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概率论与数理统计第四章 随机变量的数字特征

1 第四章 随机变量的数字特征

前面讨论了随机变量的分布函数,我们知道分布函数全面地描述了随机变量的统计特性.但是在实际问题中,一方面由于求分布函数并非易事;另一方面,往往不需要去全面考察随机变量的变化情况而只需知道随机变量的某些特征就够了.例如,在考察一个班级学生的学习成绩时,只要知道这个班级的平均成绩及其分散程度就可以对该班的学习情况作出比较客观的判断了.这样的平均值及表示分散程度的数字虽然不能完整地描述随机变量,但能更突出地描述随机变量在某些方面的重要特征,我们称它们为随机变量的数字特征.本章将介绍随机变量的常用数字特征:数学期望、方差、相关系数和矩.

第一节 数学期望

1.数学期望的定义

粗略地说,数学期望就是随机变量的平均值.在给出数学期望的概念之前,先看一个例子.

要评判一个射手的射击水平,需要知道射手平均命中环数.设射手A 在同样条件下进行射击,命中的环数X 是一随机变量,其分布律如下:

表4-1

概率论与数理统计第四章 随机变量的数字特征

由X 的分布律可知,若射手A 共射击N 次,根据频率的稳定性,所以在N 次射击中,大约有0.1×N 次击中10环,0.1×N 次击中9环,0.2×N 次击中8环,0.3×N 次击中7环,0.1×N 次击中6环,0.1×N 次击中5环,0.1×N 次脱靶.于是在N 次射击中,射手A 击中的环数之和约为

10×0.1N +9×0.1N +8×0.2N +7×0.3N +6×0.1N +5×0.1N +0×0.1N .

平均每次击中的环数约为

N

1(10×0.1N +9×0.1N +8×0.2N +7×0.3N +6×0.1N +5×0.1N +0×0.1N ) =10×0.1+9×0.1+8×0.2+7×0.3+6×0.1+5×0.1+0×0.1

=6.7(环).

由这样一个问题的启发,得到一般随机变量的“平均数”,应是随机变量所有可能取值与其相应的概率乘积之和,也就是以概率为权数的加权平均值,这就是所谓“数学期望的概念”.一般地,有如下定义:

定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为

P {X =x k }=p k k =1,2,…,

若级数 ∑∞=1k k k p x

绝对收敛,则称级数∑∞=1k k k p x

为随机变量X 的数学期望(Mathematical expectation),记为E (X ).