利用差分方程及微分方程计算概率

职业教育

２００７．７

学习探究

解法８：利用复数由于１＝ｃｏｓ０＋ｉｓｉｎ０于是

１的立方根是

即１的立方是：１，令

则

!３＝１，

设ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｙ３＋ｚ３－３ｘｙｚ，

则ｆ（－ｙ－ｚ）＝ｆ（－!ｙ－ｚ!２）＝ｆ（－ｙ!２－ｚ!）＝０

故ｆ（ｘ）含（ｘ＋ｙ＋ｚ），

（ｘ＋ｙ!＋ｚ!２），（ｘ＋ｙ!２＋ｚ!）

三因式令ｆ（ｘ）＝ｋ（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＋ｙ!＋ｚ!２）（ｘ＋ｙ!２＋

ｚ!），比较两边ｘ３的系数得Ｋ＝１，则

ｘ３＋ｙ３＋ｚ３－３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＋ｙ!＋ｚ!２）（ｘ＋ｙ!２＋ｚ!）

＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）

利用差分方程及微分方程计算概率

河北省衡水学院数学与计算机科学系

包素华

任睿

［摘要］在初等概率的计算中，有些问题可以归结为求一个递推关系式的解或者归结为求一个级

数的和，或者归结为一个微分方程的解．

［关键词］差分方程微分方程概率独立

在初等概率论中，计算事件的概率是很基本的工作，也是很重要的内容，计算概率的类型是很多的，有些可以通过直接的方法算出，有一些问题本身比较复杂，但可以归结为求一个递推关系式的解或归结为求一个级数的和，或者归结为一个微分方程的解。在这类问题中，前者是有关概率与各次试验有规则的依赖关系，后者则具有在直观上很明显的三个基本特征。

（一）利用差分方程计算概率。

例１．在每一次试验中事件Ａ出现的概率为

ｐ，问在ｎ次独立试验中Ａ出现偶数次的概率Ｐｎ

是多少？

解：设Ａｋ表示“在ｋ次试验后，Ａ出现偶数次”，Ｈ表示“Ａ在ｋ次试验中出现”，

记Ｐ（Ａｋ）＝ｐｋ，Ｐ（Ｈ）＝ｐ则Ａｋ＝Ａｋ－１Ｈ∪Ａｋ－１Ｈ，显然Ａｋ－１Ｈ与Ａｋ－１Ｈ互不相容，故Ｐ（Ａｘ）＝Ｐ（Ａｋ－

１

Ｈ）＋（Ａｋ－１Ｈ）由于Ａｋ－１，Ａｋ－１只与前ｋ－１次试验有关，Ｈ，Ｈ只与第ｋ次试验有关，而各次试验是独立的，故Ａｋ－１与Ｈ独立，Ａｋ－１与Ｈ也独立，

故

Ｐ（Ａｋ）＝Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ）＋Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ）＝ｐｋ－１（１－ｐ）＋（１－ｐｋ－１）ｐ

即

ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１（１－２ｐ），ｋ＝１，２，…，ｎ

将上式变形为

ｐｋ－１２＝（１－２ｐ）（ｐｋ－１－１２

），ｋ＝１，２，…，ｎ

其中ｐ０＝１将所有ｎ个等式的左、右端连乘，

得到

即Ｐｎ＝１

２

［１＋（１－２ｐ）ｎ］

注１：上面得到的递推关系式ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１（１－

２ｐ），ｋ＝１，２，…，ｎ称为差分方程．在此方程中，ｐｋ与ｐｋ－１有关．原则上说，由ｋ＋１起，逐次求解上述

方程就能得ｐｎ。

（二）利用求级数的和计算概率。

例２．抛ｎ次硬币，第一次出现正面的概率为

ｃ，从第二次开始，出现与第一次相同的概率为ｐ，求第ｎ次时出现正面的概率，并讨论当ｎ"∞时的情形。

解：设Ａｉ表示“第ｉ次出现正面”

，Ｐ（Ａｉ）＝ｐｉ，

ｉ＞１，Ｐ（Ａ１）＝ｃ．由题意

Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝ｐ，Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝ｐ于是Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝１－ｐ，Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝１－ｐ

由全概率公式得

Ｐｉ＝Ｐ（Ａｉ）＝Ｐ（Ａｉ－１）Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＋Ｐ（Ａｉ－１）Ｐ

（Ａｉ〗Ａｉ－１）

＝（１－ｐ）＋（２ｐ－１）ｐｉ－１，１≤ｉ≤ｎ

从而ｐｎ－ｋ（２ｐ－１）ｋ＝（１－ｐ）（２ｐ－１）ｋ＋Ｐｎ－ｋ－１（２ｐ－１）ｋ＋１

，ｋ＝２，３…

将上述ｎ－１个等式两边相加，约去ｐ２至ｐｎ－１

的各项后得到８３

Ｐｎ＝（２ｐ－１）ｎ－１ｐ１＋（１－ｐ）［１＋（２ｐ－１）＋（２ｐ－１）２…＋（２ｐ－１）ｎ－２］

当ｐ≠１时，由等比级数求前有限项和的公式得Ｐｎ＝（２ｐ－１）ｎ－１ｐ１＋（１－ｐ）１－（２ｐ－１）ｎ－１

１－（２ｐ－１）

＝（２ｐ－１）ｎ－１ｃ＋１

２

［１－（２ｐ－１）ｎ－１］

当ｐ＝１时，ｐｎ＝ｐ１＝ｃ．

当ｐ＝０时，若ｎ为奇数，设ｎ＝２ｍ－１，则ｐｎ＝ｐ１＝ｃ

；若ｎ为偶数，则ｐｎ＝１－ｃ．这时，若ｃ＝１

２

，则ｐｎ＝

１２，ｌｉｍＰｎ＝１

２

，若ｃ≠１

２

则ｌｉｍＰｎ不存在．

当０＜ｐ＜１时，易见ｌｉｍＰｎ＝１

２

（三）利用微分方程的解计算概率。

例３．已知自动织布机在ｔ这段时间内因故障

而停机的概率为!△ｔ＋ｏ（△ｔ）（!为常数），并设机器在不重迭的时间内停机的各个事件是彼此独立的，假设在时刻ｔ０机器在工作着，试求机器在由时刻ｔ０到ｔ０＋ｔ这段时间内不停止工作的概率Ｐ（ｔ）（设Ｐ（ｔ）与初始时刻ｔ０无关）

解：在自动织布机工作稳定的情况下，所求的概率可以认为只与〔ｔ０，ｔ０＋ｔ〕这段时间的长短有关，而与时间的起点ｔ０无关，因而它只是ｔ的函数，设为Ｐ（ｔ）．

机器在（ｔ０，ｔ０＋ｔ＋△ｔ）内不停止工作，必须在（ｔ０，ｔ０＋ｔ）与（ｔ０＋ｔ，ｔ０＋ｔ＋△ｔ）这两段时间内都不停止工作，由独立性得

Ｐ（ｔ＋△ｔ）＝Ｐ（ｔ）Ｐ（△ｔ）＝Ｐ（ｔ）［１－!△ｔ－ｏ（△ｔ）］

故

Ｐ（ｔ＋△ｔ）－Ｐ（ｔ）

△ｔ

＝!Ｐ（ｔ）－ｏ（１）

令△ｔ→０得微分方程

ｄＰ（ｔ）

ｄｔ

＝－!Ｐ（ｔ）解得Ｐ（ｔ）＝ｃｅ－ａｔ，其中ｃ为常数．由题意，Ｐ（０）＝１故ｃ＝１，从而Ｐ（ｔ）＝ｅ－ａｔ。

注２：本例是具有代表性的，本例中所出现的随机现象有如下三个特点：（１）它们都取非负整数值，且在不重迭的时间间隔内取任何值都是相互独立的；（２）在极短的时间间隔内取值１的概率只与间隔的长短有关而与间隔的起点无关；（３）在极短的时间间隔内取值２及２以上几乎是不可能的。

参考文献：

［１］华东师大数学系编．概率论与数理统计习题集［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．

［２］Ａ．Ａ．史威斯尼柯〔苏联〕等著，计度生等译．概率论解题指南［Ｍ］．上海：上海科技出版社，１９６５．

［３］茆诗松等编著．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．

关于求单侧导数的几点体会

湖南交通职业技术学院龚平

（一）引言。

关于单导数，由于概念强、技巧高、易错。例１：设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｌｎ（ｘ２＋３），ｘ∈［０，１］，求ｆ／－（０），ｆ／＋（０）

例２：

若用单侧导数定义解，例１显然是很麻烦，有的同学这样解，但不明其理。

解：当ｘ%０，ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ在（０＋∞）内可导。因而ｆ／（ｘ）＝ｅｘ＋ｘｅｘ

∴ｆ／＋（ｘ）＝（ｅｘ＋ｘｅｘ）＝ｅ０＋０×ｅ０＝１＝０或者的的同学干脆以ｘ＝０代入ｆ／＋（０）＝（ｅｘ＋ｘｅｘ）｜ｘ－０＝１

当ｘ&０，ｆ（ｘ）＝ｘ２在（－∞，０）内可导，ｆ／（ｘ）＝２ｘ∴ｆ／＋（ｘ）＝２ｘ

或者干脆这样做ｆ／＋（０）＝２ｘ｜ｘ＝０

在没有理论根据之前，上述做法是欠妥的，有的高等数学书导数的定义是：

“设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在邻域内有定义，若极限

＝ｆ（ｘ－ｆ（ｘ０））

ｘ－ｘ０

＝△ｙ

△ｘ

存在，则称函数在ｘ０可导”这个ｘ’ｘ０，包括ｘ’ｘ０＋或ｘ’ｘ０－都可以，故ｘ０必为这个邻域的内，因而导数公式只能适用于区间的内点，而一般的高等数学教材都不过多

８４

概率计算方法

概率计算方法

概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0

摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1 1 22=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 黄 白2白1蓝 黄白1蓝黄白2

四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一 张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率． 1 2 3 图 图3

差分方程与概率计算

第４期 随着科学技术的发展，差分方程在各个领域得到越来越多的应用，本文将介绍差分方程的一个简单的应用，即如何利用差分方程来求概率问题，虽然差分方程及其解法在很多方面类似于微分方程，但由于很少书籍介绍差分方程的内容，现在先了解一下差分方程的基本概念。 １．差分的概念［１］ 定义１ 设ｙ（ｔ）为定义在整数集上的函数，则称△ｙ（ｔ）＝ｙ（ｔ＋１）－ｙ（ｔ）为函数ｙ（ｔ）的一阶差分， △（△ｙ（ｔ））＝△２ｙ（ｔ）称为ｙ（ｔ）的二阶差分，△ｎｙ（ｔ）＝△（△ｎ－１ｙ（ｔ））称为ｙ（ｔ）的ｎ阶差分。 对于连续函数ｙ（ｔ），可以在区间［ａ，ｂ］内插入ｎ－１个分点：ａ＜ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔｎ＝ｂ（为方便计算，可取等距离点），得函数值ｙ（ｔ０），ｙ（ｔ１），…，ｙ（ｔｎ），同样定义ｙ（ｔ）的各阶差分。 上述定义也可以称为向前差分，还可以用不同的形式定义向后差分与中心差分，三者实质是相同的，可以互相转换。差分具有线性运算及类似微分的运算性质。 ２．差分方程的概念［１］ 定义２差分方程的一般形式为：Ｆ（ｙ（ｔ）；△ｙ（ｔ），…，△ｎｙ（ｔ））＝０，方程中的最大足标ｉ＋ｎ与最小足标 ｉ之差为ｎ时，称之为ｎ阶的差分方程，其一般形式为：ａ０（ｔ）ｙ（ｔ）＋ａ１（ｔ）ｙ（ｔ）＋…＋ａｎ（ｔ）ｙ（ｔ）＝ｂ（ｔ），当ｂ（ｔ）＝０ 时，称为其次的，否则称为非其次的。 在求概率中应用到的一类差分方程，是一类简单的特殊形式，常用到的只有一阶常系数线性差分方程和二阶常系数线性差分方程，其一般形式为：ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ （１）；ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ（２） ３．一阶、二阶常系数线性差分方程的解［２］引理１ 对于一阶常系数线性差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂｘｎ，ａ，ｂ为常数，若已知ｘ１＝ｃ（ｃ为常数）， 则ｘｎ＋１＝ａｎ ｃ＋（１－ａｎ ） １－ａ 引理２［３］ 对于二阶常系数线性差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘ，ａ，ｂ为常数，若ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２（ｍ１，ｍ２为常数）， 则ｘｎ＋１＝λ１ｎ （ｍ１λ２－ｍ２）λ２－λ１＋λ２ｎ （ｍ２－ｍ１λ２）λ２－λ１ ，其中λ１、λ２是方程λ ２ －ａλ－ｂ＝０的两根。证明令ｘｎ＝Ａλｎ代入（２）得：Ａλｎ（λ２－ａλ－ｂ）＝０，称方程λ２ －ａλ－ｂ＝０为差分方程（２）的特征方程，且（２） 的解与特征方程的解有关系式：ｘｎ＋１＝ｃ１λ１ｎ＋１ ＋ｃ２λ２ｎ＋２ ， 因给定初值ｘ１＝ｍ１ｘ２＝ｍ２" ， 代入上式得：ｍ１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２ ｍ２＝ｃ１λ１２＋ｃ２λ２ ２ " 差分方程与概率计算 唐燕玉 （安庆师范学院学报编辑部，安徽安庆２４６０１１） 摘要：全文介绍了差分方程的概念，并给出了一阶差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｃ的特解，同时又给出了二阶差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２的特解，并详细讨论了这两种差分方程在概率论中的应用。 关键词：概率；差分；差分方程；试验；全概公式中图分类号：Ｏ２１１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－４２６０（２００６）０４－００９１－０３ 收稿日期：２００６－０１－２８ 作者简介：唐燕玉（１９５１－），女，安徽枞阳人，安庆师范学院学报（自然科学版）主编。 安庆师范学院学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｑｉｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） ２００６年１１月 Ｎｏｖ．２００６第１２卷第４期 Ｖｏｌ．１２Ｎｏ．４

最新微分方程与差分方程

微分方程与差分方程

第八章微分方程与差分方程 一、作业题 1．?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?为任意常数 (2)?Skip Record If...? 设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (代入上式) ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (3)?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? (4)?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 满足?Skip Record If...?的特解为?Skip Record If...? (5)设?Skip Record If...?代入（1）式中， ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?满足初始条件的特解为?Skip Record If...? (6)特征方程为?Skip Record If...?，解得?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70

习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分：

概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点：抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 （概率）相等用样本估计总体 样本频率分布 估计总体 总体密度曲线 频率分布表和频率分布直方图 茎叶图 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数 方差、标准差 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 散点图回归直线 正态分布 列联表（2×2）独立性分析 概率 概率的基本性质互斥事件对立事件 古典概型 几何概型 条件概率 事件的独立性 用随机模拟法求概率 常用的分布及 期望、方差 随机变量 两点分布 X～B(1，p) E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) 二项分布 X～B(n，p) E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) X～H(N，M，n) E(X)＝n M N D(X)＝ nM N? ? ? ? 1－ M N N－n N－1 n次独立重复试验恰好 发生k次的概率为 P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k 超几何分布 若Y＝aX＋b，则 E(Y)＝aE(X)＋b D(Y)＝a2D(X) P(A＋B)＝P(A)＋P(B) P(?A)＝1－P(A) P(A B)＝P(A)·P(B) P(B | A)＝ P(A B) P(A)

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0

概率计算方法

概率计算方法 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一、公式法P(随机事件)=、其中P(必然事件)=1,P（不可能事件）=0；0

图法，求两次摸到都是白球的概率、解析：⑴设蓝球个数为x 个、由题意得∴x=1 答：蓝球有1个（2）树状图如下：∴两次摸到都是白球的概率 =、说明:解有关的概率问题 首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果、②无论哪种都 是机会均等的、本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法 比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果、 四、列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左 眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或 列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是(2)解法一(树形图):1共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)、其中只有 两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是解法 二(列表法):11共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)、其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法 正确的概率是评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌 握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经 过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效、概率计算

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概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了 统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0

解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图 如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 112 2=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果. ②无论哪种都是机会均等的 . 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡 片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2

第10章 微分方程与差分方程

第十章 微分方程与差分方程 A 级自测题 一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）． A ．xy y e '=． B ．x xy y e '+=． C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=． D ．0yy y x '+-=． 2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）． A ．1y xy y '''++=． B ．2()5yy y '''+=． C ．x y xe y ''=+． D ．2(1)(1)x y x y ''-=+． 3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33 x t f x f dt =+?，则()f x 等于（ ）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +． 4．函数28x x y A =?+是差分方程（ ）的通解． A ．21320x x x y y y ++-+=． B ．12320x x x y y y ---+=． C ．128x x y y +-=-． D ．128x x y y +-=． 二、填空题（每小题5分，共20分） 1．微分方程2sin d d ρρθθ +=的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________． 3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________． 4．差分方程12x x y y +-=的通解为 ． 三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分） 1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；

分离定律中概率计算怎么讲

分离定律中概率计算怎样讲 正推类型：（亲代→子代） 亲代基因型子代基因型及比例子代表现型及比例 ⑴AA×AA AA 全显 ⑵AA×Aa AA : Aa=1 : 1 全显 ⑶AA×aa Aa 全显 ⑷Aa×Aa AA : Aa : aa=1 : 2 : 1 显:隐=3 : 1 ⑸Aa×aa Aa : aa =1 : 1 显:隐=1 : 1 ⑹aa×aa aa 全隐 逆推类型：（子代→亲代） 子代表现型及比例亲代基因型亲代杂交类型 ⑴全显至少有一方是AA AA×AA；AA×Aa；AA×aa； ⑵全隐aa×aa ⑶显:隐=1 : 1 Aa×aa ⑷显:隐=3 : 1 Aa×Aa 解题思路：（理解） 根据后代分离比解题 ①若后代性状分离比为显性:隐性=3：1，则双亲一定是杂合子（Bb），即Bb×Bb 3B _ :1bb ②若后代性状分离比为显性：隐性=1：1，则双亲一定是测交类型，即Bb×bb 1Bb：1bb ③若后代性状只有显性性状，则双亲至少有一方为显性纯合子，即BB×BB或BB×Bb或BB×bb 亲代子代表现型及比例子代可能基因型及比例 ⑴一种性状一种性状AA×AA；AA×Aa；AA×aa；aa×aa ⑵两种性状 1 : 1 Aa×aa ⑶两种性状3: 1 Aa×Aa 概率计算 亲代基因型子代基因型及比例子代表现型及比例 ⑴AA×AA AA=1 A =1（全显） ⑵AA×Aa AA : Aa=1 : 1 A =1（全显） ⑶AA×aa Aa=1 A =1（全显） ⑷Aa×Aa AA : Aa : aa=1 : 2 : 1 A :aa（显:隐）=3 : 1 ⑸Aa×aa Aa : aa =1 : 1 A :aa（显:隐）=1 : 1 ⑹aa×aa Aa=1 aa=1（全隐）

差分方程模型习题+答案

1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有 k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出 k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 0k A =由（1）可得： 01 k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a =- (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时， 240 0A =，240 02401 A ra b a =- 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240

思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为

概率计算公式

概率计算公式 加法法则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B) －P(AB 条件概率 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P(A)=A 加法法则 定理 :设 A 、 B 是互不相容事件(AB=φ)， P(AB)=0. 则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=p(A)+P(B) 推论 1:设 A1 、 A2 、?、 An 互不相容，则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+P(An)推论 2:设 A1 、 A2 、?、 An 构成完备事件组，则:P(A1+A2+...+An)=1 推论 3: P(A)=1-P(A') 推论 4:若 B 包含 A ，则 P(B-A)= P(B)-P(A) 推论 5(广义加法公式): 对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 折叠条件概率 条件概率 :已知事件 B 出现的条件下 A 出现的概率，称为条件概率，记作:P(A|B) 条件概率计算公式: 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0 ，P(A|B)=P(AB)/P(B) 折叠乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 推广 :P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 折叠全概率公式 设: 若事件 A1 ， A2 ，?， An 互不相容，且 A1+A2+?+An=Ω，则称 A1 ，A2 ，?， An 构成一个完备事件组。 全概率公式的形式如下 : 以上公式就被称为全概率公式。

微分方程与差分方程详细讲解与例题

第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

微分方程与差分方程 详解与例题

第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

概率计算方法

概率计算方法 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0

白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1 2 . （1）试求袋中蓝球的个数. （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得 2 1 122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 = 6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？ （2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一 黄 白2白1蓝 黄白1蓝 黄白2

利用差分方程及微分方程计算概率

职业教育 ２００７．７ 学习探究 解法８：利用复数由于１＝ｃｏｓ０＋ｉｓｉｎ０于是 １的立方根是 即１的立方是：１，令 则 !３＝１， 设ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｙ３＋ｚ３－３ｘｙｚ， 则ｆ（－ｙ－ｚ）＝ｆ（－!ｙ－ｚ!２）＝ｆ（－ｙ!２－ｚ!）＝０ 故ｆ（ｘ）含（ｘ＋ｙ＋ｚ）， （ｘ＋ｙ!＋ｚ!２），（ｘ＋ｙ!２＋ｚ!） 三因式令ｆ（ｘ）＝ｋ（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＋ｙ!＋ｚ!２）（ｘ＋ｙ!２＋ ｚ!），比较两边ｘ３的系数得Ｋ＝１，则 ｘ３＋ｙ３＋ｚ３－３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＋ｙ!＋ｚ!２）（ｘ＋ｙ!２＋ｚ!） ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ） 利用差分方程及微分方程计算概率 河北省衡水学院数学与计算机科学系 包素华 任睿 ［摘要］在初等概率的计算中，有些问题可以归结为求一个递推关系式的解或者归结为求一个级 数的和，或者归结为一个微分方程的解． ［关键词］差分方程微分方程概率独立 在初等概率论中，计算事件的概率是很基本的工作，也是很重要的内容，计算概率的类型是很多的，有些可以通过直接的方法算出，有一些问题本身比较复杂，但可以归结为求一个递推关系式的解或归结为求一个级数的和，或者归结为一个微分方程的解。在这类问题中，前者是有关概率与各次试验有规则的依赖关系，后者则具有在直观上很明显的三个基本特征。 （一）利用差分方程计算概率。 例１．在每一次试验中事件Ａ出现的概率为 ｐ，问在ｎ次独立试验中Ａ出现偶数次的概率Ｐｎ 是多少？ 解：设Ａｋ表示“在ｋ次试验后，Ａ出现偶数次”，Ｈ表示“Ａ在ｋ次试验中出现”， 记Ｐ（Ａｋ）＝ｐｋ，Ｐ（Ｈ）＝ｐ则Ａｋ＝Ａｋ－１Ｈ∪Ａｋ－１Ｈ，显然Ａｋ－１Ｈ与Ａｋ－１Ｈ互不相容，故Ｐ（Ａｘ）＝Ｐ（Ａｋ－ １ Ｈ）＋（Ａｋ－１Ｈ）由于Ａｋ－１，Ａｋ－１只与前ｋ－１次试验有关，Ｈ，Ｈ只与第ｋ次试验有关，而各次试验是独立的，故Ａｋ－１与Ｈ独立，Ａｋ－１与Ｈ也独立， 故 Ｐ（Ａｋ）＝Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ）＋Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ）＝ｐｋ－１（１－ｐ）＋（１－ｐｋ－１）ｐ 即 ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１（１－２ｐ），ｋ＝１，２，…，ｎ 将上式变形为 ｐｋ－１２＝（１－２ｐ）（ｐｋ－１－１２ ），ｋ＝１，２，…，ｎ 其中ｐ０＝１将所有ｎ个等式的左、右端连乘， 得到 即Ｐｎ＝１ ２ ［１＋（１－２ｐ）ｎ］ 注１：上面得到的递推关系式ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１（１－ ２ｐ），ｋ＝１，２，…，ｎ称为差分方程．在此方程中，ｐｋ与ｐｋ－１有关．原则上说，由ｋ＋１起，逐次求解上述 方程就能得ｐｎ。 （二）利用求级数的和计算概率。 例２．抛ｎ次硬币，第一次出现正面的概率为 ｃ，从第二次开始，出现与第一次相同的概率为ｐ，求第ｎ次时出现正面的概率，并讨论当ｎ"∞时的情形。 解：设Ａｉ表示“第ｉ次出现正面” ，Ｐ（Ａｉ）＝ｐｉ， ｉ＞１，Ｐ（Ａ１）＝ｃ．由题意 Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝ｐ，Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝ｐ于是Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝１－ｐ，Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＝１－ｐ 由全概率公式得 Ｐｉ＝Ｐ（Ａｉ）＝Ｐ（Ａｉ－１）Ｐ（Ａｉ〗Ａｉ－１）＋Ｐ（Ａｉ－１）Ｐ （Ａｉ〗Ａｉ－１） ＝（１－ｐ）＋（２ｐ－１）ｐｉ－１，１≤ｉ≤ｎ 从而ｐｎ－ｋ（２ｐ－１）ｋ＝（１－ｐ）（２ｐ－１）ｋ＋Ｐｎ－ｋ－１（２ｐ－１）ｋ＋１ ，ｋ＝２，３… 将上述ｎ－１个等式两边相加，约去ｐ２至ｐｎ－１ 的各项后得到８３

常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点 考试纲要 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 3、会解二阶常系数齐次线性微分方程 4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题 重要知识点 1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2、变量可分离微分方程解法 g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C 3、齐次微分方程解法 dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u dx x x (u) u x x 附：可化为齐次的方程 c C| 0,可化为齐次微分方程 a b . . a1 bi dy ax by c dx ax by c c或c o a b a b x X h 0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k 设印b,dy ax by c ,令ax a b dx (ax by) c 则可化为史的变量可分离微分方程 dx by v, 0,

7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。 若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。 对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解 y t*与对应齐次方程通解之和。即: ? t y t y t C a 。

第九章 偏微分方程差分方法

170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0