A ．σ
B ．μ
C ．－μ
D ．0
[解析] ∵正态曲线关于直线x ＝μ对称，∴选B. [答案] B
3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
[解析] 由P (ξ≤4)＝P (ξ－2≤2)＝P (ξ－2σ≤2
σ
)＝0.84.
又P (ξ≤0)＝P (ξ－2≤－2)＝P (ξ－2σ≤－2σ)＝1－P (ξ－2σ≤2
σ)＝0.16.
故选A. [答案] A
4．(2010·佛山调研)设随机变量服从正态分布N (0,1)，P (ξ＞1)＝P ，则P (－1＜ξ＜1)＝( )
A.1
2
P B ．1－P C ．1－2P
D.12
－P [解析] 由P (ξ＞1)＝p ，则P (ξ＜－1)＝p ，故P (－1＜ξ＜1)＝1－P (ξ＞1)－P (ξ＜－1)＝1－2p ，选C.
[答案] C
5．(2008·重庆卷)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，a 2)，则P (ξ＜3)＝( )
A.1
5 B.14 C.13
D.12
[解析] P (ξ＜3)＝Φ(3－3
σ)＝Φ(0)，
依据标准正态分布图象Φ(0)＝1
2，
∴P (ξ＜3)＝1
2.
[答案] D
6．下图是正态分布N (0,1)的正态曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为( )
①12－Φ(－a )；②Φ(－a )；③Φ(a )－12；④1
2[Φ(a )－Φ(－a )]，其中Φ(－a )＝P (x ≤－a )． A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
[解析] 其中①③④均能表示图中阴影部分的面积，故选C. [答案] C 二、填空题
7．随机变量η服从正态分布N (0,1)，如果P (η<1)＝0.8413，则P (－1<η<0)＝________.
[解析] ∵P (η<1)＝0.8413 ∴P (η>1)＝0.1587
∴P (－1<η<1)＝1－2P (η>1)＝1－2×0.1587＝0.6826 ∴P (－1<η<0)＝1
2P (－1<η<1)＝0.3413.
[答案] 0.3413
8．设随机变量ξ～N (2,22)，则D (1
2
ξ)的值为________．
[解析] 因ξ～N (2,22)，则σξ＝2，Dξ＝4.D (12ξ)＝14Dξ＝1
4×4＝1.
[答案] 1
9．(2007·全国Ⅱ)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
[解析] 由已知P (0＜ξ＜1)＝Φ(1－1σ)－Φ(0－1
σ)
＝Φ(0)－Φ(－1
σ
)＝0.4
Φ(0＜ξ＜2)＝Φ(2－1σ)－Φ(0－1
σ)
＝Φ(1σ)－Φ(－1
σ)＝0.4×2＝0.8.
[答案] 0.8
10．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x )在x ＝________时达到最高点．
[解析] ∵P (X ＞0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5， 即x ＝0.2是正态曲线的对称轴． ∴当x ＝0.2时，φμ，σ(x )达到最高点． [答案] 0.2
三、解答题
11．设X ～N (1,22)，试求：
(1)P (－1＜X ≤3)； (2)P (3＜X ≤5)； (3)P (X ≥5)．
[解] ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)∵P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)
∴P (3＜X ≤5)＝1
2[P (－3＜x ≤5)－P (－1＜X ≤3)]
＝1
2
[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)]＝1
2×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，
∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝1
2[1－P (1－4＜X ≤1＋4)]
＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)]＝1
2
(1－0.954 4)＝0.022 8.
12．工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N ????4，19，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？
[解] ∵X ～N ????4，19，∴μ＝4，σ＝1
3. ∴不属于区间(3,5)的概率为 P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3＜X ＜5) ＝1－P (4－1＜X ＜4＋1) ＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)，
即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．
亲爱的同学请写上你的学习心得
第四章 正 态 分 布 体育统计学要点
第四章 正 态 分 布 如果将第二章中的（表2 — 1）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联结起来，就得到一个图形，它称为频数多边形。（图4 — 1）当分组数很多，组距很小时，频数多边形就趋于类似（图4 — 2）所示的平滑的曲线。这种曲线呈现出两侧近似对称的钟形。随机变量的类似这种分布，在自然界是相当普遍的其中最有代表性的是正态分布。下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。 图4 — 1 频数多边形图 第一节 正态分布曲线的形式 如果随机变量X 的概率密度函数为 y =π σ21e 222)(σμ--x （+∞<<∞-x ） （4 — 1）
则称随机变量X 是服从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。（图4 — 2）X 的变动范围在 ∞- 至 +∞ 间。 Y X 0μ 图4 — 2 正态分布曲线 正态分布曲线中有两个参数：均值 μ 及方差 2σ。为了应用方 便，对式（4 — 1）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令 u 来代替原式中的 σ μ-x ， 寻这时的随机变量u 的概率密度函数成为： y = π 21e 22 u - （4 — 2） 按照（4 — 2）式绘出的图形，称作标准正态曲线。（图4 — 3） Y 00.4 0.3 0.2 0.1 -1-2-3123μ
图4 — 3 标准正态分布曲线 第二节正态分布曲线的特征 正态分布曲线有许多特点，它们对实际工作有很大的帮助。它的主要特点有以下几个方面： 一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不一定是正态分布）。在正态分布中均值与中位数相重合。 二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，以后又再次减慢，最后接近横轴，但终究不能与横轴相交。 三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值左右各一个标准差时又改向外弯，是以σ μ1 ±的点为曲线从内弯转向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。 四，因为正态曲线是对称的，在曲线下不仅平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为1. 00。 五，正态曲线可以有不同形式，它们的均值和标准差可以不相同，均值不同表明曲线在横轴上所处位置不同，标准差不同表明曲线的形态不同。标准差小则曲线高、且窄；标准差大则曲线低、且宽。（图4 — 4）由式（4 — 1）和（4 — 2）知，标准正态曲线的μ= 0，σ= 1，即标准正态曲线是关于纵轴对称；它在μ= 0时，有最大值，它近似等于0. 4，如（图4 — 3）所示。
【精品】高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修
§ 1.5 正态分布 课时安排 2课时 从容说课 正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B (n ,0.5)的直方图(n =10).对n 进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为σ μπ σ2)(21 )(--= x e x f x ∈R,其中μ=np ,σ=npq ,e≈2.71828.对 于正态曲线,如果规定,试验的观察值x 落在区间(a ,b )内的概率P (a ＜x ＜b )就是由这条曲线、x 轴、直线x =a 及x =b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b 的正态分布可以用公式σ μ -= x z 将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布. 平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为2 2 121)(z e z -= Φπ ,其中R x z ∈-= σ μ .一般的正态分布问题,能转化成标准正态分 布问题来处理,即将正态分布中观察值x 的概率P (a ＜x ＜b )表示成标准正态分布中的P (z 1≤z≤z 2),其中σ μ -= a z 1,σ μ -= b z 2.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉. 第九课时 课 题 § 1.5.1 正态分布(一) 教学目标 一、教学知识点 1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质. 2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. 二、能力训练要求 1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律. 2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线. 3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法. 2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观). 3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法. 教学重点 正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机
北师大版数学高二-高三数学 正态分布 第一课时教案
高三数学 正态分布 第一课时教案 一、教学目标 1．能叙述正态分布的意义； 2．能正确写出服从正态分布的总体曲线（正态曲线）的函数表达式； 3．明确标准正态分布的意义，会写出标准正态曲线的函数表达式； 4．能叙述正态曲线的主要性质及所表达的概率统计的意义； 5．逐步形成学习数学的兴趣和自信心，获得数学学习的良好情感体验． 二、教学重点：是正态分布意义和性质． 教学难点：正态分布的意义的理解和应用． 三、教学用具：多媒体设备 四、教学过程： 1．导入新课 首先，引导学生简要回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系．由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布．一般样本容量越大，这种估计就越精确． 其次，再以上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图为例，说明当样本容量无限增大时，这个频率直方图无限接近于一条总体密度曲线． 再次，引导学生观察上节总体密度曲线的形状，得出总体密度曲线“中间高，两头低”的特征．而具有这种特征的总体密度曲线一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式．进而板书以下标题： 2．正态分布 （1）正态函数的定义 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲 线，一般就是或近似地是以下一个特殊函数的图象：（板书） ),(,21 )(22 2)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ ① 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差（至此，解释总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计）．函数)(x f 称为正态函数． （2）正态分布与正态曲线 （板书）若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈= --x e x f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线． 然后，用《几何画板》画出三条正态曲线：即①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：
专题十一概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布 十年高考数学(理科)真题题型分类汇编
专题十一 概率与统计 第三十六讲二项分布及其应用、正态分布 一、选择题 1．（2015湖北）设211(,)X N μσ，2 22(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所 示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤ C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2 (0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布2 (,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=， (22)95.44%P μσξμσ-<<+=） A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75， 连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0．8 B ．0．75 C ．0．6 D ．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布( )2 ,2σ N ，且()8.04=<ξP ，则 ()=<<20ξP A ．6.0 B ．4.0 C ．3.0 D ．2.0
二、填空题 5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回 地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ． 6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次 试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ． 7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =， 则p = ． 8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工 作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2 N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ． 三、解答题 9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ． (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 经计算得16119.9716i i x x ===∑，s ==
正态分布教学设计
正态分布教学设计
正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的
内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断 学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需
要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正 态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课 后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率？ 2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着的无限增加，作图时的减小、的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是曲线。 讲解：请第一小组的同学展示课前自主学习的成
正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用.
正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用 071330225 张洋洋
目录 正态分布函数 (3) 正态分布应用领域 (4) 正态分布案例分析 (5) 指数分布函数 (5) 指数分布的应用领域 (6) 指数分布案例分析 (7) 对数正态分布函数 (7) 对数正态分布的应用领域 (9) 对数正态分布案例分析 (9) 威布尔分布函数 (10) 威布尔分布的应用领域 (16) 威布尔分布案例分析 (16) 附录 (18) 参考文献 (21)
正态分布函数【1】 0.20 0.15 0.10 0.05 105510 正态分布概率密度函数f（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 绿线：μ=1 σ=3 均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 105510 正态分布函数F（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 105510 正态分布可靠度函数R（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 105510 正态分布失效率函数λ（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布应用领域【1】 正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用.数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。
正态分布教学设计
正态分布教学设计 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
正态分布教学设计 刘一（湖北省沙市中学） 一、教学目标分析 结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下： 知识与技能目标： （1）学习正态分布密度函数解析式； （2）认识正态曲线的特点及其表示的意义； 过程与方法目标： （1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学； （2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率； （3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。 情感、态度与价值观： （1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情； （2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。 二、教学内容解析 正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。 三、教学问题诊断
学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。 教学重点： （1）正态分布密度函数解析式； （2）正态曲线的特点及其所表示的意义。 教学难点： 正态曲线的特点 四、教学对策分析 通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。 五、教学基本流程 课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线 正态曲线与函数课堂练习正态分布正态曲 线特点课堂检测条件及举例课堂小结 课后查阅 六、教学过程设计 （1）课前自主学习： 1.频率分布直方图用什么表示频率
数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解
数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：
离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布
正态分布第一课时教学设计
《正态分布第一课时》教学设计 东莞市厚街中学姚卫 一、教学内容与内容解析 1．内容： 正态分布第一课时 2．内容解析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学 2 -3（选修）》（人教A版）中的 2．4“正态分布 (第一课时)”，属于新授概念课．正态分布是选修2—3第二章“随机变量及其分布”的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率．离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展．同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异．生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．从形式上看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位．一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布密度曲线所表示的意义． 二、教学目标与目标解析 1．目标： （1）通过数学实验，从直观和形式认识正态曲线的特点及其所表示的意义； （2）经历从具体到抽象研究正态分布问题的过程，体会数形结合、有限与无限的思想方法； （3）认识客观世界中的随机现象和正态分布发生发展的历史，感受数学的文化价值．2．目标解析：
高中数学典型例题大全第一章概率与统计正态分布
高中数学典型例题大全第一章概率与统计正态 分布 例 设ξ服从)1,0(N ，求以下各式的值： 〔1〕);35.2(≥ξP 〔2〕);24.1(-<ξP 〔3〕).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，因此能够借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：〔1〕;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P 〔2〕;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP 〔3〕)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 讲明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的成效更突出了核心内容．左边的几个公式都应在明白得的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一样正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： 〔1〕);5.3(<ηP 〔2〕);4(-<ηP 〔3〕);2(≥ηP 〔4〕).3(<ηP 分析：第一，应将一样正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：假设),(~2σμηN ，那么由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情形的表达式，通过查表获得结果． 解：〔1〕;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP
第四章正态分布体育统计学
第四章 正 态 分 布 如果将第二章中的（表 2 — 1）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联结起来，就得到一个图形，它称为频数多边形。（图4 — 1）当分组数很多，组距很小时，频数多边形就趋于类似（图4 — 2）所示的平滑的曲线。这种曲线呈现出两侧近似对称的钟形。随机变量的类似这种分布，在自然界是相当普遍的其中最有代表性的是正态分布。下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 图4 — 1 频数多边形图 第一节 正态分布曲线的形式 如果随机变量X 的概率密度函数为 y =π σ21e 222)(σμ--x （+∞<<∞-x ） （4 — 1）
则称随机变量X 是服从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。（图4 — 2）X 的变动范围在 ∞- 至 +∞ 间。 Y X 0μ 图4 — 2 正态分布曲线 正态分布曲线中有两个参数：均值 μ 及方差 2σ。为了应用方便，对式（4 — 1）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令 u 来代替原式中的 σ μ-x ， 寻这时的随机变量u 的概率密度函数成为： y = π 21e 22u - （4 — 2） 按照（4 — 2）式绘出的图形，称作标准正态曲线。（图4 — 3） Y 00.4 0.3 0.2 0.1 -1-2-3123μ
图4 — 3 标准正态分布曲线 第二节正态分布曲线的特征 正态分布曲线有许多特点，它们对实际工作有很大的帮助。它的主要特点有以下几个方面： 一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不一定是正态分布）。在正态分布中均值与中位数相重合。 二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，以后又再次减慢，最后接近横轴，但终究不能与横轴相交。 三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值左右各一个标准差时又改向外弯，是以σ μ1 ±的点为曲线从内弯转向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。 四，因为正态曲线是对称的，在曲线下不仅平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为1. 00。 五，正态曲线可以有不同形式，它们的均值和标准差可以不相同，均值不同表明曲线在横轴上所处位置不同，标准差不同表明曲线的形态不同。标准差小则曲线高、且窄；标准差大则曲线低、且宽。（图4 — 4）由式（4 — 1）和（4 — 2）知，标准正态曲线的μ = 0，σ = 1，即标准正态曲线是关于纵轴对称；它在μ = 0时，有最大值，它近似等于0. 4，如（图4 — 3）所示。
统计学三大分布及正态分布的关系
统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量222 212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布， 记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.
卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n α χχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条 件:αχχα χα ==>?+∞ ) (2 22)()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查 用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student ”的笔名 首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/T Y n = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .
2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修
2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修 课时安排 2课时 从容说课 正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B(n,0.5)的直方图(n=10).对n进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为x∈R,其中μ=np,σ=npq,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x落在区间(a,b)内的概率P(a＜x＜b)就是由这条曲线、x轴、直线x=a及x=b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b的正态分布可以用公式将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为,其中.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x的概率P(a＜x＜b)表示成标准正态分布中的P(z1≤z≤z2),其中,.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉. 第九课时 课题 正态分布(一) 教学目标 一、教学知识点 1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质. 2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. 二、能力训练要求 1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律. 2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线. 3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法. 2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观). 3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法. 教学重点 正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导. 教学难点 正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.
概率论文 正态分布
正态分布 ------概率论论文在高中的一堂数学课上，老师向同学们简单的介绍了一下概率论，这是我第一次接触到正态分布。但却使我深深的被它吸引从此便对它有了浓厚的兴趣.不过在高中的学习对于这方面的知识学习只是浅尝辄止。令我兴奋的是，在这学期文海玉老师的概率论与数理统计课上又重新接触到了正态分布这方面的知识,这无疑重新燃起了我的兴趣.下面是我对正态分布的一些浅显的认识。 让我们先从正态分布的发展史说起, 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说.按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差(近似地)服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一(算术平均的优良性，误差的正态性) 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意。 了解完发展史,我们会有疑问,发展到现在的概率论中的正态分布的确切定义到底是什么? 正态分布的概率密度函数均值为μ方差为σ2 (或标准差σ)是高斯函数的一个实例： 。 如果一个随机变量X服从这个分布，我们写作X~ N(μ,σ2). 如果μ = 0并且σ = 1，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为 。 下边是给出了不同参数的正态分布的函数图。
概率统计正态分布
正态分布的前世今生(上) 2013/01/28经典理论历史、正态分布rickjin 神说，要有正态分布，就有了正态分布。 神看正态分布是好的，就让随机误差服从了正态分布。 创世纪—数理统计 1. 正态分布，熟悉的陌生人 学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉。这个钟形的分布曲线不但形状优雅，它对应的密度函数写成数学表达式 f(x)=12π??√σe?(x?μ)22σ2 也非常具有数学的美感。其标准化后的概率密度函数 f(x)=12π??√e?x22 更加的简洁漂亮，两个最重要的数学常量π、e都出现在这公式之中。在我个人的审美之中，它也属于top-N 的最美丽的数学公式之一，如果有人问我数理统计领域哪个公式最能让人感觉到上帝的存在，那我一定投正态分布的票。因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。 正态分布曲 线
正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。2002年以前去过德国的兄弟们还会发现，德国1991年至2001年间发行的的一款10马克的纸币上印着高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)的头像和正态密度曲线，而1977年东德发行的20马克的可流通纪念钢镚上，也印着正态分布曲线和高斯的名字。正态分布被冠名高斯分布，我们也容易认为是高斯发现了正态分布，其实不然，不过高斯对于正态分布的历史地位的确立是起到了决定性的作用。 德国马克和纪念币上的高斯头像和正态分布曲线 正态曲线虽然看上去很美，却不是一拍脑袋就能想到的。我们在本科学习数理统计的时候，课本一上来介绍正态分布就给出分布密度函数，却从来不说明这个密度函数是通过什么原理推导出来的。所以我一直搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布曲线的，又是怎么发现随机误差服从这个奇妙的分布的。我们在实践中大量的使用正态分布，却对这个分布的来龙去脉知之甚少，正态分布真是让人感觉既熟悉又陌生。直到我读研究生的时候，我的导师给我介绍了陈希儒院士的《数理统计学简史》这本书，看了之后才了解了正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用，也是经过了几百年的历史。 正态分布的这段历史是很精彩的，我们通过讲一系列的故事来揭开她的神秘面纱。 2. 邂逅，正态曲线的首次发现
正态分布教学设计
《正态分布（第1课时）》教学设计 【教学内容解析】 正态分布是选修2-3第二章随机变量及其分布的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识.正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展.同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异. 【教学目标设置】 课程目标是通过具体实例，认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.在课程目标的指导下，根据前面的分析，确定了本次课的教学目标： （一）通过数学试验、观察和理性分析，归纳小球分布的规律，感知引入正态曲线、正态分布的意义；借助图象认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义； （二）通过经历正态分布概念的形成过程，体验从具体到抽象研究问题的方法，尝试用数据和图形理性分析问题、用规律推断解决问题的过程； （三）通过数学史介绍正态分布密度函数，感受数学文化；通过数据的分析，能对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断. 教学重点：正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义. 教学难点：正态分布密度曲线所表示的意义
一、情境引入——高尔顿板试验 学生没有接触过正态曲线，对正态曲线的来源也没有认识，因此，教师向学生出示高尔顿板模型引入本节课，并提出问题. 问题1：同学们是否见过此模型？在哪见过？ 预设学生活动：学生不仅见过还在通用技术课上自己制作过高尔顿板，并知道高尔顿板试验是让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层障碍物碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 活动1：高尔顿板试验 为了观察到小球的运动，得到小球的分布规律，我把全班分成6个小组，以小组为单位进行高尔顿板试验，思考下面问题. 问题2：试验过程中，小球碰撞和落入的位置，随着试验次数增加，球槽中小球堆积的高度及形状特点. 学生以小组为单位边试验边观察，并思考教师提出的问题，教师以小组选派代表的方式总结小组的试验观察结果. 预设学生活动：学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过程中，小球经过每一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰撞有两种可能，从左落下或从右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪个球槽是随机的；随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，球槽中小球堆积的高度也会越来越高；随着试验次数增加，小球堆积的形状具有中间高两边低的特点，如果有学生观察出左右对称的特点，教师应给与鼓励和表扬 【设计意图】采用高尔顿板试验的方法引入，一方面可以激发学生学习探究的兴趣，另一方面使学生对正态曲线的来源有一个直观的印象. 二、建立概念——钟形曲线——正态曲线——正态分布 （一）钟形曲线 感性认识要上升到理性认识，为方便研究问题，我们从左到右给球槽编号，小球落入哪个球槽是不是有一定规律可遵循. 问题3：如何用我们所学的知识研究落在各个球槽内的小球的分布情况？
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第7节条件概率二项分布及正态分布讲义理含解析人教A版
第7节 条件概率、二项分布及正态分布 考试要求 1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系；2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率；3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 知 识 梳 理 1.条件概率 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B － ，A － 与B ，A － 与B － 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A ). 3.全概率公式 (1)完备事件组： 设Ω是试验E 的样本空间，事件A 1，A 2，…，A n 是样本空间的一个划分，满足： ①A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω. ②A 1，A 2，…，A n 两两互不相容，则称事件A 1，A 2，…，A n 组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式 设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…， n ，∪n i ＝1A i ＝S ，则对任一事件B ，有P (B )＝∑n i ＝1 P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组. 4.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). (2)二项分布 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～ B (n ，p )，并称p 为成功概率. 5.正态分布 (1)正态分布的定义 如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φ μ，σ (x )d x ，则称随机变 量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2 ).其中φμ，σ (x )＝ 12πσ e （x －μ） 2 2σ 2 (σ>0). (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值 1σ 2π ； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ第四章正态分布体育统计学.docx
第四章正态分布 如果将第二章中的（表 2 — 1）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联结起来，就得到一个图形，它称为频数多边形。（图 4 — 1）当分组数很多，组距很小时，频数多边形就趋于类似（图 4 — 2）所示的平滑的曲线。这种曲线呈现出两侧近似对称的钟形。随机 变量的类似这种分布，在自然界是相当普遍的其中最有代表性的是 正态分布。下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。 f 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 图4 — 1 频数多边形图 第一节正态分布曲线的形式 如果随机变量X 的概率密度函数为 y =12e( x22)2（x）（4 — 1）
则称随机变量 X 是服从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。（图 4 — 2）X 的变动范围在至+间。 Y μX 图 4 — 2正态分布曲线 正态分布曲线中有两个参数：均值及方差 2 。为了应用方便，对式（ 4 — 1）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令 u 来代替原式中的x ，寻这时的随机变量u 的概率密度函数成 为： 2 y =12 e u2（4 — 2） 按照（ 4 — 2）式绘出的图形，称作标准正态曲线。（图 4 — 3） Y 0.4 0.3 0.2 0.1 μ
图 4 — 3 标准正态分布曲线 第二节正态分布曲线的特征 正态分布曲线有许多特点，它们对实际工作有很大的帮助。它的主要特点有以下几个方面： 一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不一定是正态分布）。在正态分布中均值与中位数相重合。 二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，以 后又再次减慢，最后接近横轴，但终究不能与横轴相交。 三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值 左右各一个标准差时又改向外弯，是以1的点为曲线从内弯转 向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。 四，因为正态曲线是对称的，在曲线下不仅平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为 1. 00。 五，正态曲线可以有不同形式，它们的均值和标准差可以不相同，均值不同表明曲线在横轴上所处位置不同，标准差不同表明曲线的形 态不同。标准差小则曲线高、且窄；标准差大则曲线低、且宽。（图4 — 4）由式（4 — 1）和（4 — 2）知，标准正态曲线的= 0，= 1，即标准正态曲线是关于纵轴对称；它在= 0 时，有最大值， 它近似等于 0. 4，如（图 4 — 3）所示。
