11+n33)

3 2i+3

3i+2 2i+20

-n11n11-n43-n44-1

n33+n44+

2i+3

2i+3 3i+2

2i+3

3i+3 2i+3

(8)

类似地定义符号:

1i=v i+1-v i (i=0,1,2,,m+k)

2i=v i+2-v i (i=0,1,2,,m+k-1)

3i=v i+3-v i (i=0,1,2,,m+k-2)由节点矢量v=[v0,v1,v2,,v n+3]可得:

B v=n11n12n13n14

n21n22n23n24

n31n32n33n34

n41n42n43n44

2i+3

2i+11-n11-n13

2i+2

3i+2 2i+20

-3n111+n11-n12

3 i+3 i+2

3i+2 2i+20

-3n11-(3n11+n33)

3 2i+3

3i+2 2i+20

-n11n11-n43-n44-1

n33+n44+

2i+3

2i+3 3i+2

2i+3

3i+3 2i+3

(9)

按以上矩阵表示形式,只需确定叶片横向和纵向的节点矢量、控制顶点及其相应的权因子就可确定整个叶片的曲面方程.

2.1 叶片u向(横向)节点矢量

叶片横截面曲线要求具有相同的次数和统一的曲线段数,如果每个横截面由两两相切的不同半径的分段圆弧构成,所有横截面曲线选择为二次B样条基就满足相同的次数要求.当曲线段数不一致时,需要插入型值点,把原来的一段圆弧分为两段,保证所有的截面具有统一的曲线段数.当横截面为自由曲线时,选用三次B样条基就满足要求,能达到C2连续,然后通过插入型值点保证所有的横截面具有统一的曲线段数.

节点矢量可通过数据点参数化的方法确定.数据点参数化有均匀参数化、累积弦长参数化和向心参数化等几种方法[6].均匀参数化法仅适合数据点为多边形且各边(或称弦长)接近的场合.累积弦长参数化法如实反映了数据点按弦长的分布情况,克服了数据点按弦长分布不均匀时用均匀参数化所出现的问题,但累积弦长参数化法未考虑数据点相邻弦线的折拐情况,并不一定总能保证生成平滑的插值曲线.由于叶片截面左右边缘曲线的曲率太大,而向心参数法对数据点的急剧拐弯处理效果比较好,对于横截面为自由曲线的叶片,采用这种方法获得节点矢量如下:

u0=u1=u2=0;u n+1=u n+2=u n+3=1

k=1

|p i-p i-1|(10)式中:d为弦长平方根的总和.

u i=u i-1+

|p i-p i-1|

,(i=3,4,,n)

(11) 对于横截面为两两相切的不同半径的分段圆弧构成的叶片,每段圆弧的节点矢量为:

U=[0 0 0 1

1 1 1]

将每段圆弧的节点矢量统一起来,即为总的节点矢量.

2.2 叶片v向(纵向)节点矢量

叶片纵向曲率变化不大,故采用累积弦长参数化法,令:

d= n k=1|p i-p i-1|(12)式中:d为弦长的总和.

v0=0,v n=1

v i=v i-1+

|p i-p i-1|

,(i=1,2,,n)

(13)纵向三次NURBS曲线的节点矢量为:

V=[v0=v1=v2=v3=0,P1P2/d,

(P1P2+P2P3)/d,(P1P2+P2P3+P3P4)/d,

(P1P2+P2P3+,+P n-2P n-1)/d,

v n+2=v n+3=v n+4=v n+5=1](14)

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? 动力工程学报第30卷

2.3 反求权因子和控制顶点

2.3.1 反求权因子

若已知各型值点P i及对应的权值h i(i=1,2, ,n),求解方程组:

h i+1=h(v i+3)= i+3j=i w j N j,3(v i+3)(15) v%[v i+3,v i+4] [v3,v n+2], i=0,1,,n-1利用矩阵形式表示,可得如下方程组:

[m11,m12,m13][w i,w i+1,w i+2]T=h i+1(16)

(i=0,1,2,,n-1)

补充2个边界条件,常用的边界条件有切矢边界条件、自由端点条件及闭曲线条件,选用2个切矢边界条件:

3(w1-w0)/ 3=h0(17)

3(w n+1-w n)/ n+1=h n+1(18)式中:

h0=h2-h1

h n+1=h n-h n-1 n+1

求解方程组,就可得到各控制顶点对应的权值w i(i=0,1,,n+1).

2.3.2 反求控制顶点

令 a i+1=( i+3)2 2i+2 3i+1w i

b i+1=1-( i+3)2 2i+2 3i+1-

( i+2)2

3i+2 2i+2w i+1

c i+1=

( i+2)2

3i+2 2i+2w i+2

可得:

a i+1d i+

b i+1d i+1+

c i+1

d i+2=(a i+1+b i+1+c i+1)P i+1

(i=0,1,2,,n-1)(19)

由此可得n个方程,因而可得到线性方程组:

b0c0

a1b1c1

a2b2c2

a n

b n

c n

a n+1

b n+1

d n

d n+1

Q n

Q n+1

(20)

式中:Q i=(a i+b i+c i)d i,Q i和d i(i=1,2,,n)为

矢量,得到控制顶点d i(i=0,1,2,,n+1).

补充2个边界条件,采用自由端点条件:

b0=9, c0=-3

a n+1=-3,

b n+1=9

即可求得所有的控制顶点.将控制顶点、权因子和系

数矩阵代入式(7)得到叶片的参数表达式.

对于横截面为两两相切的不同半径的分段圆弧

构成的叶片,圆弧的二次非均匀有理B样条表示包

括三顶点、四顶点和五顶点等表示方法.从好的凸包

性、少的控制点、良好的参数化等方面综合考虑,可

以选用四顶点的表示方法.圆弧的四顶点表示的控

制顶点和权因子的求法见图1.

图1 NURBS圆弧的控制顶点与权因子

Fig.1 Control point and w eight of NURBS arc

一般情况下,叶片横截面中每一段圆弧的起点

坐标、终点坐标、圆心和圆弧半径已知,利用这些条

件通过几何关系可求得控制顶点d0、d1、d2、d3和权

因子w0、w1、w2、w3,对每一个横截面可得n组(n

为圆弧段的个数)这样的控制顶点和权因子,把这n

组控制顶点和相应的权因子统一起来,可得u向控

制顶点和相应的权因子.同样可计算其他横截面的

控制顶点和权因子.

3 实例分析

以某国产200M W汽轮机组通流部分低压缸

动叶片为研究对象,结构见图2,叶身长为432mm,

沿叶高方向选择11个关键截面(见图3).设横截面

为u向,叶高方向为v向,11个截面形状见图4.每

个横截面各选取64个坐标点作为型值点.在拟合叶

片曲面时要求叶片横截面曲线具有相同的次数和统

图2 叶片实体

Fig.2 Actu al photo of the turbine b lad e

图3 叶片横截面分布图

Fig.3 Cross sectional area distribution of the blade

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第12期乐英,等:基于非均匀有理B样条曲面重构汽轮机扭曲叶片

图4 叶片11个截面示意图

Fig.4 Sch ematic diagram of11cross sections of the blade

一的曲线段数,所有横截面曲线选择为三次B样条基,满足相同的次数要求.横截面上的型值点数相同,拟合的曲线段数是一样的.如果曲线段数不一致,可通过插入型值点将所有横截面的曲线段数统一起来.

由已知数据点P ij(i=1,2,,11;j=1,2,, 64)根据2.1节和2.3节所述方法得到11个横截面的节点矢量、控制顶点d in(i=1,2,,11;n=1,2, ,66)和相应的权因子w in(i=1,2,,11;n=1,2, ,66),其中i为叶片横截面的个数,j为每个横截面上数据点的个数,n为每个横截面控制顶点的个数.取列序号相同的一组纵向控制顶点:

d i1[11]=[d11 d21 d31 d41 d51 d61 d71

d81 d91 d101 d111]T

代入式(14),得到第一组纵向节点矢量V1[17]= [u0,u1,u2,,u15,u16].重复上述步骤,共得到66组纵向节点矢量V1~V66.

统一纵向节点矢量.取V1~V66纵向节点矢量的第一列矢量值(66个),计算其算术平均值,得到纵向的第一个节点矢量,依次类推,分别取V1~V66纵向节点矢量的第2列、第3列一直到第17列矢量值,分别计算其算术平均值,得到纵向的节点矢量为: V[17]=[0,0,0,0,0.0354,0.1529,0.2689,

0.3832,0.5000,0.6138,0.7294,

0.8454,0.9653,1,1,1,1].

根据2.2节和2.3节所述方法可计算出叶片纵向的节点矢量、控制顶点和权因子.图5、图6、图7分别为叶片在底部、中部和顶部的拟合图.从图中可以看出,控制多边形有较好的凸包性,构建的插值曲线光滑,所构建的整个叶片型面见图8.

为了验证所建模型的精确性,以叶片原始数据图纸中给定的11个横截面作为误差分析的截面.三次NURBS曲线拟合横截面时通过所有给定的型值点.拟合的曲线与原始曲线在每个横截面上最大的

插值误差见表1.一般最大的插值误差发生在叶片

图5 叶片底部的拟合图

Fig.5 Cu rve fitting of the bottom cross section

图6 叶片中部的拟合图

Fig.6 Cu rve fitting of the middle cross section

图7 叶片顶部的拟合图

Fig.7 Curve fitting of th e top cros s section

图8 叶片拟合图

Fig.8 Fitting chart of the turb ine blade

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表1 11个横截面的最大误差

Tab.1 Maximum error corresponding to each of the11cross sections

z数值/mm误差/!m 012.5z数值/mm误差/!m 2657.3

1511.7315 5.4

6510.1365 6.1

1159.84179.8

1658.643210.2

2168.2

进汽边和出汽边等曲线段内.由表1的数据看出,最大误差为12.5!m,所建立的汽轮机叶片数学模型完全能够满足精度要求.

4 结论

(1)以某国产200M W汽轮机组通流部分低压缸动叶片为例,采用非均匀有理B样条方法建立叶片精确的数学模型,并给出了其矩阵表达形式.

(2)根据型值点进行曲面拟合时,所有的横截面需要具有统一的曲线段数.对于进汽边和出汽边这两段曲线,应保证在所有的横截面上,这两段曲线位置号一致,否则建立的叶片曲面会发生扭曲现象.

(3)本文所建立的叶片数学模型可以作为叶片动力特性分析及优化设计的基础,而且本文所述曲线曲面重构方法适用于其他多种类型的汽轮机叶片,因此该叶片三维重构方法具有重要的实际应用价值.

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