当前位置：文档库 › 2020高考数学不等式专题测试试卷

2020高考数学不等式专题测试试卷

高考数学不等式专题测试试卷

班级 .姓名 .得分 .

一、填空题：（每小题5分，共70分）

1.不等式242x x ->+的解集是 .

2.设A ={x |x 2－2x －3＞0},B ={x |x 2+5x ≤0}，则A B I 等于 .

3. 若0

1, 函数y=x(1–2x)的最大值是 .

4．设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0

a x ->的解集为。

5．若关于x 的不等式a x 2－a x +1>0对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 .

6．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是 .

7.???????≥≥-<-<+0

011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是 .

8．建造一个容积为18 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么池的最低造价为（元） 9．

设a b ==a b 与的大小关系是 10.不等式（x-2）（x+1）<0解集为

11.设y x ,满足约束条件：??

??≥≤≤+,0,,

1y x y y x 则y x z +=2的最大值是

12．已知方程2(2)50x m x m ++++=有两个正实数根，则实数m 的取值范围是_____________

13．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 14．已知集合{1,1}M =-，11

24,}2

x N x x Z +=<<∈则M N =I .

二、解答题：（6小题，共90分）

15.（14分）解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>

16．（14分）二次函数2()f x ax bx c =++的图象开口向下，且满足,,a b c -是等差数列，(),,a b a c -是等比数列，试求不等式()0f x ≥的解集。

17．（15分）已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，n S 是其前n 项和，且39S =，二次函数2()2n n f x S x a x =+-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,0x x 和，且

12312x x -<<-<<，试求n 的值。

18．（15分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每一吨甲种棉纱的利润是600元，每一吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨。甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能能使利润总额最大？

19．（16分）如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间。一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

⑴现有可围成36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？

⑵若使每间虎笼的面积为242m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？

20．设函数f(x)=log b ax

x x 212

22++-(b>0且b ≠1)，

（1）求f(x)的定义域；

（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x 的值。

答案

1．(－2,1) 2．{}

51x x -≤<- 3．8

1, 4．(2,)+∞ 5．.[)0,4

6．6 7．2个 8．5400 9．a b > 10 ()1,2- 11.2

12．54m -<≤- 13．22 14．{1}-

15. 解：（14分）∵2

(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a -->

⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}

3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()2

30x ->，解集为{}

3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}

3x x x a <>或；

16．解：（14分）由已知条件得2

02()

0a b a c

b a a

c b

?=-+?

?=?-??≠?

023a b a c a

f x ≥的解集为{}

13x x -≤≤。

17．解：（15分）∵数列{}n a 满足12n n a a +=+，∴数列{}n a 是等差数列，且公差2d =，

又∵39S =，∴1339,a d +=又d=2，∴11a =，从而21n a n =-，

21()

n n n a a S n +=

=。 ∴2

()(21)2f x n x n x =+--，由于,1n N n ∈≥，又

()2

22214(2)12410n n n n ?=--?-=-+>，∴22()(21)2f x n x n x =+--的图象的

开口向上，与x 轴有两个交点()()12,0,0x x 和，依题意有

(3)0

(1)0(2)0f f f ->??-

?222193(21)203(21)201142(21)201122n n n n n n n n n n ?

≠

??--->???

-----??>

，由于,1n N n ∈≥，故12n n ==或。 18．解：（15分）先列出下面表格

设生产甲种棉纱x 吨，乙种棉纱y 吨，总利润为z 元，依题意得目标函数为：600900z x y =+ 作出可行域如图阴影所示。目标函数可变形为

2:3900

l y x =-+

，从图上可知，当直线l 经过可行域的M 点时，直线的截距

900

最大，从而z 最大。 23002250x y x y +=??

+=?3503

200

3x y ?=

?????=??

，即350200(,)33M 。故生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨时，总利润最大。最大总利润是max 350200

60090013000033

z =?

+?=（元） 19．解：（16分）⑴设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，

则4636

00x y x y +=??

>??>?

，面积S xy =

。由于 23x y +≥=，所以2718,2xy ≤≤

得，即27

S ≤，当且仅当23x y =时取等号。23 4.5

23183x y x x y y ==????

+==??

，所以，每间虎笼长、宽分别为4.53m m 、时，可使面积最大。

⑵设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则4,24l x y xy =+=且，所以

2300225000x y x y x y +≤??+≤??

≥??≥?

462(23)2448()l x y x y m =+=+≥?===，当

且仅当23x y =时取等号。246

234xy x x y y ==?????

==??

。故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋的总长最小，为48m 。

20解（1）∵x 2－2x+2恒正，

∴f(x)的定义域是1+2ax>0，

即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。当a>0时，f(x)的定义域是（－

，+∞）当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－

21）（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0?ax

x x 212

22++->1?x 2－2x+2>1+2ax

?x 2－2(1+a)x+1>0

其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2) (i)当Δ<0时，即－20 ∴f(x)>0?x<－

21 (ii)当Δ=0时，即a=－2或0时若a=0,f(x)＞0?(x －1)2

>0 ?x ∈R 且x ≠1

若a=－2,f(x)＞0?(x+1)2

＞0

?x ＜4

且x ≠－1

(iii )当△＞0时，即a ＞0或a ＜－2时

方程x 2

－2(1+a)x+1=0的两根为 x 1=1+a －a a 22+,x 2=1+a+a a 22+ 若a ＞0，则x 2＞x 1＞0＞－

21 ∴a a a x x f 210)(2+++>?>或a a a x a

2121

2--+<<- 若a<－2，则a

x x 2121-

∴f(x)＞0?x ＜1+a －a a 22+或1+a+a a 22+＜x ＜－a

21 综上所述：当－2＜a ＜0时，x 的取值集合为{x|x ＜－

21} 当a=0时，x ∈R 且x ≠1，x ∈R ，当a=－2时：{x|x ＜－1或－1＜x ＜4

1} 当a ＞0时，x ∈{x|x ＞1+a+a a 22+或－

＜x ＜1+a －a a 22+} 当a ＜－2时，x ∈{x|x ＜1+a －a a 22+或1+a+a a 22+＜x ＜－a

}

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>．（I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1}

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2，￥当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

高考数学不等式专题

基本不等式专题一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；（7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，