当前位置：文档库 › 2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题3.1 导数的概念及运算(解析版)

2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题3.1 导数的概念及运算(解析版)

第三篇导数及其应用专题3.01导数的概念及运算

【考试要求】

1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；

2.体会极限思想；

3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

，y ＝x 的导数；

5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；

6.会使用导数公式表. 【知识梳理】

1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0

lim x ?→

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy

Δx 为函数y ＝

f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim

x ?→Δy

Δx ＝0

lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .

(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数

如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.

3.导数公式表

4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).

5.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 【微点提醒】

1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.

2.????1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2

. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】

(1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.

【教材衍化】

2.(选修2－2P19B2改编)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3

C.9

D.15

【答案】 C

【解析】因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9.

3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－

4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2. 【答案】－9.8t ＋6.5 －9.8

【解析】 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 【真题体验】

4.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2 B.1

C.ln 2

D.e

【答案】 B

【解析】 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1

＝2 019＋ln x .

由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.

5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 【答案】 e

【解析】由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1

，则f ′(1)＝e.

6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1

x 在点(1，2)处的切线方程为________.

【答案】 y ＝x ＋1

【解析】设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1

x 2，

所以f ′(1)＝2－1＝1，

所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1. 【考点聚焦】考点一导数的运算

角度1 根据求导法则求函数的导数【例1－1】分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ????x 2＋1x ＋1x 3； (3)f (x )＝ln

1＋2x .

【答案】见解析

【解析】(1)y ′＝(e x

)′ln x ＋e x

(ln x )′＝e x

ln x ＋e x x

＝e x ??

??ln x ＋1x . (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3.

(3)因为y ＝ln

1＋2x ＝1

ln ()1＋2x ，

所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝1

1＋2x .

角度2 抽象函数的导数计算

【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1

x ，则f (1)＝( ) A.－e B.2

C.－2

D.e

【答案】 B

【解析】由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1

x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)

＝2.

【规律方法】

1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求

导.

2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x

2，则y ′＝________.

(2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 【答案】 (1)1－1

2cos x (2)－4

【解析】 (1)因为y ＝x －1

sin x ，

所以y ′＝????x －12sin x ′＝x ′－????12sin x ′＝1－1

2cos x . (2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，

∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 考点二导数的几何意义角度1 求切线方程

【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2x

D.y ＝x

【答案】 D

【解析】因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 角度2 求切点坐标

【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横

坐标为( ) A.3

B.2

C.1

D.1

(2)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1

x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为

________.

【答案】 (1)A (2)(1，1)

【解析】 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，

∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝1

，

解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，

∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.

设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1

x (x >0)在点P 处的切线的斜

率k 2＝－1

x 20

，

由题意知k 1k 2＝－1，即1·???

?－1x 20

＝－1，解得x 2

0＝1，又x 0>0，∴x 0＝1. 又∵点P 在曲线y ＝1

x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).

角度3 求参数的值或取值范围

【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)

D.(0，＋∞)

(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋a

x ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，

则a －b ＝________. 【答案】 (1)B (2)－8

【解析】 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1

x .

因为x ＞0，所以2－1

＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).

(2)f ′(x )＝1－a

2，∴f ′(1)＝1－a ，

又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，

根据题意有?????1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得?????a ＝－1，

b ＝7，

∴a －b ＝－1－7＝－8.

【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.

2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0) B.(1，－1)

C.(－1，1)

D.(1，－1)或(－1，1)

(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 【答案】 (1)D (2)y ＝2x

【解析】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，

可列方程组?????x 30＋ax 20＝－x 0， ①

3x 20＋2ax 0＝－1， ②

解得?

????x 0＝1，a ＝－2或?????x 0＝－1，

a ＝2.

当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.

∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).

(2)由题意得y ′＝2

x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的

切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 【反思与感悟】

1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.

2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.

3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. 【易错防范】

1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝sin x ；③复合函数求导分不清

内、外层函数.

2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. 【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题

1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3x ln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.????cos x x ′＝x sin x －cos x x 2

D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x 【答案】 C

【解析】因为????cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2

，C 项错误.

2.(2019·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2 B.e

C.ln 2

D.ln 2

【答案】 B

【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 3.函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( ) A.y ＝x B.x ＝0 C.y ＝0

D.不存在

【答案】 C

【解析】函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0.

4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝1

3t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的

时刻是( ) A.1秒末 B.1秒末和2秒末 C.4秒末

D.2秒末和4秒末

【答案】 D

【解析】 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.

5.(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7 B.4

C.0

D.－4

【答案】 A

【解析】 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，

∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.

6.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1e

B.2e －1

C.e －12e

D.2e －12e

【答案】 B

【解析】 ∵y ′＝a e x ＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行， ∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1

7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )

【答案】 D

【解析】由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；

又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

8.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2

D.1＋ln 2

【答案】 D

【解析】由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)

既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴?????y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，

∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0

＋2x 0，则ln x 0＋2

x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1. 二、填空题

9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________. 【答案】 (－2，9)

【解析】由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2， ∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9).

10.(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________. 【答案】 1

【解析】 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1

x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y

－a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.

11.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________. 【答案】－9

【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1

，

所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋9

2，

所以f ′(2)＝－9

12.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 【答案】 6x －y －5＝0

【解析】由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，

∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.

【能力提升题组】(建议用时：15分钟)

13.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1

x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，

则ab ＝( ) A.1 B.0

C.－1

D.－2

【答案】 D

【解析】由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1

a 2，故切线方程是y －

a －1a －

b ＝????1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝????1－1a 2(－a )，故b ＝－2

a ，故a

b ＝－2.

14.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 [－2，－1]

【解析】当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，

由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得

f （x 1）－f （x 2）

|x 1－x 2|

≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足

|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则

有?????|a |≤2，

|a ＋3|≤2，

解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 15.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 【答案】

【解析】设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1

x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，

∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离，

即为

|1－0|1＋1

＝22

16.若函数f (x )＝1

2x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.

【答案】 [2，＋∞)

【解析】 ∵f (x )＝1

2x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，

∴f ′(x )＝x －a ＋1

∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1

－a ＝0有解，

∴a ＝x ＋1

x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).

【新高考创新预测】 17.(新定义题型)

定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.

定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－3

2x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________.

【答案】 ???

2，＋∞ 【解析】因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >1

2，

故x 的取值范围是????12，＋∞.

导数的概念及运算

导数的概念及运算一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所

以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0

课时1导数的概念及运算

课时1 导数的概念及运算课时目标：了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，2 y x =， 1 y x = 的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理： 1.导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作 . (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝ . 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝ f (x )＝x α(α为常数) f ′(x )＝ f (x )＝sin x f ′(x )＝ f (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ f (x )＝ln x f ′(x )＝ f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝

北师大文科数学高考总复习练习：导数的概念及运算含答案

第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设y＝x2e x，则y′＝ () A．x2e x＋2x B．2x e x C．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x 解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x. 答案 C 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 () A．－e B．－1 C．1 D．e 解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B 3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 () A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0. 答案 C 4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为

() A．e B．－e C.1 e D．－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x ＝x0＝1 x0 ，切线方程为y－ln x0＝1 x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0 ＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e. 答案 C 5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x sin x在点? ? ? ? ? π 2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0 平行，则实数a等于 () A．－1 B.1 2 C．－2 D．2 解析∵y′＝－1－cos x sin2x ，∴＝－1. 由条件知1 a ＝－1，∴a＝－1. 答案 A 二、填空题 6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 解析因为y′＝2ax－1 x ，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2. 答案1 2 7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x) 在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

苏教版导数的概念及运算

导数的概念及运算一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案－1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.

导数的概念及运算专题训练

导数的概念及运算专题训练基础巩固组 1.已知函数f(x)=+1,则--的值为() A.- B. C. D.0 2.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于() A.2 B.0 C.-2 D.-4 3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0 4.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B. C. D. 5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3 6.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为() 7.一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为s=t3-6t2+32t,则速度为0的时刻是() A.4 s末 B.8 s末 C.0 s末与8 s末 D.4 s末与8 s末 8.函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则=. 9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为. 10.已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=. 11.函数f(x)=x e x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是. 12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 综合提升组 13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(- 1)=() A. B.- C. D.-或 15.直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.

高三数学一轮复习——导数的概念及运算

高三数学一轮复习——导数的概念及运算考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知识梳理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 3.导数公式表基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0

导数的概念及运算

导数的概念及运算、选择题 1.设曲线y= e ax—ln( x + 1)在x = 0处的切线方程为 1 解析??? y= e ax—ln( X+ 1) , ? y，= ae ax—x+1, ???曲线y= e ax—ln( X+ 1)在x = 0处的切线方程为即a= 3.故选D. 答案 D 2.若f(x) = 2xf' (1) + x2，则 f ‘ (0)等于( ) A.2 B.0 C. — 2 D. —4 解析??? f ‘ (x) = 2f ‘ (1) + 2x，?令x = 1,得 f ‘(1) = —2, (0) = 2f ‘ (1) = — 4. 答案 3.(优质试题?西安质测)曲线f(x) = x3—x + 3在点P处的切线平行于直线y = 2x —1,则P点的坐标为( ) A.(1 , 3) B.( —1, 3) C.(1 , 3)和(一1, 3) D.(1 , —3) 解析 f ‘(X)= 3x2—1,令 f ' (x) = 2,则3x2—1= 2,解得x = 1 或x =—1, ? P(1 , 3)或(一1, 3)，经检验，点(1 , 3), ( —1, 3)均不在直线y = 2x— 1 上, 故选C. 答案 C 4.(优质试题?石家庄调研)已知曲线y= In x的切线过原点，则此切线的斜率为() A.e B. — e 1 c.- e 1 D.—- e 1 解析y = In x 的定义域为(0,+x)，且y‘= x，设切点为(X o, In X o)，则 2x —y + 1= 0,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ???当x = 0 时，ya— 1. 2x—y+ 1 = 0,.?. a— 1 = 2,

导数的概念与计算练习题带答案

导数的概念与计算练习题带答案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-

导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -

专题1.导数的概念及其运算

导数的概念及其运算考纲导视（一）考纲要求： 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 1的导数． 4．能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数]的导数. （二）考纲研读： 1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数记为f ′(x 0)，它表示y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处切线的斜率，即k ＝ f ′(x 0)．导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义． 2．对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形式，再进行求导. 基础过关（一）要点梳理： 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率：函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为fx 2－fx 1x 2－x 1 ，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数: (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 s ＝s (t )，那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度 v ＝s ′(t 0)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v ＝v (t )，则该物体在时刻 t 0 的瞬时加速度为 a ＝v ′(t 0)。 3．函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )＝lim Δx →0 fx ＋Δx －fx Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)????fx gx ′＝f xgx －fxg x g 2x (g (x )≠0)．

导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

导数的概念与运算知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1、导数的概念设函数()x f y =在0x x =附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限，即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数()x f y = 在0x x =处的导数，记作()0x f '或.0 x x y =' 即 ()()()()().0 00000 0lim lim lim 0x x x f x f x x f x x f x y x f x x x x --=?-?+=??='→→?→? 2、导数的几何意义函数()x f y =在0x 处的导数()0x f '，表示曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线PT 的斜率，即 ()0tan x f '=α，其中α为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点P 的切线方程为()(). 000x x x f y y -'=-同样，可以定义曲线()x f y =在0x x =的法线为过点()()00,x f x P 与曲线()x f y =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为=-0y y () ()()().01 0≠'-'- x f x x x f 3、导数的物理意义:设0=t 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().t S S =在10~t t 时刻，车走了()(),01t S t S -这一段时间里车的平均速度为()() ,0 101t t t S t S --当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令~1t 0t ，则可以认为 ()()0 101lim 1t t t S t S t t --→，即()0 t S '就是0t 时刻的瞬时速度.

导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算一，导数的概念 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数 ()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? ()2求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+= ??)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ??→?0lim 3.导数的几何意义：导数0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0 x x y =' 就是函数)(x f y =在开区间),(b a )) ,((b a x ∈

导数的概念及运算复习讲义

导数的概念及运算要点梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为______________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率______________＝____________为函数y ＝f (x )在 x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝________________. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点______________处的____________．相应地，切线方程为________________． 3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝____________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 5.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)????f (x )g (x )′＝__________ (g (x )≠0)．注意： 1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；

(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测 1．(课本改编题)f ′(x )是函数f (x )＝1 3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________． 2．(课本精选题)如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是 y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 4．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于 3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 5．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1 2 ，则切点的横坐标为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D.1 2 题型分类题型一利用导数的定义求函数的导数例1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．探究提高求函数f (x )平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； ②计算平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1 x ＋2. 题型二导数的运算例2 求下列各函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ? ???x 2＋1x ＋1x 3；

导数的概念及运算

导数概念及其意义自主梳理 1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－ y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________． (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．导函数y ＝f ′(x )的值域即为_切线斜率的取值范围． 3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________． 4．基本初等函数的导数公式表原函数导函数 f (x )＝C f ′(x )＝______ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝______ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝__________ F (x )＝cos x f ′(x )＝____________ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝____________(a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝__________(a >0， a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝__________ 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )g (x )]′＝______________； (3)????f (x )g (x )′＝______________ [g (x )≠0]．

导数的概念及运算

第15讲导数的概念及运算 1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为(C) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) x >0，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0，所以x ∈(2，＋∞)． 2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(B) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )k A ，即f ′(x A )1，即tan α>1，又α∈(0，π2)，所以α∈(π4，π2 )． 5．(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 1 . 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1. 又因为f (1)＝a ，所以切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．

5导数的概念与运算(能力)

导数的概念与运算【知识要点】 ⒈导数的概念及其几何意义 ⒉你熟悉常用的导数公式吗？ ⒊导数的运算法则： ⑴两个函数四则运算的导数 ⑵复合函数的导数：x u x u y y '· ''=． 4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗？【典型例题】例1.导数的概念题 1．在曲线y =x 2 +1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则 x y ??为（） A .△x + x ?1+2 B .△x －x ?1－2 C .△x +2 D .2+△x －x ?1 2.一质点的运动方程为s=5－3t 2 ，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为（） A . 3△t +6 B . －3△t +6 C . 3△t －6 D . －3△t －6 3.曲线2 4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦 AB ，则点P 的坐标为（） A.(1,3) B.(3,3) C.(6,12)- D.(2,4) 4.若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（） 5.曲线3 2 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 6.已知()23f '=,则()() 222lim n f x f x →+∞ --= C.

例2．（1）设函数2 ()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-；（2）设函数32 ()25f x x x x =-++，若0()0f x '=，求0x 的值．（3）设函数()(2)n f x x a =-，求()f x '．例3.曲线C ：3 2 y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；

导数的概念及运算

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数的概念及运算 1．导数与导函数的概念 (1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝1 x ln a 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题3.1 导数的概念及运算(解析版)

导数的概念及运算

课时1导数的概念及运算

北师大文科数学高考总复习练习：导数的概念及运算 含答案

苏教版 导数的概念及运算

导数的概念及运算专题训练

高三数学一轮复习——导数的概念及运算

导数的概念及运算

导数的概念与计算练习题带答案

导数的概念、几何意义及其运算

专题1.导数的概念及其运算

导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算复习讲义

导数的概念及运算

导数的概念及运算

5导数的概念与运算(能力)

导数的概念及运算

最新导数的概念及运算

北师大文科数学高考总复习练习：导数的概念及运算含答案

苏教版导数的概念及运算