证明的必要性
初中数学新授课“教案、学案一体化设计”案例
学科数学课题证明的必要性执笔课时 1 单位荣成15中学年级初三
教学目标知识与技能：经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得
的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理，从而认识证
明的必要性，培训学生的推理意识.
过程与方法：体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推
理
教法通过一系列的具体事例给学生质疑，让
他们真正感受到证明势在必行
学法自我研讨法
教具多媒体、与教学有关的小教具
教学程序设计教材处理设计师生活动设计
一、学生自学，
教师点拨二、新知导读一、学生自学，教师点拨：
（1）阅读“读一读”费马的失误.
（2）阅读课本引例.
先阅读大师的失误，引导学生感受到通过实验、归纳、观察、猜测等方法，得到的数学命题
不一定正确
二、探究活动：
1．先观察，后验证：
（1）如图1，竖线和横线一样长吗？
（2）如图2，左图中心的圆比右图的圆小吗？
（3）图3中各条直线是直的还是弯的？
2．当n=0，1，2，3，4，5时，代数式11
2+
-n
n的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有的
自然数n，11
2+
-n
n的值都是质数吗？与同伴交流.
思路点拨：如果要判断一个结论不正确只要举一个反例就可以了.
3．假若用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大
（把地球看成球形）？小刚猜“最多能爬过一只蚂蚁”；小颖猜“刚好能放进去一个乒乓球”；
【课外链接】
费马数猜想：大师的失误
1640年，在数论领域留下不
可磨灭足迹的费马思考了一
个问题：式子 +1 的值是
否一定为素数。1732年，年
仅25岁的欧拉在费马死后
67年得出F5＝
641×6700417，其中
641=5×27+1这一结果意味
着是一个合数，因此费马的
猜想是错的。
眼见未必为实
挑战你的视觉
多媒体演示：不可思议的图
片欺骗了你吗？
图1 图2 图3
三．讨论交流：
四．课堂练习：
(1)注重学生动手实验，探索过程并利用小组合作的方式，培养学生合作意识；
小明猜“至少能放进一个拳头”。你认为谁的说法是正确的？为什么？与同伴进行交流.
教师总结：我们只要计算出铁丝所围成的圆的半径的差就能作出判断.设
C表示赤道的周长，则有
11
0.16()
222
C C
m
πππ
+
-=≈
思路点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步
一步、有根有据地进行推理
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、
有根有据地进行推理，推理的过程叫做证明。
检验一个数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明。
三．讨论交流：
（1）在数学学习中，你用到过推理吗？
（2）在日常生活中，你用到过推理吗？
四．课堂练习：
（一）1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是( )
A.只需观察得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自实验得出
D.必须进行有根据地推理.
2.通过观察你能肯定的是( )
A.图形中线段是否相等;
B.图形中线段是否平行
C.图形中线段是否相交;
D.图形中线段是否垂直
3.下列问题你不能肯定的是( )
A.一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小关系;
B.三角形的内角和
C.n边形的外角和;
D.三角形与矩形的面积关系
4.下列问题用到推理的是( )
A.根据x=1,y=1 得x=y;
B.观察得到四边形有四个内角;
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘;
D.由公理知道过两点有且只有一条直线
5.如果a=b,那么a2_____b2.
6.小明三天没来上学了,明天他肯定还不会来,这种判断是否合理?答:______.
7.要判断两条线段是否平行,仅靠观察是________的.(行或不行)
（二）课本
80
P随堂练习：1，2，3。
学生充分讨论交流后教
师小结
考虑到学生认知上的困难，
设计了“观察一猜想一验证
一说理一抽象”这一过程，
为学生提供充分从事数学活
动和交流的机会，使学生经
历从实践活动中抽象出数学
概念的过程，并将从实践中
探索得到的结论再应用到实
践中去。
学生练习教师巡回指导，
发现问题随时解决。
五．拓展延伸：
(2）使学生在感性认识的基础上初步向理性认识过渡。
六．课堂小结：七．布置作业：五．拓展延伸：
1、计算2
15=；2
25=；2
35=；2
45= .
2、猜想：个位上的数为5的自然数的平方的速算方法，并推理验证.
3、快速算出:2
1995=，2
2005= .
六．课堂小结：
通过本节课的学习，①你学会了什么？能把你的学习体会跟同学们交流一下吗？
②你认为怎样才能判断一个结论成立？
七．布置作业：
课本
81
P习题3.3.
先由学生独立思考解决，之
后小组交流讨论，最后教师
总结归纳。
学生总结归纳本节课堂重
点，教师点评鼓励。
板书设计
证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、练习区
观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、
有根有据地进行推理，推理的过程叫做证明
实验验证、举出反例、推理证明
课
后
反
思
本节内容简单，通过故事说明，没有严格的推理，仅有
若干特例归纳得出的结论可能潜藏着错误，同时通过故事让
学生学习欧拉的求实态度与科学精神。