2021高考数学分类汇编：统计与概率

2021年高考数学理试题分类汇编

统计与概率

一、选择题

1、（2016年北京高考）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C

2、（2016年山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所

示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为

[17.5,20),[20,22.5),[22.5, 25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间

不少于22.5小时的人数是 （A ）56

（B ）60

（C ）120

（D ）140

【答案】D

3、（2016年全国I 高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发

车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34

【答案】B

4、（2016年全国II 高考）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为

（A ）

4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

【答案】C

5、（2016年全国III 高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气

温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150

C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50

C 。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在00

C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200

C 的月份有5个 【答案】D

二、填空题

1、（2016年山东高考）在],[

11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆952

2=+)(y x －相交”发生的概率为 【答案】

4

3

． 2、（2016年上海高考）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 【答案】1.76

3、（2016年四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 【答案】32

三、解答题

1、（2016年北京高考） A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；

（1）试估计C 班的学生人数；

（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明） 解析】⑴

8

1004020

?=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为1

5

设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i =

C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j = A 班中取到i j A C >的概率为i P

所求事件为D

则1234

511111

()55555

P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=?+?+?+?+? 38= ⑶10μμ<

三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=

但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值

2、（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是

43

，乙每轮猜对的概率是3

2；每

轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；

(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．

【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”． 设“至少猜对3个成语”为事件A ；

“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，

则12

53232414331324343)(121

2=????+????

=C C B P ； 4

1

32324343)(=???=C P ．

所以3

241125)()()(=+=

+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144

131413141)0(=???=

=X P ； 725144103143314131413241)1(1212==???+???==C C X P ；

14425313243413131434332324141)2(12=???+???+???==C X P ； 1211441231413243)3(12==???==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==?+???==C X P ；

41

1443632433243)6(==???==X P ；

X 的分布列为：

X 的数学期望6

2314455264141253121214425172501441==?+?+?+?+?+?=

EX ．

3、（2016年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I ）求直方图中a 的值；

（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由. 【解析】（I ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ?+++++++=

得0.3a =

（II ）由图，不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%?++

∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6?(万)

（III ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：

()0.50.080.160.30.40.520.73?++++=

即73%的居民月均用水量小于2.5吨,

同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x <<

假设月均用水量平均分布，则()85%73%0.5

2.50.5 2.90.3

x -÷=+?=（吨）.

注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。

4、（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3

的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；

（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.

【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4

()112343

2

10C C C 1C 3

P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2 ()2223342

10C C C 4

0C 15

P X ++=== ()1111

3334

2

10C C C C 71C 15P X +=== ()1134

210C C 42C 15

P X ===

X

0 1 2

P 415 715 415

()78

11515

E X =

+=

5、（2016年全国I 高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损

零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I ）求X 的分布列；

（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；

（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选

用哪个？

解：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =

由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

()()()11160.20.20.04P X P A P B ===?=

()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=?+?=

()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2

P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=?+?+?0.20.40.24+?=

()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2

P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=?+?= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===?=

⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥

则n 的最小值为19

⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用

当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040?+?+?+?= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080?+?+?= 所以应选用19n =

6、（2016年全国II 高考）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，

()1()1(0.300.15)

0.55P A P A =-=-+=．

⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053

()()0.5511

P AB P B A P A +=

==． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ． X 0.85a a

1.25a 1.5a 1.75a 2a P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费

0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?

0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．

7、（2016年全国III 高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的

折线图

（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据：

7

1

9.32i

i y

==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑7

2

1

()

0.55i

i y y =-=∑，7≈2.646.

参考公式：相关系数1

2

2

1

1

()()

()(y

y)n

i

i

i n n

i i

i i t t y y r t t ===--=

--∑∑∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1

2

1

()()

()n

i

i i n

i

i t

t y y b t

t ==--=

-∑∑，=.a y bt -

【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，

()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．

⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511

P AB P B A P A +=

==． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．

平均保费

0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?

0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．