三角与平面向量综合
三角函数与平面向量综合复习题
1.（2009江苏卷）
设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-
（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;
（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b . 【解析】
2.已知O 为坐标原点，向量)1,(sin α=，),0,(cos α=),2,sin (α-=点P 是直线AB 上的一点，且=.
(1)求点P 的坐标（用α表示）；
(2)若C P O ,,三点共线，求以线段OB OA ,为邻边的平行四边形的对角线长；
(3)记函数CA BP f ?=)(α，且5
2
3)2
(=
θ
f ，求θ2sin 的值。 (4)记函数BP f =)(α?,),2
,8(π
πα-
∈讨论函数)(αf 的单调性，并求其值域．
【知识点】向量的数量积公式；向量的坐标表示；二倍角公式；函数的单调性与值域.
【答案】（1）()
2cos sin ,1a a --（2（3）,,88p p
a 骣琪?琪桫函数单调递增；,,82p p a 骣琪?琪桫
函数单调递减. 值域为(
-.
【解答】（1）设点P 的坐标为(),x y ，则()cos sin ,1AB a a =--，()
cos ,BP x y a =-， AB BP =，cos sin cos ,1x y a a a \-=-=-
\2cos sin ,1x y a a =-=-，\点P 的坐标为()2cos sin ,1a a --
（2）由C P O ,,三点共线知：//OP OC ,\
()()()1sin 22cos sin a a a --=?，
\sin 4tan cos 3a a a =
=，\2222sin cos 2tan 24
2sin cos sin cos tan 125
a a a a a a a a ===++，
\(sin OA OB +=
=
\(sin OA OB -=
所以以线段OB OA ,. （3）（文科）
()()cos sin ,1,2sin ,1BP CA a a a =--=-，
()()
2sin cos sin 1sin 2cos 224f p
a a a a a a a 骣琪=-+=++琪
桫
又3
sin 25454
5f q p p q q 骣骣骣琪琪琪=\+=\+=琪
琪琪
桫桫桫 27
sin 2cos 2cos 212sin 24425
p p p q q q q 轾骣骣骣犏琪琪琪=-+=-+=--+=-琪琪琪犏桫桫桫臌
（3）（理科）
()()cos sin ,1,2sin ,1BP CA a a a =--=-，
()()
2sin cos sin 1sin 2cos 224f p
a a a a a a a 骣琪=-+=++琪
桫 5,,20,
8244
p p p
p
a a 骣骣琪琪?\+ 琪
琪
桫桫， 20,42p p
a 骣琪\+ 琪
桫，即,,88
p p a 骣琪?琪桫函数单调递增； 52,
424
p p p
a 骣琪\+ 琪桫即,,82p p a 骣琪?琪桫
函数单调递减.
且(
sin 22,424p p
a a 纟骣骣?ú琪琪+?+?琪琪?ú桫桫棼
()f a 的值域为(
-
1、已知向量→
a = (cos 3x 2,sin 3x 2)，→
b = (cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0,π2
]，
求：①→a ·→b 及|→a ＋→b |；②若f (x )= →a ·→b －2λ|→a ＋→
b |的最小值是－32，求λ的值。
解析：①→a ·→
b = cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x 2=cos2x ；
|→a ＋→
b |=(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2
)2=2＋2cos2x =2cos 2
x
∵x ∈[0,
2
π] ∴cos x ＞0 ∴|→a ＋→
b |=2cos x ②f (x ) = cos2x －4λcos x 即f (x ) =2 (cos x －λ)2
－1－2λ2
∵x ∈[0,π
2
] ∴0≤cos x ≤1
⑴当λ＜0时，当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾。 ⑵当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2
，由已知
－1－2λ
2
= － 32 ，解得λ= 12
。
⑶当λ＞1时，当且仅当cos x =1时，f (x ) 取得最小值1－4λ， 由已知得1－4λ=－32 ，解得λ = 5
8 ，这与λ＞1相矛盾；
综上所述，λ = 1
2
即为所求
1. 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与
向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2
B ＋cos
C －3B 2
的最大值.
【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin 2
A ＝34，
又A 为锐角，所以sinA ＝
32，则A ＝π3
. （Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝2sin 2
B ＋cos (π－π
3－B)－3B
2
＝2sin 2
B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32
sin2B
＝
32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π
6
)＋1. ∵B∈(0，π2)，∴2B－π6∈(－π6，5π6)，∴2B－π6＝π2，解得B ＝π
3，y max ＝2.
2.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A
2)，
→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m ·→n ＝1
2
．
（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值． （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．
【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.
【解】 （Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m ·→n ＝1
2
，
∴－cos 2A 2＋sin 2A
2＝12，即－cosA ＝12
，
又A∈(0，π)，∴A＝2π
3
.
又由S △ABC ＝1
2
bcsinA ＝3，所以bc ＝4，
由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3
＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2
，故b ＋c ＝4.
（Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin
2π3
＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π
3
，
∴b＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π
3
)，
∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π
3
)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].
[点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若→AB
·→AC ＝→BA ·→BC ＝k(k∈R). （Ⅰ）判断△ABC 的形状；
（Ⅱ）若c ＝2，求k 的值．
【解】（Ⅰ）∵→AB ·→AC ＝bccosA ，→BA ·→BC ＝cacosB ，
又→AB ·→AC ＝→BA ·→BC ，∴bccosA＝cacosB ，
∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A－B)＝0 ∵－π＜A －B ＜π，∴A－B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b a =，∴→AB ·→AC ＝bccosA ＝bc·b 2＋c 2－a 22bc ＝c
22，
∵c＝2，∴k＝1.
4.已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m ·→n ＝1，且A 为锐角.
(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
【解】(Ⅰ)由题意得→m ·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝1
2
，
由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π
3
.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2
x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32
，
因为x ∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f (x )有最大值3
2
．
当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，3
2
]．
5.在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)， →n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6
)的值．
【解答】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cosA ＝0，即2cos 2
A ＋cosA －1＝0，
∴cosA＝1
2
或cosA ＝－1.
∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A＝π
3
.
(Ⅱ)∵b＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝3
2
，
∵B＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝3
2，
∴
32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π
6)＝32
．
6．已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （3cos α，3sin α）.
（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小；
（Ⅱ）若→AC
⊥→BC ，求2sin 2
α＋sin2α1＋tan α
的值． 【解答】（Ⅰ）由已知得：(3cos α－4)2
＋9sin 2
α＝9cos 2
α＋(3sin α－4) 2
，则sin α＝cos α，
因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π
4
.
（Ⅱ）由(3cos α－4)·3cos α＋3sin α·(3sin α－4)＝0，得
sin α＋cos α＝34，平方，得sin2α＝－7
16
.
而2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2αcos α＋2sin αcos 2
αsin α＋cos α＝2sin αcos α＝sin2α＝－716
．
7．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ．
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)当y ＝2sin 2
B ＋sin(2B ＋π6
)取最大值时，求角B 的大小.
【解答】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，
由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0
∴2sinBcosA－sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0，
∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π
3
.
(Ⅱ)y＝2sin 2
B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6
＝1＋
32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π
6
). 由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π
6
，
∴当2B －π6＝π2，即B ＝π
3时，y 取最大值2.
8．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；
（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x∈[－π4,π
4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
【解答】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，
∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2
x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x 2＝0，
即sin2x ＋cos2x ＝－3，
∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π
4)|≤2矛盾，
故向量→a 与向量→b 不可能平行．
（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos 2
x －sin 2
x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(
22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4
)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，f(x)有最大值2；
当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π
4时，f(x)有最小值－1．
2.（山东卷）已知向量
5
2
8),2,(),cos ,sin 2()sin ,(cos =
+ππ∈θθθ-=θθ=和，
求)8
2cos(
π
+θ的值. 解法一：
)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+n m
22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+n m
)sin (cos 224θ-θ+=
)4cos(44π+θ+=
)4
cos(12π
+θ+=
5
2
8=，得257)4cos(=π+θ
又1)8
2(cos 2)4cos(2-π
+θ=π+
θ 所以25
16)82(cos 2=π+θ 0)8
2cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 5
4
)82cos(-=π+θ∴
解法二：
n m n m n n m m n m n m
?++=+?+=+=+22)(22222
]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin 2(()sin cos (2
2
2
2
2
2
2
θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ= )8
2(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+
θ+=θ-θ+=
5
28=
，得54
)82cos(=π+θ
0)8
2cos(898285,2<π
+θ∴π<π+θ<π∴
π<θ<π 54
)82cos(-=π+θ∴
3．（江西卷） 已知向量x f x x x x ?=-+=+=)()),4
2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos
2(令π
ππ. （1）求函数f (x )的最大值，最小正周期； （2）将)(x f 上的每点的横坐标缩短为原来的
31，再将所得图像向右平移3
π
个单位得到)(x g 的图像 求)(x g 的解析式，并求其在],0[π上的单调区间.
【解答】)4
2tan()42tan()42sin(2cos
22)(πππ-+++=?=x x x x b a x f
21tan tan 1
22)2221tan 1tan 22
2sin cos 2cos 1
222
x x x x x x x
x x x +-=++?-+=+-
x x cos sin +==)4
sin(2π
+
x .
所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为π2.
4．（2004. 福建理）
设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R. （Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－
3π，3
π
]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.
【解答】（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2
x +3sin2x =1+2sin(2x +
6
π). 由1+2sin(2x +
6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－2
3
. ∵-
3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤6
5π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π
. （Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)
的图象.
由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1.∵|m|<2π，∴m=-12
π
，n=1.
5.（湖北卷）
设函数()()f x a b c =+，其中向量(sin ,cos )a x x =-，(sin ,3cos )b x x =-，(cos ,sin )c x x =-，
x R ∈。
（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d 。 【解答】
(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)
＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+
4
3π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是
2
2π
＝π. （Ⅱ）由sin(2x+
43π)＝0得2x+4
3π
＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，
于是d ＝（
832ππ-k ，－2），,4)8
32(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―
8
π
，―2）即为所求. 6、设→a =（1＋cos α,sin α）、→b =（1－cos β, sin β）、→c =（1,0），
α∈（0,π），β∈（π,2π），→a 与→c 的夹角为θ1，→b 与→
c 的夹角为θ2， 且θ1－θ2=
6
π，求sin α－β
4 的值.
【解答】|→a | = (1＋cos α)2＋sin 2α = 2cos α2 ，|→b |= (1－cos α)2＋sin 2
α = 2sin β2
|→c | =1，又→a ·→c =1＋cos α= 2 cos 2α2 →b ·→c = 1－cos β = 2cos 2β
2
∴cos θ1= →
a ·→
c
|→a | |→c | = cos α2 cos θ 2 = →b ·→
c |→b | |→c |
= sin β
2
∵
α2 ∈(0,2
π) ∴θ 1 = α2 又β∈(π,2π) ∴
β2∈(2π,π) 即0＜β
2－2π＜2
π 由cos θ 2 = sin β2 = cos (β2－2π)，得θ2= β
2－2
π
由θ1－θ 2 =6π 得α2－( β2－2π) =6π ∴α－β2 =－3π α－β4 =－6π
∴sin
α－β4
=sin(－
6
π)=－1
2
点评：本题是以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的有关知识。
7、已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，→
a =cos A －B 2i ＋52sin A ＋B 2
j ，其中i 、j 为相互垂直的单位向量，若
|→
a | = 3 2 4
，求tanA ·tanB 之值.
解析：|→a | = (cos A －B 2i ＋52sin A ＋B 2j )2=cos 2 A －B 2＋54 sin 2 A ＋B
2
=
1＋cos(A －B)2 ＋54 1－cos(A ＋B)2 = 98
即4cos(A －B)=5cos(A ＋B)
∴4cosAcosB ＋4sinAsinB=5cosAcosB －5sinAsinB 即9sinA ·sinB=cosAcosB ≠0 ∴tanA ·tanB = 1
9
8. （四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，向量()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ?= （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若
221sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan C
解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵1m n ?= ∴(()cos ,sin 1A A -?= cos 1A A -=
12sin cos 12A A ??-?= ? ???
, 1sin 62A π??-= ??? ∵50,666A A π
π
ππ<<-
<-
<
∴66
A ππ-= ∴3A π=
（Ⅱ）由题知22
12sin cos 3cos sin B B B B
+=--，整理得22
sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2
tan tan 20B B --=
∴tan 2B =或tan 1B =-
而tan 1B =-使22
cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2
B =
∴()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-== 1．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),(3cos ,
cos 2)(0)3
A
m x n A x x A ==>,函数()f x m n =?的最大值为6.
(Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12
倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24
π
上的值域.
析:(Ⅰ)??? ?
?+=+=+
=?=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f , 则6=A ;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6
)12(2sin[6π
π++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)3
4sin(6)(π
+=x x g .
当]245,0[π∈x 时,]1,2
1
[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24
π
上的值域为]6,3[-. 2．（2012年高考（湖北理））
已知向量
(c o s
s i n x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数
()f x λ=?+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1
(,1)2ω∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π
(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.
【解答】(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+
cos22x x ωωλ=-+π
2sin(2)6x ωλ=-+.
由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得π
sin(2π)16ω-=±,
所以ππ2ππ()62k k ω-
=+∈Z ,即1
()23
k k ω=+∈Z . 又1
(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.
所以()f x 的最小正周期是
6π
5
. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π
()04
f =,
即5πππ
2sin()2sin 6264
λ=-?-=-=,即λ=
故5π
()2sin()36
f x x =-
由3π05x ≤≤
,有π5π5π6366
x -≤-≤,
所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π
12sin()236x --
故函数()f x 在3π
[0,
]5
上的取值范围为[12-. 17．（2012天津改编）
已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值． （Ⅱ）若()065f x =
，0,42x ππ??
∈????
．求0cos 2x 的值．
【解】（Ⅰ）由()2cos 2cos 1f x x x x =+-得
())()
22sin cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π?
?=+-=+=+ ??
?．
所以函数的最小正周期为22T ππ=
=．因为0,2x π??
∈????
，所以72,666x πππ??+∈????． 所以2,662x π
ππ??+
∈????，即0,6x π??∈????时，函数()f x 为增函数，而在,62x ππ??
∈????
时，函数()f x 为减函数，所以2sin 262f ππ??
==
???
为最大值，72sin 126f ππ??
===- ???
为最小值． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()002sin 26f x x π?
?
=+
??
?
，又由已知()065f x =
，则03sin 265x π?
?+= ??
?． 因为0,42x ππ??∈?
???，则0272,636x πππ??+∈????，因此0cos 206x π?
?+< ??
?，
所以04cos 265x π?
?
+
=- ??
?，于是00cos 2cos 266x x ππ????=+- ????
???，
00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ???
?=+++ ? ????
?431552=-+?=．
平面向量与解三角形
第八单元平面向量与解三角形 (120分钟150分) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为 A.B.C.D. 解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=. 答案:A 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.u⊥v B.v∥w C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v 解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v. 答案:C 3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A.B.C.D. 解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=. 答案:D 4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于 A.—4 B.0 C.4 D.8 解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以 ·=4×2×=4. 答案:C 5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C.D.-
解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立. 答案:C 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则 a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于 A.B.C.D. 解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=, 因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=. 答案:A 8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 答案:C 9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所 以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形. 答案:B 10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是
(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案
第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝1 3，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79 D.－89 解析 cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×? ????132 ＝7 9 . 答案 B 2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2 4 ， 则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D. π6 解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2 ＋b 2 －c 2 4，所以sin C ＝a 2 ＋b 2 －c 2 2ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4 . 答案 C 3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________. 解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2× 3 27＝21 7.由 余弦定理a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A 可得c 2 －2c －3＝0，所以c ＝3. 答案 21 7 3 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接 CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.
高中数学三角函数平面向量解三角形练习题必修4
三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分，共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为（ ） A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．ο30 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5 4cos -=α，则m 的值为（ ） A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈，则函数()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于（ ） A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ． 2 π 8.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 （A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49 （ ）
高考数学向量与三角不等式等
第19讲：向量与三角、不等式等知识综合应用 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之 一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2 π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ C ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ D ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量 = (1，sin θ)，= (1，cos θ)，则 | - | 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2 π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点， M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦 值为1517
平面向量与三角形三心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=? AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ B C D B C D
三角函数、平面向量综合题六类型
三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 .
讲义平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D
向量与三角
高三一轮复习第二阶段 高考题专项训练（三）----平面向量、三角部分 说明：注明文科的题目只文科做，注明理科的题目只理科做，不注明的文理都做 一、选择题 1.(2009年广东卷)已知平面向量a =,1x （） ，b =2 ,x x （－）， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状 态．已知1F ，2F 成0 60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 3.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0?=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) . A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4.（2009浙江卷）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77 (,) 93 --5.（2009北京卷）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 6.（2009北京卷）设D 是正123PP P ?及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ?的中心，若集合 0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域 C ． 五边形区域 D ．六边形区域 8.(2009山东卷)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 9.（2009全国卷Ⅱ）已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= （A ）5 （B ）10 （C ）5 （D ）25 10.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 ()()a c b c -?-的最小值为 ( ) （A ）2- （B ）22- （C ）1- (D)12- 11.(2009湖北卷理)已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是 两个向量集合，则Q P ?= A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 12.（2009全国卷Ⅱ）已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=，则||b = A. 5 B. 10 C.5 D. 25 13.（2009辽宁卷）平面向量a 与b 的夹角为0 60，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A 3 (B) 3 (C) 4 (D)12 14.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 （A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 15.（2009湖北卷）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
三角函数与平面向量(好)
三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C
有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,
平面向量与三角函数教案
平面向量与三角函数教案
1 第十讲 平面向量及其应用 例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中， ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内 运动，（含边界）， 设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围 是 . 例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1 S ，△ABC 的面积为2 S ， AP pPB =u u u r u u u r ， AQ qQC =u u u r u u u r ， 则（ⅰ）pq p q =+ ， （ⅱ）12 S S 的取值范围是 .
例1. 在 ABC V 中， 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________． 例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________． 例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ， b ， c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b +的取值范围是____________． 例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________． 例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心， 则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r ， 则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________． 例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________． 例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的 夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°，且 1 OA OB ==u u u r u u u r ， 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则 λμ +的值为_________． A O B x y 1 23 5.0- 3 -
三角函数及平面向量知识点总结
三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）
11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx
14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。
必修4《三角函数和平面向量》
必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边在第一象限的角是锐角 D ．终边在第二象限的角是钝角 2．cos(2640)sin1665-+=o o （ ）． A ．122+ B ．122+- C ．132+ D ．13 2 +- 3．已知角α的终边过点(43)P m m -，，(0)m ≠，则ααcos sin 2+的值是（ ） ． A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4．已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ，则a b -r r 的值为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为（ ） ． A ．23π B ．3 π C ．8 D ．4 6．函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示， 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）． A ．2 B ．22+ C ．222+ D ．222-- 7．设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ）． A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = 8．判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为（ ）． A ．非奇非偶函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．既奇又偶函数 9．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3 x π =对称；③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是（ ）． A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos(2)6 y x π =- 10．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的
高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习
解三角形，平面向量与三角形的综合练习 一、填空题 1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120o ，且4==a b ，那么g a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则b a +=_____________________. 4． )6cos()(π ω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则=ω 5．b a ρ?,的夹角为ο 120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r 6．若BC AC AB 2,2= =，则ABC S ?的最大值 7．设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 9．若向量a r ，b r 满足1 2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3 π，则a b +=r r ． 10．若3 sin()25 πθ+=，则cos2θ=_________。 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos 。 12已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g ，则||b r 的取值范围是 。 13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx
平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证： 0=++???OC S OB S OA S C B A 如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则 B C COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===??????? 图1 = OD BC DC OB +BC BD OC =C B B S S S +OB +C B C S S S +OC C B A COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++== = 图2 ∴ C B A S S S OD +- =OA ∴C B A S S S +- OA = C B B S S S +OB +C B C S S S +OC ∴0=++???OC S OB S OA S C B A 推论O 是ABC ?内的一点，且 0=++???OC OB OA z y x ，则 z y x S S S AOB COA BOC ::::=??? O A B C D O A B C
有此定理可得三角形四心向量式 O 是ABC ?的重心 ?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA O 是ABC ?的内心 ?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a O 是ABC ?的外心 ?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC C OB B OA A O 是ABC ?的垂心 ?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A 证明：如图O 为三角形的垂心，DB CD B AD CD A == tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB : ∴B A S S COA BOC tan :tan :=?? 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan :=?? ∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
三角函数与平面向量综合题的六种类型
第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．
专题复习解三角形与平面向量
专题复习 解三角形与平面向量 1．三角形的有关公式： (1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sin A ＋B 2 ＝ (2)正弦定理： (3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝1 2 r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)． 2．平面向量的数量积 a · b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件． 3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ?a ＝λb ? ＝0；(4)a ⊥b ?a ·b ＝0?|a ＋b |＝|a －b |? ＝0. (5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论 (1)PA →＋PB →＋PC →＝0?P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA → ?P 为△ABC 的 ； (3)向量λ? ?? ???AB →|AB → |＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|?P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形 例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π 4，则△ABC 的面积为( )A ．1 ＋ 33 ＋1 C ．1－3 3 －1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝ 3 2 ，且b