2009年高考试题数学理(全国1)及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）（必修+选修Ⅱ）

一、选择题.

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A

B I

中的元

素共有

（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个（2）已知

1i

z

＋=2+i,则复数z=（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i (3) 不等式

1

1

x x +-＜1的解集为（A ）｛x }}01{1x x x <<> (B){

}01x x <<（C ）{}10x x -<< (D){

}

0x x <(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心率

等于

（A （B ）2 （C （D (5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则

()()a c b c -?-的最小值为

（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为

（A （B （C (D)

34

（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么||?的最小值为（A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π

(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为60

o

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到

α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为

(B)2 (C) (D)4

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

12.已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF =

B. 2

D. 3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

13. ()10

x y -的展开式中，73x y 的系数与37

x y 的系数之和等于 。

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,

120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。

16. 若

4

2

x π

π

<<

，则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）

在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C =求b

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点

（II ）求二面角S AM B --的大小。

19（本小题满分12分）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。

20（本小题满分12分）

在数列{}n a 中，1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n

=

，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S

如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标

22.（ 本小题满分12分）

设函数()3

2

33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且11[10],[1,2].x x ∈-∈，

（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域；

(II)证明：()21102

f x -≤≤-