2021年高考数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题
1、(2016年北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C
2、(2016年山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所
示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为
[17.5,20),[20,22.5),[22.5, 25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间
不少于22.5小时的人数是 (A )56
(B )60
(C )120
(D )140
【答案】D
3、(2016年全国I 高考)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发
车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )13 (B )12 (C )23 (D )34
【答案】B
4、(2016年全国II 高考)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
(A )
4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n
【答案】C
5、(2016年全国III 高考)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气
温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150
C ,B 点表示四月的平均最低气温约为50
C 。下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在00
C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200
C 的月份有5个 【答案】D
二、填空题
1、(2016年山东高考)在],[
11-上随机的取一个数k ,则事件“直线kx y =与圆952
2=+)(y x -相交”发生的概率为 【答案】
4
3
. 2、(2016年上海高考)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米) 【答案】1.76
3、(2016年四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 【答案】32
三、解答题
1、(2016年北京高考) A 、B 、C 三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);
(1)试估计C 班的学生人数;
(2)从A 班和C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ,表格中数据的平均数记为0μ ,试判断0μ和1μ的大小,(结论不要求证明) 解析】⑴
8
1004020
?=,C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为1
5
设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i =
C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j = A 班中取到i j A C >的概率为i P
所求事件为D
则1234
511111
()55555
P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=?+?+?+?+? 38= ⑶10μμ<
三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=
但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08,比0μ小, 故拉低了平均值
2、(2016年山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是
43
,乙每轮猜对的概率是3
2;每
轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率;
(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .
【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”. 设“至少猜对3个成语”为事件A ;
“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,,
则12
53232414331324343)(121
2=????+????
=C C B P ; 4
1
32324343)(=???=C P .
所以3
241125)()()(=+=
+=C P B P A P . (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144
131413141)0(=???=
=X P ; 725144103143314131413241)1(1212==???+???==C C X P ;
14425313243413131434332324141)2(12=???+???+???==C X P ; 1211441231413243)3(12==???==C X P ; 12514460)31433241(3243)4(12==?+???==C X P ;
41
1443632433243)6(==???==X P ;
X 的分布列为:
X 的数学期望6
2314455264141253121214425172501441==?+?+?+?+?+?=
EX .
3、(2016年四川高考)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I )求直方图中a 的值;
(II )设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(III )若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨),估计x 的值,并说明理由. 【解析】(I )由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ?+++++++=
得0.3a =
(II )由图,不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%?++
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为:3012%=3.6?(万)
(III )由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:
()0.50.080.160.30.40.520.73?++++=
即73%的居民月均用水量小于2.5吨,
同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.53x <<
假设月均用水量平均分布,则()85%73%0.5
2.50.5 2.90.3
x -÷=+?=(吨).
注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。
4、(2016年天津高考)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3
的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(I )设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;
(II )设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.
【解析】(Ⅰ)设事件A :选2人参加义工活动,次数之和为4
()112343
2
10C C C 1C 3
P A +== (Ⅱ)随机变量X 可能取值 0,1,2 ()2223342
10C C C 4
0C 15
P X ++=== ()1111
3334
2
10C C C C 71C 15P X +=== ()1134
210C C 42C 15
P X ===
X
0 1 2
P 415 715 415
()78
11515
E X =
+=
5、(2016年全国I 高考)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损
零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(I )求X 的分布列;
(II )若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;
(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选
用哪个?
解:⑴ 每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11
记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =
由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======,()()220.4P A P B ==
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ,则X 的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22
()()()11160.20.20.04P X P A P B ===?=
()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=?+?=
()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2
P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=?+?+?0.20.40.24+?=
()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2
P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=?+?= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===?=
⑵ 要令()0.5P x n ≤≥,0.040.160.240.5++<,0.040.160.240.240.5+++≥
则n 的最小值为19
⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用
当19n =时,费用的期望为192005000.210000.0815000.044040?+?+?+?= 当20n =时,费用的期望为202005000.0810000.044080?+?+?= 所以应选用19n =
6、(2016年全国II 高考)某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ,
()1()1(0.300.15)
0.55P A P A =-=-+=.
⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B , ()0.100.053
()()0.5511
P AB P B A P A +=
==. ⑶解:设本年度所交保费为随机变量X . X 0.85a a
1.25a 1.5a 1.75a 2a P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
平均保费
0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?
0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=, ∴平均保费与基本保费比值为1.23.
7、(2016年全国III 高考)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的
折线图
(I )由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明; (II )建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据:
7
1
9.32i
i y
==∑,7
1
40.17i i i t y ==∑7
2
1
()
0.55i
i y y =-=∑,7≈2.646.
参考公式:相关系数1
2
2
1
1
()()
()(y
y)n
i
i
i n n
i i
i i t t y y r t t ===--=
--∑∑∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=
-∑∑,=.a y bt -
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ,
()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=.
⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B , ()0.100.053()()0.5511
P AB P B A P A +=
==. ⑶解:设本年度所交保费为随机变量X .
平均保费
0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?
0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=, ∴平均保费与基本保费比值为1.23.