线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量

一．内容提要

1 . 特征值和特征向量

定义1 设()

ij

n n

A a ?=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上

的非零n 维列向量X ，使得

则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）()

ij

n n

A a ?=是方阵；

2）特征向量 X 是非零列向量；

3）方阵 ()

ij

n n

A a ?= 与特征值

λ 对应的特征向量不唯一

4）一个特征向量只能属于一个特征值.

2．特征值和特征向量的计算

计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；

（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。 对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.

3． 特征值和特征向量的性质

性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；

（2）若12,,,s X X X L 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合

1122s s k X k X k X +++L 也是A 属于λ的特征向量；

（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则

λ

1是A —

1的一个特征值，λ||A 是

A *的一个特征值；

（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0

为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。 性质2（1） nn n a a a +???++=+???++221121λλλ

（2） || 21A n =???λλλ

性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵T

A 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关

4. 相似矩阵

定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得

Ｂ＝P ―1ＡP

则称A 与B 相似。记作A ∽B . 并称P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是等价关系，满足：

1° 反身性：A ∽A .

2° 对称性：若A ∽Ｂ，则Ｂ∽A . 3° 传递性：若A ∽Ｂ，B ∽Ｃ 则 A ∽Ｃ.

5．矩阵相似的性质：

设A 、B 为n 阶矩阵，若A ∽B ，则 （1） A B =； （2） ()()R A R B =；

（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；

（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，1A -∽1B -；

（5）设f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ；

6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件

（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值λ恰好对应有k 个线性无关的特征向量.

注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身

（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

7．n 阶矩阵A 相似对角化的方法

（1）解特征方程

0E A λ-=，求出A 的全部特征值，12,,s λλλL ，设i λ是i n 重根

(1,2,)i s =L

（2）对每个特征值i λ，解齐次线性方程组()0i E A X λ-=，求得基础解系12,,,i i i in X X X L ； （3）令可逆矩阵1211121,21222,12(,,,,,,,,,,)s n n s s sn P X X X X X X X X X =L L L L 则

8.实对称矩阵的特征值和特征向量

8.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 （1） 实对称矩阵的特征值都是实数

（2） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的

（3） 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵Q ，使得1

T

Q AQ Q AQ

-=为对角阵

8.2 用正交变换法化实对称阵为对角阵的步骤

1） 解特征方程0A E λ-=求出对称阵A 的全部的特征值（根），12,,s λλλL ，设i λ是i n 重根(1,2,)i s =L ；

2）对每个特征值i λ，解齐次线性方程组()0i E A X λ-=，求得基础解系12,,,i i i in X X X L

3）将基础解系12,,,i i i in X X X L 正交单位化，得正交 单位向量组12,,,i i i in ηηηL 4）令可逆矩阵1211121,21222,12(,,,,,,,,,)s n n s s sn Q ηηηηηηηηη=L L L L

则 1

1

1T

s

s Q AQ Q AQ λλλλ-??

? ? ?==

? ? ? ? ??

?

O O

二．重点难点

⒈ 矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值与特征向量的定义、性质与求法；矩阵的特征值与迹、矩阵行列式的关系. 2． 相似矩阵与矩阵对角化

矩阵对角化的必要条件与充分条件；矩阵对角化的判定与对角化的方法；矩阵对角化的应用.

3． 实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，实对称矩阵正交相似于对角阵的化法.

三．学习要求

1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特

征向量的方法.

2. 理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件，

掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.掌握实对称阵化为正交相似对角阵的方法.

四．典型题分析

例1 设A 是四阶矩阵，已知30,2,0.T E A AA E A +==<则A 的伴随矩阵*

A 的一个特征值是___________

分析：考虑根据30E A +=可得A 的一个特征值，再根据A 与其伴随矩阵*

A 的关系即可求解.

解 由于30E A +=，于是有3λ=-是A 的一个特征值. 又由于2

2,0,16

4T AA E A A A =<==-所以

易知 由*AA A E =，所以3λ=-是A 的一个特征值，则

A

λ

是*A 的特征值，因此*A 的

一个特征值是

43

A

λ

=

例2 已知三阶矩阵A=00110100x ?? ?

? ???

有三个线性无关的特征向量，则参数x =____________

分析 三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，则A 可以对角化，可通过先求特征根中的重根再代入即可求得x 解 矩阵A 的特征多项式为 解得矩阵A 的特征值为

因为A 有３个线性无关的特征向量，所以A 可以对角化，则其二重根1λ=有两个线性无关的特征向量。于是(1)321R A E -?=-=，对1A E -?作初等变换，有 例３ 设矩阵 A 、B 均为n 阶矩阵，则矩阵A 与B 相似的充分条件是： (A) A 与B 有相同的特征值. (B) A 与B 有相同的特征向量. (C) A 与B 和同一矩阵相似.

(D)

k A 与k B 相似.

分析 A 与B 有相同的特征值不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵P ，使1P AP B -=

（ B ） 显然，易举反例 （C ）由相似的传递性可知正确

（D ）举反例：设0011,0011A B -????== ? ?-????

22

0,0A B ==显然22A B 与相似，

但是矩阵A 与B 不相似

解 选(A)

例4设矩阵15

6310a

c A c a -?? ?

= ? ?--??

，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值

0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求0,,,a b c λ的值 .

分析 本题可根据特征值和特征向量的定义求得未知参数.

解 根据题设可得：*

0A αλα=

两边同时左乘A 得 ：*

0AA A αλα= 即00A E A A αλα

λαα=?=-

所以有 由此可得： 解得：

由于1,A a c =-= 又得：2a c == 因此：01,3,2b a c λ==-==

例5：设矩阵1114335A x

y -?? ?

= ? ?--??

，已知A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角阵.

分析 根据A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，代入E A λ-，即可求出A 中未知参数。

解 因为A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，所以A 的属于2λ=的线性无关的特征向量必有2个 ，故秩 (2)1R E A -=

即：1

11111202333000x y x x y --???? ? ?---→--- ? ? ? ?-????

于是解得：2,2x y ==-

矩阵1112

42335A -??

?

=- ? ?--??

先求A 的特征值： 最后解得可逆矩阵：11112102,20136P P AP -????

? ?

=--= ? ? ? ?????

例6设n 阶矩阵

??????

?

?

?=111Λ

M M M ΛΛb b b b

b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;

(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. 解 (Ⅰ) ο1当0≠b 时，

＝1

)]

1(][)1(1[------n b λb n λ ,

得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12Λ． 对b n λ)1(11-+=，

解得T

ξ)1,,1,1,1(1Λ=，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T

k ξk )1,,1,1,1(1Λ= (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12， 得基础解系为

T ξ)0,,0,1,1(2Λ-=，T ξ)0,,1,0,1(3Λ-=，T n ξ)1,,0,0,1(,-=ΛΛ．

故A 的属于2λ的全部特征向量为

n n ξk ξk ξk +++Λ3322 (n k k k ,,,32Λ是不全为零的常数)．

ο2 当0=b 时，

n λλλλA E λ)1(1

010001

||-=---=

-ΛM M M Λ

Λ

,

特征值为11===n λλΛ，任意非零列向量均为特征向量．

(Ⅱ) ο

1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP Λ=，则

ο2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有

E AP P =-1．

【注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于综合性的题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.

例7

设12,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα是A 的属于12,λλ的特征向量，

试证明12αα+不是A 的特征向量.

分析 该结论用定义即可证明，为叙述方便运用反证法.

证明 用反证法。设12αα+是A 的属于特征值λ的特征向量，则

因为11,αα是属于特征值12,λλ的特征向量，且12λλ≠，则有：111,A αλα=222A αλα=代入上式，有：

于是 121122()λααλαλα+=+ 即 1122()()0λλαλλα-+-= 由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故

从而 12λλ= 与已知矛盾，所以12αα+不是A 的特征向量.

五．习题解析

习题7.1

1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1;

(2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2

2A E

A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1

（2）

2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明

3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解

所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)

4．求下列矩阵的特征值与特征向量.

（1）113012002-?? ?

? ???

（2）324202423?? ? ? ???

（3）???

?

? ??---122212

221 （4）212533102-?? ?- ? ?--??

解（1）

A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2）

将其代入()A E X λ-=0，求得特征向量：

1211211001X k k λ??- ?-?? ? ?=-=+ ? ?

? ?

?? ?

??

时，，12,k k 不全为零

解（3）

代入()A E X λ+=0，求得特征向量：

A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ，(k ≠0)；A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ，(k ≠0)；A 属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ，(k ≠0)

解（4）

特征值为-1，-1，-1；A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ，(k ≠0) 解（5）

设λ为A 的任一特征值，A 的属于λ的特征向量为：ξ，则 A ξλξ= 于是 2

2

A A ξλξλξ== 而2

()()0T

T

T

T

T

T

T A αβαβαβαβααββ==== 故 2λξ=0，因为特征向量0ξ≠，所以 0λ=，即矩阵A 的所有特征值为0.

解得基础解系：

特征值为0（n 重）；A 属于n 重特征值0的全部特征向量为：

k 12

1100b b ??- ?

?

? ?

?

?

??M + k 231010b b ??- ? ? ? ? ? ???M + … + k n －11001n b b ??- ? ? ? ? ? ???

M （ k 1，k 2，…，k n －1不全为零）

解 (1）

123321223113102

12212211221221221310

4

14

30(1)

(1)(5)(1)32

2

21A E r r r c c λλλ

λλλλλλλλλλλ

λλλ

λλλλλλ

λ

-----------=---++--------------------=--=-=-+-+---()()123121231,5

122211122200022200011110(,001142221152421212240005A E k k k k A E λλλλλξλλ===-=---????

? ?

-=--→ ? ? ? ?--????

=???? ? ?

=+ ? ? ? ?????

=????

? ?

+=-→- ? ? ? ?-????

=-将代入特征矩阵：

故属于的特征向量为不全为）

将代入特征矩阵：

属于的特征向量1101k k ξ-??

?

=≠ ? ???

：（）

(2）1

14:112,155

E A -++=-

=的特征值为

6. 已知12是矩阵???

?

? ??---=44174147a A 的一个特征值，求a 的值.

解

7. 已知X = 11k ??

?

? ???

是矩阵A =

211121112?? ? ? ???

的一个特征向量.求k 及X 所对应的特征值. 解

习题7.2

1. 判断习题7.1第4题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角

矩阵. 1）

2）二重根21λλ==-1有两个线性无关的特征向量，可以对角化. 相似变换矩阵为

112201012P --?? ?= ? ??? 对角阵为100010008-?? ?Λ=- ? ?-??

3）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化.

110111011P ?? ?=-- ? ?-?? 对角阵为100010003-?? ?Λ= ? ???

4）不能对角化.

5）101n n λ-=-重根有个线性无关的特征向量，所以可以对角化.

2．判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵P ,使1

P AP -为对角阵.

（1）211020413A -?? ?= ? ?-?? （2）112010001A -??

?

= ? ???

解 (1)

代入1232,

1λλλ===-解得对应的特征向量分别为：

所以：可逆矩阵111400041P ?? ?

= ? ???

解 (2)

3．设A 是一个3阶矩阵，已知A 的特征值为1，-1，0，A 属于这3个特征值的特征向量分别为 求A .

解 A 有三个互异的特征值，所以可以对角化.

1

1

1

1

001010

102210001121000

10000:

1011001

01100100512(|)2210

100

21210010311112001011101001412512311412A P A P P P P E P ---????

? ?→-=- ? ?

? ?????

?? ?=- ? ??

?

--??????

? ? ?

=-→---→-- ? ? ?

? ? ?--?

?????

--? ∴=-- -?求512164

6201A --????

?=--?

? ? ?-?

??

4．计算122212 (221k

k ??

?

? ???

为正整数）.

解

2111001K ξ--???? ? ?+ ? ?

? ?????

1解得特征向量：

=k ，12,0k k ≠ 5．设 A 与B 相似. （1） 求a,b 的值；

（2） 求可逆矩阵P,使1

P AP -=B . 解

1）A 与B 相似，故A 与B 有相同的特征多项式，即：

3223220022

2(2)

(1)(4)2(2)

1

131

12000

20(2)()(1)(2)20

0224,2(4),20,2

E A E B

a E A a a a a E B

b b b b b b a b a b a a b λλλ

λλλλλλλλ

λλ

λλλλλλλλ

-≡-----=--=+=---++-----=--=---=-++-+-=--=-+=-∴==-各项系数对应相等可得：（2）

最后解得可逆矩阵001210,111P -?? ?

=- ? ???

使得1P AP B -=

6. 设A =???

?

?

??0011100y x 与对角阵相似，求x ，y 满足的条件.

解

由于A 与对角矩阵相似，()2R A E -=故 7．设A 与B 相似，f （x ）= a 0x n + a 1x n

―1

+ … + a n ―1x + a n （a 0 ≠ 0），证明 f （A ）与 f （B ）

相似． 证明

故f （A ）与 f （B ）相似

8．若A 与B 相似，C 与D 相似，证明 ???

?

??C A 00 与

???

?

??D B

00 相似. 证明

习题7.3

1．求正交矩阵Q ，使1

Q AQ -为对角阵.

(1) 220212020A -?? ?=-- ? ?-?? （2）211121112A --??

?

=-- ? ?--??

解

（1）先求特征值和特征向量 解得特征向量：

于是构成正交矩阵

2213332

123331223

3

3Q ?? ? ? ?=-

? ? ?

- ???

,1412Q AQ -?? ?

= ? ?-?? 解

（2）先求特征值和特征向量

单位化23,0ξξ? == ? ? ? ??

???

于是构成正交矩阵

10,330

Q Q AQ -??

?== ? ????

?? 2．已知 1λ= 6，2λ=3λ= 3是实对称矩阵A 的三个特征值，A 的属于 2λ=3λ= 3的特征向

量为X 2 = ???

?? ??-101， X 3 =

???

?

? ??-121，求A 的属于1λ= 6的特征向量及矩阵A ． 解 令A 的属于16λ=的特征向量为：1123x X x x ?? ?

= ? ???

且A 的属于16λ=的特征向量为：111(0)1X k k ?? ?

=≠ ? ???

解 （1）()2,0R A A ==因为所以

A 的另一特征值为0，令其相应的特征向量为123x X x x ?? ?

= ? ???

，满足210T T X X αα==

习题七 (A)

一、填空题

1．已知3阶矩阵A 的特征值为1，3，-2，则A-E 的特征值为 , A *的特征值为 2

()A E *+的特征值为 .

解 A-E 的特征值为A 的特征值减1，故A-E 的特征值为0，2，-3.A *的特征值为

**222,13(2)6623

(6)2)3 1.37,5,10

A

A A A μλ

=

=??-=-----+2求得的特征值为：，，)+E 的特征值为：(+1，(+1，即

2．n 阶矩阵A 的特征值为1，2 ，3 ，… ，n ，则(1)A n E -+ . 解

3. 已知3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A E *+= . 解

4. 设A 为3阶方阵，且220A E A E A E +=-=-=，则A = ，12A E -+ = ，2A E += . 解

由题意知：1122

12124,,1,

2

5,3,,,1,4;2

A A A A A A ---=-1的特征值为，，，的特征值为：-23+2E 的特征值为：的特征值为：4+E 的特征值为5,2,52

5．若3阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为41

,31,21，则???

?

?

?---11A O E E B = . 解

6．已知3阶矩阵A -1的特征值为1，2，3，则A *

的特征值为 .

7. 已知矩阵11020421A x -?? ?

= ? ???

的特征值为1,2,3,则x = .

解

8. 已知3阶矩阵A 的特征值为1，3，2，则21

1

()3

A -的特征值为 . 解

9. 设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，B = -1，则B B A +*= . 解 10. 设

有相同的特征值，则a = ， b = . 解

,A B

有相同的特征值，即

11. 已知矩阵A 的各行元素之和为2,则A 有一个特征值为 . 解

显然A 有一个特征值为2

12．已知0是10102010A a ?? ?

= ? ???

的一个特征值，则a = .

解

由于0是10102010A a ?? ?

= ? ???

的一个特征值，则：

0E A λ-=，即0A =，即

二、单项选择题

1. 若4阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为

1111

,,,2345

，则1B E --=（ ）. (A) 24 (B) -24 (C) -32 (D) 32 解 选(A)

2. 设A 为n 阶矩阵,λ为A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵A *

的一个特征值为( ).

3. 设A 为n 阶矩阵, X 为A 属于λ的一个特征向量, 则与A 相似的矩阵B=P -1AP 的属于λ的一个特征向量为( ).

(A) PX (B) P -1X (C) P T X (D) P n X 解

4. 已知X = 112?? ?

- ? ???是矩阵A =

212213b a a ?? ? ? ???

的一个特征向量,则a,b 的值分别为( ). (A) 5, 2 (B) -1, 3 (C) 1, -3 (D) -3, 1

解 选(D)

5. 下列结论正确的是( ).

（A ） X 1, X 2是方程组(A E -λ)X=O 的一个基础解系, 则k 1X 1+k 2X 2是A 的属于λ的

全部特征向量,其中k 1, k 2 是全不为零的常数

（B ） A, B 有相同的特征值, 则A 与B 相似 （C ） 如果A =0, 则A 至少有一个特征值为零

（D ） 若λ同是方阵A 与B 的特征值, 则λ也是A+B 的特征值 解

(C) 正确 （D ）AX X

BY Y λλ==λ显然不是A+B 的特征值

6. 设λ1 ，λ2是矩阵A 的两个不相同的特征值，ξ，η是A 的分别属于λ1 ，λ2的特征向量，则（ ）.

（A ）对任意k 1 ≠ 0 ，k 2 ≠ 0 ，k 1 ξ+ k 2η都是A 的特征向量 （B ）存在常数k 1 ≠ 0 ，k 2 ≠ 0 ，使k 1 ξ+ k 2η是A 的特征向量 （C ）当k 1 ≠ 0 ，k 2 ≠ 0时 ，k 1 ξ+ k 2η不可能是A 的特征向量

（D ）存在唯一的一组常数k 1 ≠ 0 ，k 2 ≠ 0 ，使k 1 ξ+ k 2η是A 的特征向量 解（A ）显然不成立；（B ）不存在；（C ）正确；（D ）不存在.所以选（C ）

7. 与矩阵112??

?

? ???

相似的矩阵是（ ）. 解1λ=是二重根，将1λ=分别代入()A E λ-,只有在(C))中，()1R A E λ-=

故选(C)

8. 下列矩阵中,不能相似对角化的是( ).

解 答案(C)中，1λ=是三重特征值，代回()A E λ-中，()2R A E λ-= 显然(C)不能对角化.

9. 若A 与B 相似，则（ ）.

（A ）B E A E -=-λλ （B ）

B E A E -=-λλ

（C ） A=B （D ） A *= B * 解

因为存在可逆矩阵P ,使1P AP B -=

则 选(B)

10. 设向量α=（a 1 ，a 2 ，… ，a n ）T ，β=（b 1 ，b 2 ，… ，b n ）T 都是非零向量，且满足条件αT β= 0，记n 阶矩阵A =αβT ,则( ).

(A) A 是可逆矩阵 (B) A 2不是零矩阵 (C) A 的特征值全为0 (D) A 的特征值不全为0 解

故2A 的特征值全为零，而若设A 的特征值为λ，则2A 的特征值为2

λ，显然有

200λλ=?= 选(C)

(B)

1．设3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为 解

（1）由题意 （2）

化为线性方程组形式求解，得增广矩阵 （3）解

2．设A 为4阶方阵，且0A +=，A =9， （1）求A *

的一个特征值； （2）2

1

A A -的一个特征值. 解

（1）由已知： （2）

3．已知向量X = 11b ?? ?

? ???

是可逆矩阵A =

21112111a ?? ? ? ???

的伴随矩阵A *的一个特征向量，求a,b 与X 所对应的特征值λ． 解

A X X λ*= 两边同乘以A 得

解得：

4. A 是n 阶正交矩阵，1A =，证明1是A 的特征值. 证明

5. 设A 是正交矩阵，1

,A A λλ

是的特征值证明也是的特征值.

证明 故

1λ

是T

A 的特征值，也是A 的特征值. 6．已知矩阵00321,3.365A a a a A a λλ-?? ?

=- ? ?-??

是的重特征值，求及

解

7，已知A 11022041x -?? ?

=- ? ???

可相似对角化，求与它相似的对角阵Λ和A n .

解 先求A 的特征值：

1λ=是二重特征值，则有：

解得特征向量 解得特征向量： 所以得相似变换矩阵：

8．设A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为,,,321ααα令321αααβ++=证明：βββ2

,,A A 线性无关. 解

123,,ααα线性无关，（它们是不同特征值所对应的特征向量）

故有： 由于0i j

A λλ≠≠ （范德蒙行列式结论）

所以方程只有零解.即βββ2

,,A A 线性无关

9．若A 与B 相似且A 可逆，证明：A *与B *相似.

证明

~,A B A B =有 且存在可逆矩阵P ，使

1111*

1

1

1

1

1

1

1

*

P AP B B P A P

P A P P A A P A PA P A B B B B

-----------=======

故A *与B *相似

10．设A =????? ??010100002，B =????

?

??--260010001，试判断A 、B 是否相似，若相似，求出可逆矩阵P ，使得B = P －

1AP ．

解

A 、

B 有相同的特征值且都可以对角化，所以要确定A 、B 是否相似，先求A 、B 的特征向量：

构成可逆矩阵1

010200001010102001Q B Q Q -???? ? ?== ? ? ? ?-????

，有

11．设矩阵12314315A a -?? ?

=-- ? ???

有一个2重特征根，求a 的值并讨论A 可否相似对角化.

解 代入

()221R A E n -=-= 此时A 可以对角化

此时A 不能对角化

12．A 是3阶矩阵，123ααα，

，是线性无关的3维列向量组，且满足

（1） 求矩阵B,使123123()()A B αααααα=，

，，，； （2） 求A 的特征值.

解

（2）因为123ααα，

，是线性无关的3维列向量组，所以

123(,,)P ααα=可逆

所以1P AP B -= 即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.由 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值

13.设矩阵001010100B ?? ?

= ? ???

，已知矩阵A 与B 相似，计算R (A-2E )+R (A-E ).

解：A B 相似于 则A 与B 有相同的特征值，先求B 的特征值

代入()101101000000101000B E λ--???? ? ?

-=→ ? ? ? ?-????

()1R A E -=故 2不是A 的特征值，

14．A 是3阶实对称矩阵，A 的特征值为1， 0，-1，A 属于1与0的特征向量分别为 （1,a ,1）T 和(a ,a +1,1)T ，求A.

解：A 是3阶实对称矩阵，A 的特征值互不相同，故这三个特征值所对应的特征向量正交.有：

代入：1111,101111a a a -????????

? ? ? ?=-+= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

设λ属于-1的特征向量123x x x ?? ? ? ???，得123130

0x x x x x -+=???-+=?λ属于-1的特征向量121?? ? ? ???

线性代数第五章(答案)

第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )

(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章 特征值和特征向量 一、特征值与特征向量 定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。 定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式， )(λf =0E A λ-=， 称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵 齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。 性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α 是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为 0E A λ-=的 根。 由此得到对特征向量和特征值的另一种认识： （1）λ是A 的特征值?0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量?α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解. 计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式， ()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全 部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量. 性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλΛΛ21,所对应的特征向量 21,ξξ……ξ线性无关 性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到： （1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |. 性质4：如果λ是A 的特征值，则 （1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值. (2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ). （2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*， A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn . 性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则 （1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)； （2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。 1122 ,.m m A k kA a b aA bE A A A A A λλλλλλ-*??++????? ????是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量，则α也是上述多项式的特征向量。 推论：（1）对于数量矩阵λE ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是λ. （2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素. （3）n 阶矩阵A 与他的转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.

线性代数第五章 课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

线性代数教案-矩阵的特征值与特征向量

线性代数教学教案 第5章 矩阵的特征值与特征向量 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第5章 第1节 特征值与特征向量 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质以及矩阵的特征值和特征向量的求法 教学难点 矩阵的特征值和特征向量的求 法 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 教 学 基 本 内 容 一．特征值与特征向量的概念 1．设是n 阶方阵，如果存在数和n 维非零列向量x ，使关系式=成立，那么，称为方阵的特征值，非零列向量称为的对应于特征值的特征向量. 2．特征方程：称，即=为方阵A 的特征方程. 3．特征多项式与特征矩阵：是关于的n 次多项式，称为方阵的特征多项式，记作. 称为的特征矩阵. 二．特征值与特征向量的性质 1．设矩阵A 的特征值为，则 (1) ； (2) . 2．矩阵的迹：设矩阵,称为的迹，记为tr . A λAx x λλA x A λ0-=A E λ111212122212n n n n nn a a a a a a a a a λ λλ --- 0||λ-A E λA ()A f λλ-A E A ()n n ij a ?=n ,,λλλ 21121122n nn a a a λλλ+++=+++ 12n A λλλ= A ()n n ij a ?=1122nn a a a +++ A A

3．矩阵和有相同的特征值. 4．设是n 阶可逆矩阵，则 (1) 的特征值都不为零； (2) 若是的特征值，则是的特征值. 5．设是关于的多项式，是n 阶方阵，此时，若是的特征值，则是的特征值，此时称为的特征多项式. 6．定理：设是n 阶方阵的m 个特征值, 依次是与之对应的特征向量. 如果互不相等，则线性无关. 三．例题讲解 例1．求A 的特征值和特征向量. 例2．求矩阵A 的特征值和特征向量. 例3．求矩阵 的特征值和特征向量. 例4．设是n 阶方阵的特征值, 证明：的特征值. 例5．已知3阶方阵的特征值为，1，2，求. 例6．已知为n 阶方阵，是A 的两个不同的特征值，是的分别对应于的特征向量，证明：不是A 的特征向量. 例7．设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平. 分别为该地区t 年后的环境污染水平和经济发展水平，有关系式如下：，试预测该地区t 年后的环境污染水平和经济 发展水平之间的关系. A T A A A λA 1-λ1-A 10()m m f x a x a x a =+++ x A 10()m m f a a a =+++ A A A E λA ()f λ()f A ()f A A 12,,,m λλλ A 12,,,m x x x 12,,,m λλλ 12,,,m x x x ?? ????=2134???? ??????-=100031111211020413A -????=????-?? λA 22λ是A A 1-325A A -A 12,λλ12,x x A 12,λλ12+x x 00,x y ,t t x y ()-1-1-1-1=3+=1,2,,=2+2t t t t t t x x y t k y x y ?? ?

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ?n B n ?m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 8. 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化, 求x . 9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11. 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ. 12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A . 14. 设???? ? ??-=340430241A , 求A 100.

线性代数中关于特征值和特征向量的方法(刘妍原创)

线性代数中关于特征值和特征向量的方法 万学教育 海文考研 考研教学与研究中心 刘妍 基础阶段的复习我们一般在进入4月份以后，很多同学都开始启动线性代数的复习了。有些同学对于线代总是感觉知识点很散，对于一些解题的方法感觉学起来不容易记。其实线性代数是方法性比较强的一门学科，如果能把各个章节串联的去学习，那么对于线性代数的学习可能会更加的游刃有余一些。下面我就特征值，特征向量这一部分给大家说几种结题方法： 一、方法一： (1) 取定数域P 上的线性空间n V 的一个基, 写出线性变换T 在该基下的矩阵A ; (2) 求出A 的特征多项式?λ（）在数域P 上的全部根, 它们就是T 的全部特征值; (3) 把求出的特征值逐个代入方程组, 解出矩阵A 的属于每个特征值的全部线性 无关的特征向量; (4) 以A 的属于每个特征值的特征向量为n V 中取定基下的坐标, 即得T 的相应特征 向量. 例1 求矩阵 ?? ??? ?????=A 122212221, 的特征值与特征向量. 解 容易算出A 的多项式 )(det A -I λ= 12 2 2 1 22 21 ---------λλλ) 5()1(2-+=λλ, 所以T 的特征值是11-=λ(二重)和.52=λ 特征方程0)(=-I x A λ的一个基础解系为T -)1,0,1(, T -)1,1,0(. T 的属于1λ的两个线性无关的特征向量为,311x x y -= 322x x y -=. 所以T 的属于1λ的全部特征向量为2211y k y k + (其中k k k ∈21,且不同时为零). 特征方 程的一个基础解系为T )1,1,1(. 记3213 λλλ++=y , 则T 的属于2λ 的全体特征向量为33y k (k k ∈3且不为零).

线性代数第五章答案

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

第五章 矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =

线性代数第五章特征值与特征向量自测题

第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟） 一、填空题：（共18分，每小题3分） 1、设三阶矩阵A 的特征值为－1，1，2，则A －1的特征值为（ ）；A *的特征值为 （ ）；（3E +A ）的特征值为（ ）。 2、设三阶矩阵A ＝0，则A 的全部特征向量为（ ）。 3、若A ～E ，则A ＝（ ）。 4、已知A ＝??????????x 10100002与=B ???? ??????-10000002y 相似，则x =（ ），y =（ ）。 5、设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别是 1(1,1,1)T α=-，T )1,2,1(2---=α，则A 的属于特征值3的特征向量是（ ）。 6、设n 阶方阵A 有n 个特征值分别为2，3，4，…，n ，n +1，且方阵B 与A 相似，则 |B-E |=______________ 二、选择题（共18分，每小题3分） 1、已知三阶矩阵A 的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是 （A ） 矩阵A 是不可逆矩阵 （B ） 矩阵A 的主对角线元素之和为0 （C ） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的 （D ） AX =0的基础解系由一个向量组成 2、矩阵A ??????????=300 030000与矩阵（ ）相似。 （A ）??????????000030300； （B ）??????????300130010； （C ）??????????300000003； （D ）???? ??????310031000 3、下述结论正确的有（ ）。 （A ）n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个互不相同的特征值； （B ）n 阶矩阵A 可对角化的必要条件是A 有n 个互不相同的特征值； （C ）有相同特征值的两个矩阵一定相似； （D ）相似的矩阵一定有相同的特征值。 4、下述结论正确的有（ ），其中A 为n 阶矩阵。 （A ）方程0)(0=-x A E λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量； （B ）若21,αα为方程0)(0=-x A E λ的一个基础解系，则2211ααC C +（21,C C 为非 零常数）是A 的属于特征值0λ的全部的特征向量；

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式

线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量 一．内容提要 1 . 特征值和特征向量 定义1 设() ij n n A a ?=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上 的非零n 维列向量X ，使得 X AX λ= 则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）() ij n n A a ?=是方阵； 2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方阵 () ij n n A a ?= 与特征值 λ 对应的特征向量不唯一 4）一个特征向量只能属于一个特征值. 2．特征值和特征向量的计算 计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜； （2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。 对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量. 3． 特征值和特征向量的性质 性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特 征向量； （2）若12,, ,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合 1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量； （3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则 λ 1是A — 1的一个特征值，λ||A 是 A *的一个特征值； （4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0 为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。 性质2（1） nn n a a a +???++=+???++221121λλλ （2） || 21A n =???λλλ

线性代数空间向量和特征值特征向量

线性代数空间向量和特征值特征向量1、空间向量

2、特征值特征向量 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

矩阵的特征值与特征向量习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x

9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100

线性代数第五章习题答案

思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.

矩阵特征值和特征向量解法的研究

矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.

（4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.

居于马线性代数第五章答案

第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案 1.求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) 2331-?? ?-?? (2) 311201112-?? ? ? ?-?? (3) 200111113?? ? ? ?-?? (4) 1234012300120001?? ? ? ? ??? (5) 452221111-?? ?-- ? ?--?? (6) 220212020-?? ?-- ? ?-?? 【解析】(1) 令2331A -??= ?-?? ,则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为123322λλ+= =。 当132 λ+=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(16,1T x =-，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应 于132 λ=的全部特征向量。 当2λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(26,1T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于2λ=的全部特征向量。 (2) 令3112 01112A -?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。 当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()10,1,1T x =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部

特征向量。 当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()21,1,0T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。 (3) 令200111113A ?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为2λ=(三重特征值)。 当2λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()()121,1,0,0,1,1T T x x ==，因此，A 的对应于2λ=的全部特征向量为1122k x k x +(其中12,k k 为不全为零的任意常数)。 (4) 令1234012300120001A ?? ? ?= ? ??? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(四重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,0,0,0T x =，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (5) 令45222 1111A -?? ?=-- ? ?--?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(三重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,1,1T x =-，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (6) 令2202 12020A -?? ?=-- ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 按沙路法（课本P2），得 故A 的特征值为1231,4,2λλλ===-。