椭圆复习题
一、选择题 1．椭圆
4
2
2y m x +＝1的焦距等于2，则m 的值为( )
A ．5或3
B ．8
C ．5
D ．16
2．若△ABC 的两个顶点坐标A (－4，0)、B (4，0)，△ABC 的周长为
18，则顶点C 的轨迹方程为( )
A ．9252
2y x +
＝1 B ．9252
2x y +＝1(y ≠0) C ．9
162
2y x +
＝1(y ≠0) D ．
9
252
2y y +＝1(y ≠0)
3.过点(－3，2)且与492
2y x +
＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A ．10
152
2y x +
＝1 B ．10022522
y x +
＝1
C ．15
102
2y x +
＝1
D ．22510022
y x +
＝1
4．若α∈(0，π
)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，
则α的取值范围是( )
A ．(0，4π)
B ．(0，4π
)
C ．(4π，2π)
D ．［4π，2π
)
5．已知椭圆的方程是2
2
a x ＋25
2y ＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1、F 2，且｜F 1F 2｜＝8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为( ) A ．10 B ．20 C ．2
41
D ．441
6．△ABC 两个顶点的坐标分别是B (6，0)和C (－6，0)，另两边AB 、
AC 的斜率的积是－94
，则顶点A 的轨迹方程是( )
A ．812
x ＋362y ＝1(y ≠±6) B ．812y ＋162x ＝1(y ≠±6) C ．162
x ＋36
2y ＝1(x ≠±6)
D ．36
2
x ＋16
2y ＝1(x ≠±6)
7、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（）
A 、椭圆
B 、线段12F F
C 、直线12F F
D 、不能确定
8、如果22
212
x y a a +
=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（）
A (2,)-+∞
B ()()2,12,--?+∞
C (,1)(2,)-∞-?+∞
D 任意实数R 9、“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
10． 如果椭圆125
812
2=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2, N
是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为（ ） A 2 B 4 C 8 D
2
3 二、填空题
11．在椭圆4162
2y x +
＝1内，过点(2，1)且被这点平分的弦所在的直线
方程是___________．
12．已知21F F 、为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、
B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =___________。
13．椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为
钝角时，点P 横坐标的取值范围是
14. 椭圆 22
1123
x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段
1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF 的_________倍。
15．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=
的点M 总在椭圆
内部，则椭圆离心率的取值范围是_________ 三、解答题
16. 求适合下列条件的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)； (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26．
17.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝
22．且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22
，求椭圆方程．
18. 当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？
19. 已知P 为椭圆252x +92
y =1上的一点，F 1F 2是椭圆上的两焦点，
∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积.
20.（12分）如图，AB 是过椭圆左焦点F 的一条弦,C 是椭圆的右焦点，已知4AB AC ==,
90BAC ∠=?,求椭圆方程.
21、(14分)椭圆22
1(045)45x y m m
+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的
离心率e =
O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20，
求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程
22、中心在原点的椭圆C 的一个焦点是F (0，50)，又这个椭圆被直
线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标是21
，求该椭圆方程．
参考答案
一、选择题
1、解析：当焦点在x 轴上时，c 2＝m －4，即1＝m －4，∴m ＝5．当焦点在y 轴上时，c 2＝4－m ，即1＝4－m ，∴m ＝3．答案：A
2、解析：∵｜AB ｜＝8，∴｜CA ｜＋｜CB ｜＝10，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆去掉与焦点所在同一直线的交点(∵C 与A 、B 不能共线)，并且2a ＝10，2c ＝8，∴b ＝3．∴顶点C 的轨迹方程为
9
252
2y x +＝1(y ≠0)．答案：D
3、解析：∵c 2＝9－4＝5，∴设椭圆的方程为
52
22
2
-+a y a x ＝1， ∵点(－3，2)在椭圆上，∴54
922-+
a a ＝1，a 2＝15， ∴所求椭圆的方程为：10
152
2y x +
＝1．
答案：A
4、解析：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴sin α＞cos α，∵α∈(0， 2π
)，∴
4π＜α＜2π
．答案：C
5、解析：∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上，∴a 2－25＝42，a ＝
41．
由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝441．答案：D
6、解析：设顶点
A (x ，y )，则9466-
=+?-x y x y ，∴顶点A
的轨迹方程为
362
x ＋16
2y ＝1(x ≠±6)．答案：D
7、B 8 、C 二、填空题
三、解答题
16、解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：2
2
2
2b y a x +＝1(a ＞b ＞0)．
∵2a ＝100)35(0)35(2
2=+-+++，2c ＝6，
∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16．
∴所求椭圆的方程为：16
252
2y x +
＝1．
(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：2
2
2
2b x a y +＝1(a ＞b
＞0)．
∵2a ＝26，2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5．∴b 2＝a 2－c 2＝144．
∴所求椭圆方程为：1441692
2x y +
＝1．
17、策略：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a 、b 之值即可．
解：由??
?=+=+1122y x by ax 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝b a b +2，x 1x 2＝b a b +-1
∴|PQ |＝2
11+2
4)(212
21=-+x x x x b a b b a b +-?-+1
4)2(
2
＝2
222=+-+b
a ab
b a ∴ab b a -+＝a ＋b ①
又PQ 的中点C (b a b +，1－b a b +)，即C (b a b +，b a a +)
∴k OC ＝2
2==++b a b a b b a a
②
由①②得a ＝31，b ＝2 ∴所求椭圆方程为232
2y x +
＝1．
评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a ，b 表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方
程． 18、解：
{
22916144y x m x y =++=…… … … ①②
①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=
222(32)425(16144)57614400m m m ?=-?-=-+
当0,?=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0?>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0?<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离。
19、解：∵21PF F S △=21
｜PF 1｜〃｜PF 2｜sin∠F 1PF 2
∴只需求｜PF 1｜〃｜PF 2｜即可
解得｜PF 1｜〃｜PF 2｜=12
∴21PF F S △=21×12×3
=33
20
．
(
2
22
12x =+ 21、解：（1
）由已知c e a
==
，a ==5c =， 所以222452520m b a c ==-=-=
（2）根据题意2
1220ABF F F B S S == ，设(,)B x y ，则12
12
12
F F B S F F y = ，
12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程22
14520x y +=，得
3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为44
33
y x y x =
=-或 22、策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“点差法”．
解：据题意，此椭圆为焦点在y 轴上的标准形式的椭圆，设其方
程为22
2
2b x a y +＝1(a ＞b ＞0)
设直线l 与椭圆C 的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：
22
122
1b x a y +＝1，1
2
2
2
22
2=+b x a y 两式相减得：2
212122121)
)(())((b x x x x a y y y y -++
-+＝0 ∴)()
(212
2122121y y b x x a x x y y +-+=--
即3＝)1(1
22-?-?b a ∴a 2＝3b 2 ①
又因为椭圆焦点为F (0，50) ∴c ＝50
则a 2－b 2＝50 ② 由①②解得：a 2＝75，b 2＝25
∴该椭圆方程为25752
2x y +
＝1．