1空间直角坐标系
2．3．1 空间直角坐标系
一、教材知识解析
1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。
2、右手直角坐标系及其画法：
（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中
指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书上所指的都是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于
y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数对（x ，y ，z ）
叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。 二、题型解析：
题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5).
解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：
（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与
y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别
在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，
过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐
标轴上作出此点；
（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，
可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。
（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：
①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平行的方向向上（00z >）
或向下（
z<）平移
||
z个单位，就可以得到点 M
000
(,,)
x y z。
②以O为一个顶点，构造三条棱长分别为
000
||,||,||
x y z的长方体（三条棱长的位置要与
000
,,
x y z 的符号一致），则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。
③先在x轴上找到点
10
(,0,0)
M x，过
1
M作与x垂直的平面α；在y轴上找到点
20
(0,,0)
M y，
过
2
M作与y垂直的平面β；在z轴上找到点
30
(0,0,)
M z，过
3
M作与z垂直的平面γ，则平面αβγ
,,交于一点，此交点即为所求的点M的位置。
【变式与拓展】
1．1在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）
1．2 在同一坐标系下作出下列各点：A（3，0，0），B（0，0，-3），C（2，3，0），D（4，2，3），E（4，-2，3）
题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示
例2、如图，在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E，F分别是
111
,
BB B D的中点，棱长为1，求E、F点的坐标。
解：法一：E点在点xoy面上的射影为B，B（1，1，0），竖坐标为
1
2
，
1
(1,1,)
2
E
∴。
F在在点xoy面上的射影为BD的中点为G
11
(,,0)
22
，竖坐标为1，
11
(,,1)
22
F
∴
法二：
11
(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)
B D B，E为
1
BB中点，F为
11
B D的中点。
故E的坐标为
1111101
(,,)(1,1,)
2222
+++
=，F的坐标为
10101111
(,,)(,,1)
22222
+++
=
【技巧总结】：（1）确定空间直角坐标系下点M的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键。
（2）空间直角坐标系下，点
1111
(,,)
P x y z与
2222
(,,)
P x y z的中点为121212
(,,)
222
x x y y z z
P
+++
【变式与拓展】
2．1 、如图，长方体
1111
ABCD A B C D
-中，OA=6，OC=8，
1
5
OD=，
（1）写出点1111,,,A B C D 的坐标。
（2）若点G 是线段1BD 的中点，求点G 的坐标。
解：（1）1D 在z 轴上，且15OD =，即竖坐标是5，横坐标和纵坐标都为0，所以点1D 的坐标为（0，0，5）。
点1A 在平面xoy 上的射影是A ，点A 在x 轴上，且横坐标为6，纵坐标为0，竖坐标和1D 相同，所以点1A 的坐标为（6，0，5），同理可得11(6,8,5),(0,8,5)B C 。
（2）由于1D （0，0，5），B （6，8，0），则1BD 的中点G 的坐标为（3，4，
5
2
） 2．2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，0
12,90AA AB AC BAC ===∠=，M 是1CC 的中点，Q 是BC 的中点，试建立空间直角坐标系，写出B 、C 、1C 、M 、Q 的坐标。
解：分别以AB 、AC 、A 1A 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，（如图），则
B （2，0，0），
C （0，2，0），1(0,2
)C
M （0，2，1），Q （1，1，0）
2．3、已知P （2，1，3），求M 关于原点对称的点1M ，M 关于xoy 平面对称的点
2M ，M 分别关于x 轴、y 轴对称的点34,M M 。
解：由于点M 与1M 关于原点对称，即原点是点M 与1M 的中点，所以1M （-2，-1，-3）；
点M 与2M 关于xoy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以2M （2，1，-3）；M 与3M 关于x 轴对称，则3M 的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为M 的相反数，即3M （2，-1，-3），同理4M （-2，1，-3）。 三、基础练习
1、点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ）
A ．y 轴上
B ．xOy 平面上
C ．xOz 平面上
D 、yOz 平面上 2、点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ）
A ．( 4, 2, 2)
B ．(2, -1, 2)
C ．(2, 1 , 1)
D ．（4, -1, 2)
3
、在空间直角坐标系中，点(1P ，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）
A
．(0 B
．(0
C
．(10 D
． 4、在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对
5、已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为
M
B 1
x
2．3．2 空间两点间的距离
一、教材知识解析
1、空间两点的距离公式：一般地，空间中任意两点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 的距离为
12PP =
2、空间中点的轨迹 常见的点的轨迹方程有：
（1）方程2
2
2
2
()()()(0)x a y b z c r r -+-+-=>表示以点(,,)a b c 为球心，r 为半径的球。 （2）方程2
2
2x y r +=在空间坐标系中表示旋转轴为z 轴的圆柱面，且到z 轴的距离为r 。 二、题型解析
题型一、直接利用两点间的距离公式解决有关问题。 例1、求下列两点间的距离：
（1）A （1，1，0），B （1，1，1） （2）C （-3，1，5），D （0，-2，3）
解：（1）1AB ==
（2）CD =
=【技巧总结】：使用两点间距离公式时，一定要注意公式中坐标的对应，同时注意符号。 【变式与拓展】 1．1
已知A （1，-2，11），B （4，2，3），C （6，-1，4），试判断ABC 的形状。
解：2
2
2
2
(41)[2(2)](311)89AB =-+--+-=
2222(46)[2(1)](34)14BC =-+--+-= 2222(61)[1(2)](411)75AC =-+---+-=
222BC AC AB ∴+= 因此ABC 是直角三角形
1．2 在空间直角坐标系中，解决下列各题：
（1）在x 轴上求一点P ，使它与点0P （4，1，2
（2）在xoy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，并求出最小
值。
解：（1）由于点P 在x 轴上，所以设(,0,0)P x ，
09PP x =
==或1x =-
所以点P 的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0） （2）由已知可设(,1,0)M x x -，则
MN =
=
所以当1x =时，min MN =，此时点M （1，0，0）
1．3 求到点A(1 , 0 ,1)与点B(3 , -2 , 1)距离相等的点P 的坐标满足的条件。
解：设点P 的坐标为(x ,y , z) , 则222222)1()2()3()1()0()1(-+++-=-+-+-z y x z y x , 化简得4x-4y-3=0即为所求.
题型2、空间直角坐标系和两点间距离公式的综合应用。
例2、正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若
CM=BN=(0a a <<。当a 为何值时，MN
的长度最短？
解： 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF=AB ，
,AB BE BE ⊥∴⊥平面ABCD 。
∴AB 、BC 、BE 两两互相垂直，
所以以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则
(,0,1),(,,0)2222M a a N a a -
MN ∴=
==
所以当a =
|MN|
，此时，M 、N 恰好为AC ，BF 的中点。 【技巧总结】：考虑到几何图形中出现了两两互相垂直的三条直线，所以可以以此建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式可以求得线段MN 的长度，并利用二次函数的最值，求出MM 的长度的最小值。体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用。 【变式与拓展】
四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，AB a =，AD=2，SA=1，且SA ⊥底面ABCD ，若边BC 上存在异于B ，C 的P ，使得SPD ∠是直角，求a 的值最大值。
解：以A 为原点，射线AB ，AD ，AS 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0）、S （0，0，1）、D （0，2，0）。 设(,,0)(02)P a x x <<
222222(0)(1)(01)1SP a x x a ∴=-+-+-=++ 222222(0)(2)(00)(2)PD a x x a =-+-+-=-+ 2222(00)(02)(10)5SD =-+-+-=
SPD ∠ 是直角，222SP PD SD ∴+=
即2
2
2
2
1(2)5x a x a +++-+=，2
(2)0a x x ∴--=
22(2)(1)1a x x x ∴=-=--+
当1(0,2)x =∈时，a 的最大值为1。 三、基础练习：
1、若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM = （ ）
A
．
4
B ．
532
C
．
2
D
．
2
3、点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（B ）
A ．14
B ．13
C ．32
D ．11
4、已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则（ ）
A ．||A
B >||CD
B ．||AB <||CD
C ．||AB ≤||C
D D ．||AB ≥||CD
5、已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为
6、如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且
|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．
四、达标训练：
1、已知(,5,2)A a -与B （0，10，2）间的距离是17，则a 的值是（ ） A 、6 B 、6± C 、8 D 、8±
2、设A （3，6，9），B （-2，4，6），C （-7，2，-3），则A ，B ，C 三点（ ）
A 、共线且点A 在线段BC 上
B 、共线且B 在线段A
C 上 C 、共线且C 在线段AB 上
D 、构成三角形 3、已知长方体1111ABCD A B C D -的边长为AB=3，AD=6，16AA =，M 在1AC 上，且12AM MC =，N 为1BB 的中点，则点M 、N 间的距离为 （ ） A 、
3 B
C
D
4．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=1， CD=2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（ ） A
B
．2 D
5、已知空间两点A （-3，-1，1），B （-2，2，3），在OZ 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距离相等，则C 点的坐标是
6、点B 是A （3，-1，-4）关于y 轴对称的点，则线段AB 的长是
7、到两定点A （2，3，0）、B （5，1，0）距离相等的点的坐标(,,)x y z 满足的条件是 8、已知A(1,2,-1),B(2,0,2) (1)在x 轴上求一点P ，使|PA|=|PB|;
(2)在xoz 平面内的点M 到A 点与到B 点的距离相等，求点M 的轨迹。
9、在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问 （1）在y 轴上是否存在点M ，满足||||MA MB ？
（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．
空间直角坐标系练习一
一、基础知识、
1、将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成 ，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位 ，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的 ，
2、坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：
x 轴上的点P 的坐标的特点：Ｐ（ , , ），纵坐标和竖坐标都为零． y 轴上的点的坐标的特点： Ｐ（ , , ），横坐标和竖坐标都为零． z 轴上的点的坐标的特点： Ｐ（ , , ），横坐标和纵坐标都为零． x Ｏy 坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），竖坐标为零． x Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），纵坐标为零． y Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），横坐标为零．
3、已知空间两点Ａ（1x ，1y ， 1z ），Ｂ（2x ，2y 2z ），则AB 中点的坐标为（ , , ）.
4、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标：
点P （x ，y ，ｚ）关于坐标原点的对称点为 1P （ , , ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为2P （ , , ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为3P （ , , ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为4P （ , , ）； 点P （x ，y ，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为 5P （ , , ）；
点P（x，y，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为
6
P（ , , ）
点P（x，y，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为
7
P（ , , ）．
二、选择题
1、有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；
②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）；
③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）；
④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。
其中正确的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
2、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（）
A、（1，-3，-4）
B、（-4，1，-3）
C、（3，-1，4）
D、（4，-1，3）
3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（）
A、（-3，-1，4）
B、（-3，-1，-4）
C、（3，1，4）
D、（3，-1，-4）
4、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（）
A、（2，3，-4）
B、（-2，3，4）
C、（2，-3，4）
D、（-2，-3，4）
5、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的
棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（）
A、（1
2
，1，1） B、（1，
1
2
，1） C、（1，1，
1
2
） D、（
1
2
，
1
2
，1）
6、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（）
A、（-1，-1，1）
B、（1，-1，-1）
C、（-1，1，-1）
D、（-1，-1，-1）
三、填空题
7、点（2，3，4）关于yoz平面的对称点为------------------。
8、设z为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合图形为-----------------。
9、以棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则面AA1B1B对角线交点的坐标为----------------。
10、P（x0，y0，z0）关于y轴的对称点为-------------------。
四、解答题
11、在空间直角坐标系中，与x轴垂直的是坐标平面；
与y轴垂直的是坐标平面；
与z轴垂直的是坐标平面；
12、在空间直角坐标系中，落在x轴上的点的坐标的特点是。试写出三个点的坐标，，。
落在xoy坐标平面内的点的坐标特点是。试写出三个点的坐
标，，。
13、（1）写出点P（2，3，4）在三个坐标平面内的射影的坐标是。
（2）写出点P（2，3，4）在三条坐标轴上的射影的坐标是。14、（1）写出点P（1，3，-5）关于原点成中心对称的点的坐标是。
（2）写出点P（1，3，-5）关于ox轴对称的点的坐标是。
15、如下图，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A，1
2
，0），点D
在平面yoz上，且BDC=900， DCB=300，求点D的坐标。
空间直角坐标系练习二
一、选择题
1、在空间直角坐标系中，点A（1，2，-3）关于x轴的对称点为（）
A、A（1，-2，-3）
B、（1，-2，3）
C、（1，2，3）
D、（-1，2，-3）
2、设yR，则点P（1，y，2）的集合为（）
A、垂直于xoz平面的一条直线
B、平行于xoz平面的一条直线
C、垂直于y轴的一个平面
D、平行于y轴的一个平面
3、在空间直角坐标系中，方程x2-4（y-1）2=0表示的图形是（）
A、两个点
B、两条直线
C、两个平面
D、一条直线和一个平面
4、在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yoz平面的对称点的坐标为（）
A、（-3，4，5）
B、（-3，-4，5）
C、（3，-4，-5）
D、（-3，4，-5）
5、在空间直角坐标系中，P（2，3，4）、Q（-2，-3，-4）两点的位置关系是（）
A、关于x轴对称
B、关于yoz平面对称
C、关于坐标原点对称
D、以上都不对
6、点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是（）
A、|a| C、|b| D、|c|
7、A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点，则ABC
?是（）
A、直角三角形
B、钝角三角形
C、锐角三角形
D、等腰三角形
二、填空题
8、在空间直角坐标系中，点P的坐标为（1，过点P作yoz平面的垂线PQ，则垂足Q
的坐标是--------------------。
9、若点A(2,1,4)与点P(x,y,z)的距离为5，则x,y,z满足的关系式是_______________.
10、已知点A在x轴上，点B（1，2，0），且则点A的坐标是_________________.
三、解答题
11、在直角坐标系O—xyz中作出以下各点的P（1，1，1）、Q（-1，1，-1）。
12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1之中点，且正方体棱长为1。请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标。
13、求点A（1，2，-1）关于坐标平面xoy及x轴对称点的坐标。
14、四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=1，E为AB的中点。建立空间直角坐标系并写出P、A、B、C、E的坐标。
15、试写出三个点使得它们分别满足下列条件（答案不唯一）：
（1）三点连线平行于x轴；
（2）三点所在平面平行于xoy坐标平面；
在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出所在直线方程
答案： 一、选择题
1、C ；
2、C ；
3、A ；
4、C ；
5、C ；
6、A 二、填空题
7、（-2，3，4） 8、过点（1，2，0）且平行于z 轴的一条直线。 9、（
12，0，1
2
） 10、（-x 0，y 0，-z 0） 三、解答题
11、解：在空间直角坐标系中，yoz 坐标平面与x 轴垂直，xoz 坐标平面与y 轴垂直，xoy 坐标平面与z 轴垂直。
12、解：在空间直角坐标系中，落在x 轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，即（x ，y ，0）的形式，如（2，0，0），（-3，0，0），（
1
2
，0，0）。 13、解：（1）点P （2，3，4）在xoy 坐标平面内的射影为（2，3，0）；在yoz 坐标平面内的射影为（0，3，4）；在xoz 坐标平面内的射影为（2，0，4）
（2）P （2，3，4）在x 轴上的射影是（2，0，0）；在y 轴上的射影是（0，3，0）；在z 轴上的射影为（0，0，4）。
14、解：（1）点P （1，3，-5）关于原点成中心对称的点的坐标为（-1，-3，5）； （2）点P （1，3，-5）关于ox 轴对称的点的坐标（1，-3，5）。
15、解：过D 作DEBC ，垂足为E ，在R t BDC 中， BDC=900
， DCB=300
，BC=2，得BD=1，
∴DE=Cdsin300
，OE=OB-BE=OB-BDcos600
=1-12=12
∴D 点坐标为（0，-1
2
，2）。
答案： 一、选择题
1、B ；
2、A ；
3、C ；
4、A ；
5、C ；
6、D ；
7、A 二、填空题
8、（0 9、222
(2)(1)(4)25x y z -+-+-= 10、(0,0,0)或（2，0，0）
三、解答题
11、解:在直角坐标系O —xyz 中，在坐标轴上分别作出点P x 、P y 、P z ，使它们在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别是1，1，1；再分别通过这些点作平面平行于平面yoz 、xoz 、xoy ，这三个平面的交点即为所求的点P 。（图略）
12、解：如右图，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），
B 1（1，1，1），
C 1（0，1，1），
D 1（0，0，1），
E （0，0，
1
2
）， F （
12，12，0），G （1，1，12
） 13、解：过A 作AM ⊥xoy 交平面于M ，并延长到C ，使AM=CM ，则A 与C 关于坐标平面xoy 对称且C （1，2，1）。
过A 作 AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN=NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B （1，-2，1）。
∴A （1，-2，1）关于坐标平面xoy 对称的点C （1，2，1）； A （1，-2，1）关于x 轴对称点B （1，-2，1）。
思维启示：（1）P （x ，y ，z ）关于坐标平面xoy 的对称点为P 1（x ，y ，-z ）；
P （x ，y ，z ）关于坐标平面yoz 的对称点为P 2（-x ，y ，z ）；P （x ，y ，z ）关于坐标平面xoz 的对称点为P 3（x ，-y ，z ）；
（2）P （x ，y ，z ）关于x 轴的对称点为P 4（x ，-y ，-z ）；P （x ，y ，z ）关于y 轴的对称点为P 5（-x ，y ，z ）；P （x ，y ，z ）关于z 轴的对称点为P 6（-x ，-y ，z ）。
14、解：如图，建立空间直角坐标系，则P （0，0，0）， A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，1），E （1，1，0）。
15、解：（1）（1，2，3），（-2，1，3），（1，-1，3）（只要写出的三点的纵坐标和竖坐标相等即可）。 （2）（1，2，3），（-2，1，3），（1，-1，3）（只要写出的三点的竖坐标相等即可）。
（2）若两点坐标分别为（x 1，y 1，z 1）和 （x 2，y 2，z 2），则过这两点的直线方程为
111
212121
x x y y z z x x y y z z ---==---（x 2 x 1且y 2 y 1且z 2 z 1）。
最新空间直角坐标系专题学案(含答案解析)
第九讲 空间直角坐标系 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 E F B C D H G X Y Z
,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==? ??∴=-u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==? ??∴=u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121 cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u r 即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问
空间立体几何建立直角坐标系
空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。 解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。 故AE ⊥平面A 1BC 。 由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。 故A 1D ∥AE 。 又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。 由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°， 得A 1B ＝A 1A ＝4。 由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。 由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。 由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ， 由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。 方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。
空间直角坐标系
4.3 空间直角坐标系 重点难点 教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 新知探究: ①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长. 图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x 轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．