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2005二届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

第2届中国东南地区数学奥林匹克

第1天

（2005年7月13日8：00～12：00 福州）

1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都

落在一条抛物线上。

（2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根

的取值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM Q B ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。

3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一

个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。

4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。

第2天

（2005年7月14日8：00～12：00福州）

5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。

6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ，（12...()n

a a a P A n

+++=

）。若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B

是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”

的个数。

7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。

（2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+

1n a +=12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2

αβγ<<

，且33

s i n s i n

s i n 1αβγ++

，求证：22233tan tan tan 2

αβγ++≥

K N

P o

答案

1. (1) 令22()(2)2121(2)a f x x a x a x x a x =++-+=+++-，因此抛物线过定点

（2, 9），该抛物线的顶点座标为

4(12)(2)

124

a x a a a a

y +=---+--=

消去a 得245y x x =-++。 (2) ()0a f x =的大根为

(2)(2)4(12)2

(2)122

(2)(6)362a a a x a a a

a a -++

+--=

-++

+-=

令a +6=2k ，则

(24)436

922

k k x k k --+

--+

由判别式0?>得k >3或k <-3。当k <-3时, x >5；当k >3时, 2

929x k k

-+, 可得-1

综上得，方程的大根x 的取值范围为(1,2)(5,)-?+∞。

2. 作P I A B ⊥，I 为垂足, 记J 为直线MN 与线段PK 的交点。易知Q AO Q BO ∠=∠=

90QPO ∠=

，故O 、B 、Q 、P 、A 均在以线段OQ 为直径的圆周上。

由于,,PN Q A PM Q B PI AB ⊥⊥⊥，所以由Simson 定理知: QAB ?的外接圆上一点P 在其三边的垂足N 、M 、I 三点共线，即N 、M 、J 、I 四点共线。

因为,Q O AB PI AB ⊥⊥，所以QO //PI , 所以POQ IPO ∠=∠, 又因为P 、A 、I 、M 四点共圆，P 、A 、O 、Q 也四点共圆，所以

PIJ PIM PAM PO Q

∠=∠=∠=∠

所以在直角三角形PIK 中, PIJ JPI ∠=∠, 所以J 为PK 的中点因此直线MN

K N

P o

平分线段KP 。

3. 考虑M 的n +2元子集P ={n -1, n , n +1, …, 2n }。P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +n +1+n +2=4n +2, 所以3k n ≥+。将M 的元配为n 对，(,21),1i B i n i i n =+-≤≤。

对M 的任一n +3元子集A ，必有三对1

,,i i i B B B 同属于A (123,,i i i 两两不同)。

又将M 的元配为n －1对, (,2),1-1i C i n i i n =-≤≤。对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4

i C 同属于A

这一对4

i C 必与刚才三对1

,,i i i B B B 中至少一对无公共元，这4个元素互不相

同，且和为2n +1+2n =4n +1。因此，所求的最小k =n +3。

4. 由于任何奇平方数被4除余1，任何偶平方数是4的倍数，因2005被4除余1，故222,,a b c 三数中，必是两个偶平方数，一个奇平方数。设a=2m ，b=2n ，c=2k －1，m, n, k 为正整数，原方程化为：

(1)501(1)m n k k ++-=

又因任何平方数被3除的余数，或者是0，或者是1，今讨论k ： (i) 若3(1)k k -，则由(1)，223m n +，于是m, n 都是3的倍数。

设m =31m ，n =31n ，并且

(1)

k k -是整数，由(1)

11(1)

33167

(2)3

k k m n -++

于是

()(1)

1672m od 33k k -≡≡

设

(1)

k k -=3r +2，则

(1)96

(3)k k r -=+

且由(1)，(1)501k k -<，所以22k ≤。

故由(3)，k 可取3，7，12，16，21，代入(2)分别得到如下情况：

2211355k m n =??+=?, 2211751k m n =??+=?, 22111241k m n =??+=?, 22

1116

29k m n =??+=?,

219k m n =??+=?

由于55、51都是4N +3形状的数，不能表为两个平方的和，并且9也不能表成两个正整数的平方和，因此只有k =12与k =16时有正整数解1m ,1n 。当k =12，由2212m m +=41，得(1m , 1n )=(4, 5)，则a=61m =24，b =61n =30，c =2k －1=23，于是(a, b, c )=(24, 30, 23)。

当k =16，由2212m m +=29，得(1m , 1n )=(2, 5)，则a=61m =12，b =61n =30，

c =2k －1=31，因此(a, b, c )=(12, 30, 31)

(ii) 若3|(1)k k -时，由于任何三个连续数中必有一个是3的倍数，则k +1是 3的倍数，故k 被3除余2，因此k 只能取2，5，8，11，14，17或20 利用(1)式分别讨论如下：

若k =2，则2212m m +=499，而4993(m od 4)≡，此时无解

若k =5，则2212m m +=481，利用关系式

()()()

()

()()

x y y x x y y x α

αβαβαβαβ++=++-=-+-

可知()()2

481133732

91516

=?=++=+=+。

所以(m, n )=(20, 9)或(15, 16)。

于是得两组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(40, 18, 9)或(30, 32, 9)。若k =8，则2212m m +=445，而()()22222

4455892185212

=?=++=+

1811

=+。

所以(m, n )=(21, 2)或(18, 11)，得两组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(42，4，15)或(36, 22 15)。

若k =11，有2212m m +=391，而3913(mod 4)≡，此时无解；

若k =14，有2212m m +=319，而3193(m od 4)≡，此时无解；

若k =17，有2212m m +=229，而22229152=+，得(m, n )=(15, 2)，得一组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(30, 4, 33)；

若k =20，则2212m m +=121=211，而211不能表示两个正整数的平方和，因此本题共有7组解为：(23, 24, 30)，(12, 30, 31)，(9, 18, 40)，(9, 30, 32)，(4, 15, 42)，(15, 22, 36)，(4, 30, 33)。经检验，它们都满足方程。

5. 设PB 、PC 的长度分别为p 、q ，设,ABP ACP βγ∠=∠=，设AC 与S 的切点为E ，记圆心为O ，设AE 的长度为t ，连接AO 、OE ，则在直角三角形AOE 中，我们有

1(),2

AO E βγ∠=

因此1tan

()2

p q t pq βγ+=+=

-。

这样我们可得ABC ?的面积A B C S ?为()()11

ABC pq p q S p q t pq ?+=++?=

-。

又因为1(),2ABC S p q h ?=+?所以可得1

21pq

h pq =-。整理得.2

h pq h =

6. 由于P (M )=5，令M ’={x -5 | x ∈M }={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, 则P (M ’)=0, 依照此平移关系，M 和M ’的均衡子集可一一对应。用f (k )表示M ’的k 元均衡子集的个数，显然有f (9)=1, f (1)=1 (M ’的9元均衡子集只有M ’，一元均衡子集只有{0})。

M ’的二元均衡子集共四个，为{,},1,2,3,4i B i i i =-=, 因此f (2)=4。 M ’的三元均衡子集有两种情况：

（1）含有元素0的为{0}{2,0,},1,2,3,4i B i i ?=-=, 共四个；

（2）不含元素0的，由于等式3=1+2,4=1+3可表示为-3+1+2=0，3-1-2=0

以及-4+1+3=0，4-1-3=0得到4个均衡子集{-3, 1, 2}，{3, -1, -2}，{-4, 1, 3}，{4, -1, -3}，因此f (3)=4+4=8。 M ’的四元均衡子集有三种情况：

（1）每两个二元均衡子集之并：,14i j B B i j ?≤<≤, 共6个集；

（2）不含元素0的三元均衡子集与{0}的并集，共4个集；

（3）以上两种情况之外者，由于等式1+4=2+3可表为-1-4+2+3=0以及

1+4-2-3=0得2个均衡子集{-1, -4, 2, 3}与{1, 4, -2, -3}，因此f (4)=6+4 +2=12。

又注意到，除M ’本身外，若B ’是M ’的均衡子集，当且仅当其补集''M C B 也是M ’的均衡子集，二者一一对应。因此f (9-k)=f (k )，k =1, 2, 3, 4。

从而M ’的均衡子集个数为9

()(9)2()12(14812)51k k f k f f k ===+=++++=∑∑

即M 的均衡子集有51个。

7. 根据函数y =|x +1|+|x +2|+|x +3|=a 的图像可知：当a <2时，方程无解；当a =2时，方程有一个根；当a >2时，方程有两个根。

(1) 因为方程|x |=|x +1|=|x -2|无解，故2n ≥且公差不为0。不妨设数列的各项

为a -kd (1≤k ≤n ,d >0)。作函数f (x )=1

k x kd =-∑,

本题条件等价于f (x )=507至少有三个不同的根a ，a +1，a -2，此条件又等价于函数y = f (x )的图像与水准直线y =507至少有三个不同的公共点。由于y =f (x )的图像是关于直线(1)2

n d

y +=

左右对称的n +1段的下凸折线,

它与水准直线L 有三个公共点当且仅当折线有一水准段在L 上，当且仅当n =2m 且a , a +1, a -2∈[md ,(m +1)d ], f (md )=507。即d ≥3且m 2d =507。由此得 25073

m ≤

，13m ≤。

显然，m =13时，取d =3，a =4满足本题条件。因此，n 的最大值为26。 8. 令a =sin α，b =sin β，c =sin γ，则a , b , c ∈(0, 1)且3331a b c ++=，

222

1121122(1)(

),3

a a a

a a a a +-+--=

-≤

同理33

22-,,3333b b c c ≤-≤

因此

222333333

3333()1-1-1----2

a b c a

b c a a

b b

c c

≥

++=

。

注意到

222

sin tan 1sin 1sin tan 1sin 1sin tan 1sin 1a a

b c

αααβββλγλ

==--==

--=

所以222

33tan tan tan .2

αβγ++≥

注易知上述不等式等号不能成立。

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ．〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠，因此图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 EQM MRF ???，因此 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，因此 EM FN EN FM ?=?．〔2〕答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =．因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠，即NSE EQM ∠=∠，因此NSE ?～EQM ?，故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =，因此EN FN EM FM =，从而EM FN EN FM ?=?． C B

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答第一天 (2013年7月27日上午8：00－12：00) 江西鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的最小值．（杨晓鸣提供）解设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==，故0,0a b >>．由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥．又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠．（张鹏程提供）证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆．又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆．所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则 (A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数 (C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c| ＋|2a ＋b|，则 (A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中，∠C ＝90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关系中正确的是 (A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞2 1- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤2 1 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质： (i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)， (ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，

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首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ，求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠．证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示．现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．

5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =．今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++．（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+；（2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <．第十六届中国东南地区数学奥林匹克参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2006年7月27日， 8：00－12：00，南昌）一、设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=．二、如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。三、一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。四、对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。第二天（2006年7月28日， 8：00－12：00，南昌）五、如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。六、求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++）（）。七、（1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。（2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

2009第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

第六届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2009年7月28日上午8：00－12：00）江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中，已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠，且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈，222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。第二天（2009年7月29日上午8：00－12：00）江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ?∈，记 1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++，其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ F E I O B C A D

首届中国东南地区数学奥林匹克(有答案)

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ，求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州第一天（2018年7月30日8:00-12:00）高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? ．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者． 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论． 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切． 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素？证明你的结论．

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州第二天（2018年7月31日8:00-12:00）高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数． 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ． 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值． 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠. 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克江西g 吉安高二年级第一天

2019年7月30日上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =， 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =，1，…，1n -)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)：（,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5) （1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5) （1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ），（1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）. 若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.

中国数学奥林匹克试题及解答

一、实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．证明只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可．记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ．由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑，所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题第一天 2006年8月8日下午15：30——19：30 乌鲁木齐中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数．证明：在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1），（f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。故f （x ）＝1，x ＞0。二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点．证法1：如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

2005年第2届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第2届中国东南地区数学奥林匹克第1天（2005年7月13日8：00～12：00 福州） 1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物在线。（2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根的取值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。 3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。 4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。第2天（2005年7月14日8：00～12：00福州） 5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。 6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ，（12...()n a a a P A n +++=）。若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B 是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。（2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+1n a += 12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2 π αβγ<< ，且3 3 3 s i n s i n s i n 1αβγ+ += ，求证：2 2 2 tan tan tan 2 αβγ++≥

历届数学奥林匹克参赛名单

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。 2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中） --------------------------------------------------------- 历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数 1959 1 罗马尼亚罗马尼亚7 1960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克5 1961 3 匈牙利匈牙利 6 1962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利7 1963 5 波兰前苏联8 1964 6 前苏联前苏联9 1965 7 前东德前苏联8 1966 8 保加利亚前苏联9 1967 9 前南斯拉夫前苏联13 1968 10 前苏联前东德12 1969 11 罗马尼亚匈牙利14 1970 12 匈牙利匈牙利14 1971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利15 1972 14 波兰前苏联14 1973 15 前苏联前苏联16 1974 16 前东德前苏联18 1975 17 保加利亚匈牙利17 1976 18 澳大利亚前苏联19

第十六届东南地区数学奥林匹克(高二年级)

第一天 1.对任意实数a ，用[a ]表示不超过a 的最大整数，记{a }=a ?[a ]. 是否存在正整数m,n 及n +1个实数x 0,x 1,...,x n ，使得 x 0=428,x n =1928,x k +110=[x k 10]+m +{x k 5 }(k =0,1,···,n ?1)成立？证明你的结论. 2.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =90?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E,F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD,CD 的延长线交于点M,N ，直线EN,F M 相交于点G ，直线AG,ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点P (=N )，直线MF 与圆B 相交于点Q (=F )，证明：G,P,T,Q 四点共圆. 3.今有n 人排成一行，自左至右按1,2,···,n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再按1,2,3,···的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用f (n )表示最后一个退出队伍的人在最初报数是的序号.求f (n )的表达式（用n 表示）；特别地，给出f (2019)的值. 4.在5×5矩阵X 中,每个元素为0或1.用x i,j 表示X 中第i 行第j 列的元素(i,j =1,2,···,5).考虑X 的所有行、列及对角线上的五元有序数组(共24个数组)： (x i,1,x i,2,...,x i,5),(x i,5,x i,4,...,x i,1)(i =1,2, (5) (x 1,j ,x 2,j ,...,x 5,j ),(x 5,j ,x 4,j ,...,x 1,j )(j =1,2, (5) (x 1,1,x 2,2,···,x 5,5),(x 5,5,x 4,4,···,x 1,1) (x 1,5,x 2,4,···,x 5,1),(x 5,1,x 4,2,···,x 1,5) 若这些数组两两不同，求矩阵X 所有元素之和的可能值.

2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答精品

O R Q N M F E D C B A P 2020年中国数学奥林匹克试题与解答 (2020年1月11日) 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；（2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠，于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故 EQM MRF ???，所以 EM ＝FM ，同理可得 EN ＝FN ，所以 EM FN EN FM ?=?．（2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==，所以 NS OD EQ OB =． ① 又11 ,22 ES OA MQ OC = =，