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浙江省苍南县2020姜立夫杯2020年高二数学上学期竞赛试题(1)

浙江省苍南县“姜立夫杯”2020年高二数学上学期竞赛试题

考生注意事项：

1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.

2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（）

（A ）周期为π2的奇函数（B ）周期为π2的偶函数（C ）周期为π的奇函数（D ）周期为π的偶函数

2．若M={(x ，y )| |tan y |+sin 2

x =0}，N={(x ，y )|x 2

+y 2

≤2}，则M ∩N 的元素个数是（）

（A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）9

3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如

果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )

（A ）1个（B ）2个（C ）50个（D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是（）（A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |

2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所

代表

的曲线是 ( )

（A ）三角形（B ）正方形

（C ）非正方形的菱形（D ）非正方形的长方形

6．已知x ，y 满足?????y －2≤0，

x ＋3≥0，x －y －1≤0，

则46

--+x y x 的取值范围是 ( )

（A ）??????720,2 （B ）??????713,1 （C ）??????73,0 （D ）??

????76,0

7．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234

S S S S S

λ+++，

则λ一定满足( )

（A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ<5.5

8. 设函数2

2,0

()log ,0x x f x x x ?≤?=?>??，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足

第4题

22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（）

（A ）

14 （B ）1

（C ）2 （D ）4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）

9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是．

10. 若直线b x y +=被圆12

=+y x 所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是．

11.已知ABC ?中，AB AC ⊥u u u r u u u r ，||2AB AC -=u u u r u u u r

，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且

()1AM AB AC ?+=u u u u r u u u r u u u r ，则||AM u u u u r

的取值范围是．

12．如图，在三棱锥S —ABC 中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3， M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，则三棱锥S —ABC 的外接球的体积为 .

13. 定义在R 上的函数f （x ）满足),(2

)3(,1)1()(,0)0(x f x

f x f x f f =

=-+=且当1021≤<≤x x 时，有)()(21x f x f ≤，则)2014

(

f 的值为__ __. 14．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112

a b c

+=，则称a 、b 、c 是调和的；若

满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。已知集合{}2014M x x x Z =

≤∈，，集

合P 是集合M 的三元子集，即{}P a b c M =?，，。若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。则不同的“好集”的个数为．

2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二答题卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）

9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________ 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必

要的解答过程）

15、设函数()sin 1f x x x =+，（I ）求函数()f x 在[0,

上的最大值与最小值；

（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求a

b cos 的值．

16．已知函数2

()1f x x a x =+-，a 为常数．

（1）当2a =时，求函数()f x 在[0,2]上的最小值和最大值；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．

S是数列{}n a的前n项和，且n a是n S和2的等差中项．17．设

（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ；

（3）设212222*n

n M n N T T T =+++∈()L ，求证：1324

M ≤<．

2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二试卷参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）

9.______4________________ 10._____ [_______________ 11.______1(,1]2_______________ 12._____

92π

________________________

13._____1

128

__________ 14.______1006_______________________

四、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必

要的解答过程） 15. 解：（I ）由条件知()2sin()13

f x x π

=++，

由02x π

≤≤

知，

5336x π

π≤+

≤

，于是1sin()123x π

≤+≤

所以2x π=时，()f x 有最小值1

2122

?+=；

当6

x π=

时，()f x 有最大值2113?+=．（4分）

（II ）由条件可知

2sin()2sin()133

a x

b x

c a b ππ

+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333

a x

b x

c b x c a b π

ππ

++?-+?++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033

a b c x b c x a b π

+?+

-?+++-=

∴ cos 0

sin 010a b c b c a b +=??

=??+-=?

由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。

若0b =时，则由cos 0a b c +=知0a =，这与10a b +-=矛盾！若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），cos 1c =-，解得π)12(,21+==

=k c b a ，所以，1cos -=a

b ．（10分） 16. 解：（1）当2a =时，2

222,1,()2122,1,x x x f x x x x x x ?+-≥?=+-=?-+

(1)3,1,

(1)1,1,

x x x x ?+-≥?=?-+

所以当[1,2]x ∈时，max min [()]6,[()]1f x f x ==

当[0,1]x ∈时，max min [()]2,[()]1f x f x ==

所以()f x 在[0,2]上的最大值为6，最小值为1。 (5分)

（2）因为22,1,

(),1,

x ax a x f x x ax a x ?+-≥?=?-+

2(),1,24(),1,24a a x a x a a x a x ?+--≥??=??--+

所以当1x ≥时，()f x 必单调递增，得12

-≤即2a ≥- 当01x ≤<时，()f x 亦必单调递增，得02

≤即0a ≤

且2

11a a a a +-≥-+恒成立

故所求实数a 的取值范围为[2,0]-。 (10分) 17. 15.（1）∵n a 是n S 和2的等差中项，

∴22n n S a +=， ① 当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当2n ≥时，

1122n n S a --+=. ②

①－②得1122---=-n n n n a a S S (

)

2,*

≥∈n N n ， ∴122--=n n n a a a 。 ∴12-=n n a a 。 ∴

=-n n

a a ()2n ≥. ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴n

n a 2

=()2n ≥.

当1n =时，1

122a ==，符合上式，

所以数列{}n a 的通项公式为2n

n a =()

*n ∈N 。………………………………………3分

（2）由i a 和j a 的所有可能乘积2i j i j a a +?=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 112+，122+，132+，…，()

112n +-，12n + 222+，232+，…，()

212n +-，22n + 332+，…，()

312

n +-，32n +

……………… 2n n

构造如下n 行n 列的数表：

112+，122+，132+，…，()

112

n +-，12n + 212+，222+，232+，…，()

212n +-，22n +

312+，322+，332+，…，()

312

n +-，32n +

………………

12n +，22n +，32n +，… ，()

n n +-，2

n n

设上表第一行的和为T ，则()()41242112

n n T -==--.

于是(

)()2

4221222

22n n n T T -=++++++++L L

()()

()

22414212141

n n n -=-?-+

-()()1821213

n +=

--. ∴()()1421213

n n T +=

-?-.…………………………………………………………8分（3）∵()()1421213

n n T +=

-?-， ∴()()112323114212142121n n n n n n n T ++???==- ?---?-??

。

∴212222n

n M T T T =+++L

1223341

31111111

142121212121212121n n +??????????=

-+-+-++- ? ? ? ???--------??????????

L 1311421n +??=

- ?-??

. ∵1

213n +-≥，∴

113131244

21n +??≤-< ?-??. 即13

M ≤<。……………………………………………………12分

浙江省杭州市2018_2019学年高二数学上学期期末模拟试题

浙江省杭州市富阳区新登中学2018-2019学年高二数学上学期期末模拟试题一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．双曲线=1的渐近线方程为（） A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x 2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（） A．B．C．D． 3．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a ⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4．设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（） A．B．C．D． 5.对于曲线：上的任意一点P，如果存在非负实数M和m，使不等式恒成立为坐标原点，M的最小值为，m的最大值为，则的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 13 6．已知直线 l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（） A．B．C．6 D．4+2 8．已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则

的取值范围是（） A．[﹣8，﹣1] B．[﹣8，0] C．[﹣16，﹣1] D．[﹣16，0] 9．已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角为α，直线DA与平面ABC所成的角为β，直线DA与BC所成的角为γ，则（） A．α≥β B．α≤β C．α≥γ D．α≤γ 10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°， B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是（） A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线的一支二．填空题（共6小题,双空每空3分，单空每空4分，共30分） 11.直线的斜率为；倾斜角大小为______． 12.已知圆：, 则圆在点处的切线的方程是___________；过点（2，2）的切线方程是 . 13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，该几何体的表面积为cm2 14．已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．15．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于M，N两点．若|MF|+|NF|=4|OF|，则该双曲线的离心率为．16．在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，下列命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心； ③△ABC是锐角三角形其中正确的是（写出所有正确的命题的序号）

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写岀解答过程，请把答案直接填写在题纸相应位置上，） 1．直线x+y＝0的倾斜角为． 2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为． 3．已知A（﹣1，﹣3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为．（写成标准方程） 4．直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是． 5．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5＝0与l2：2x+（m+5）y﹣8＝0平行，则m的值为．6．经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是． 7．圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1关于直线x+y﹣1＝0对称的圆的方程是． 8．正三棱锥P﹣ABC中，若底面边长为a，则该正三棱锥的高为．9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题： ①若m?β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α； ③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有．（请将所有正确结论的序号都填上） 10．设点A（﹣2，3），B（3，2）若直线ax+y+2＝0与线段AB有公共点，则a的取值范围是．11．有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为（结果用π表示）． 12．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的两条切线，A，B 为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为． 13．△ABC的一个顶点是A（3，﹣1），∠B，∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是． 14．已知定点M（0，2），N（﹣2，0），直线l：kx﹣y﹣3k+2＝0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是．

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|