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空间点、直线平面之间的位置关系讲义与例题

平面

1、平面含义

师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示

师：在平面几何中，怎样画直线？

之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成

一个平行四边形，锐角画成450

，且横边画成邻边的2倍长（如图）

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）

课本P41 图 2.1-4 说明

平面有无数个点，平面可以看成点的集合。点A 在平面α，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α

2.1-4 3、平面的基本性质

教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。

师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面（教师引导学生阅读教材P42前几行相关容，并加以解析）符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α A ∈α

D C B A α α

β α β ·

B ·A α

L A

· α ·B

B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面

师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，

使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

空间中直线与直线之间的位置关系

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

（投影）

C ·

· A · α =>a ∥c P · α L

β 共面直线

让学生观察、思考：

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

1、判断题：

（1）a∥b c⊥a => c⊥b （）

（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （）

2、填空题：

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

（二）研探新知

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a ∩α=A a ∥α

2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：

（1）两个平面平行 —— 没有公共点

（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线

用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新容，这两种位置关系用图形表示为

α∥β α∩β= L

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

空间点、直线平面之间的位置关系单元测试

一、选择题

1. a,b 是两条异面直线，（） A ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一个平面与a ，b 都平行 B ．过直线a 且垂直于直线b 的平面有且只有一个

C ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都平行

D ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都垂直 2. a 、b 是异面直线，下面四个命题：

①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至少有一条直线与a 、b 都垂直；④至少有一个平面分别与a 、b 都平行，其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直

α β α β

线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )

A. 90° B .60° C. 45° D.30°

4、下面四个命题：

①空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等

②一个平面两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行

③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直

其中，正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

1. 已知直线m，n，平面β

α,，给出下列命题：

①若β

α⊥

⊥

⊥则

m；②若β

α//

//则

m；

③若β

α⊥

⊥则

m；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其中正确的命题的题号为 _______

2. 设l m n

、、是三条不同的直线，αβγ

、、是三个不同的平面，下面有四个命题：

①,

l l

βαβα

若∥∥,则∥；②,

l n m n l m

若∥∥,则∥；

③,l l

αβαβ

⊥⊥

若∥,则；④,,

l m

αβ

⊥⊥

若,.

l m

αβ

⊥⊥

则

其中假命题的题号为__________

3. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：

①AB与EF所在的直线平行；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°角；

④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是_____________

三、解答题

1. 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点

M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出l⊥面MNP的图

形的序号(写出所有符合要求的图形序号)

2. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=,

D是CB延长线上一点，且BD=BC.

（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；

E N A

F C B

（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.

3. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.

(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；

(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；

答案：

一、1.D 2.A 3.C 4.B

二、1.③、④ 2.①、③ 3.②、④

三、1. 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN 、NP 、MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP ．

解法1 作正方体ABCD －A 1B 1 C 1 D 1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA 1D 、EFGHKR 和CB 1 D 1都是对角线l (即 AC 1)的垂面．

对比图①，由MN ∥BA l ，MP ∥BD ，知面MNP ∥面BA l D ，故得l ⊥面MNP ．

C D E

对比图②，由MN 与面CB 1D 1相交，而过交点且与l 垂直的直线都应在面CB l D l ，所以MN 不垂直于l ，从而l 不垂直于面MNP ．

对比图③，由MP 与面BA l D 相交，知l 不垂直于MN ，故l 不垂直于面MNP ．对比图④，由MN ∥BD ，MP ∥BA ．知面 MNP ∥面BA 1 D ，故l ⊥面MNP ．对比图⑤，面MNP 与面EFGHKR 重合，故l ⊥面MNP ．综合得本题的答案为①④⑤．

解法2 如果记正方体对角线l 所在的对角截面为α．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP 在平面α上的射影为同一直线，且与l 垂直，故 l ⊥面MNP ．事实上，还可这样考虑：l 在上底面的射影是MP 的垂线，故l ⊥MP ；l 在左侧面的射影是MN 的垂线，故l ⊥MN ，从而l ⊥面 MNP ．

在图②中，由MP ⊥面α，可证明MN 在平面α上的射影不是l 的垂线，故l 不垂直于MN ．从而l 不垂直于面MNP ．

在图③中，点M 在α上的射影是l 的中点，点P 在α上的射影是上底面的点，知MP 在α上的射影不是l 的垂线，得l 不垂直于面 MNP ．

在图④中，平面α垂直平分线段MN ，故l ⊥MN ．又l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP 垂直，从而l ⊥MP ，故l ⊥面 MNP ．

在图⑤中，点N 在平面α上的射影是对角线l 的中点，点M 、P 在平面α上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l 与这一直线垂直．从而l ⊥面MNP ．

至此，得①④⑤为本题答案．

2. （Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.

又DB 1?平面AB 1D ，BC 1?平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，[来源:https://www.wendangku.net/doc/5516823486.html,]

∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，

∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，[来源:https://www.wendangku.net/doc/5516823486.html,] ∵BD=BC=AB ，

∴E 是AD 的中点， .2

1==AC BE

在Rt △B 1BE 中，

.32

3tan 11===∠BE

B B BE B ∴∠B 1EB=60°．即二面角B 1—AD —B 的大小为60°

（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=

,323323=? ∴ AF S V V C B B C BB A ABB C ?==?--111111113

.827233)323321(31=???=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.8

解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，111111111

C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S ---??==∴=

.827233)3434(313121111=???=?=

?AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.8

27 13.

(1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BD ì底面ABCD ，∴SA ⊥BD