绝对值不等式练习题
绝对值的不等式练习
班级 学号 姓名
1.不等式243<-x 的整数解的个数为( )
A 0
B 1
C 2
D 大于2
2.若两实数y x ,满足0
3.已知0,<+>b a b a ,那么( ) A b a > B b a 11> C b a < D b
a 11< 4.不等式13-<-x x 的解是( )
A 52< B 36≥x C 2>x D 32≤ 5.已知,b c a <-且,0≠abc 则( ) A c b a +< B b c a -> C c b a +< D c b a -> 6.不等式652>-x x 的解集为( ) A 1{- 7.若1lg lg ≤-b a ,那么( ) A b a 100≤< B a b 100≤< C b a 100≤<或a b 100≤< D b a b 1010≤≤ 8.函数22--=x x y 的定义域是( ) A ]2,2[- B ),2[]2,(+∞--∞ C ),1[]1,(+∞--∞ D ),2[+∞ 9.不等式b a b a +≤+取等号的条件是 ,b a b a +≤-取等号的条件 . 10.不等式x x ->+512的解集是 11.如果不等式21 1>x 同时成立,则x 的取值范围是 12.不等式x x x x ->-11的解是 13.函数x x x y -+=0 )21(的定义域是 14.不等式331≤- x 1< (2)321>++-x x 16.解不等式:x x +<-1log 2log 4141 17.已知 ,11<++b a a b ,求证:}{a 和}{b 中必有一个大于1,而另一个小于1. 18.使不等式a x x <-+-34有解的条件是( ) A 1>a B 1101< 10< D 3 b a ≥ 20.不等式组?????+-<+- x x x x 22330的解集是( ) A }02{<<-x x B }025{<<-x x C }06{<<-x x D }03{<<-x x 21.当10< 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1 x (x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个 数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t 的最小值为________． 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x ＋ 1 y 的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5 ，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 考向二利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a ＋ ca b ＋ ab c ≥a＋b＋c. ． 【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0， x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值 范围是________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)＝80 n＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b 的最小值是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 双基自测 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 不等式与不等式组综合检测题 一、选择题 1、下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ） A.1,35y y ?<-???>-? B.350,420x x ->??+? D.50,20,489x x x ->??+? 的解集是（ ） A ．3≤x B ．31≤ 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 双基自测 1 1．( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数 y ＝ x ＋ x ( x ＞0) 的值域为 ( ) ． A ．( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) B ．(0 ，＋∞) C ．[2 ，＋∞ ) D ．(2 ，＋∞) 2 a ；② a ＋b 2 ＋ 2 1 ≥ ，其中正确的个数是 ．下列不等式：① a ＋ ＞ ≤2；③ x 2 1 2 x 1 ab ＋1 ( ) ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ．若 a ＞ ，b ＞ ，且 a ＋ 2 b － ＝ ，则 ab 的最大值为 ( ) ． 3 0 0 2 0 B ．1 C ．2 D ． 4 ． ·重庆 若函数 f x ＝ x ＋ 1 x ＞ 在 x ＝ a 处取最小值，则 a ＝ ． 4 (2011 ) ( ) x －2 ( 2) ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 ．已知 t ＞ ，则函数 y ＝ t 2－ t ＋ 1 5 0 t 的最小值为 ________． 考向一 利用基本不等式求最值 1 1 【例 1】?(1) 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋y ＝1，则 x ＋y 的最小值为 ________； x 2 (2) 当 x ＞0 时，则 f ( x) ＝x 2＋1的最大值为 ________． 1 【训练 1】 (1) 已知 x ＞1，则 f ( x) ＝ x ＋ x － 1的最小值为 ________． 已知 ＜x 2 x － x 2 的最大值为 (2) ＜ ，则 y ＝ ________． 0 5 2 5 (3) 若 x ，y ∈ (0 ，＋∞ 且 2 x ＋ y － xy ＝ ，则 x ＋ y 的最小值为 ． ) 8 0 ________ 考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例 2】?已知 a ＞0， b ＞ 0， c ＞ 0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a ＋b ＋c. ． 不等式测试题 班级 姓名 学号 一．选择题（每小题2分，共20分） 1．如果2<-a ，那么下列各式正确的是（ ） A ．2-a C ．31<+-a D ．11>--a 2．已知b a >，则下列各式正确的是（ ） A ．b a -> B ．83-<-b a C ．2 2 b a > D ．b a 33-<- 3．若1 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()m i n a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立 ()m a x a f x ?>。 ()f x a ≥有解()m a x a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立 ()min a f x ?≤。 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 《不等式》单元测试卷 一、选择题 1．若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是 ( ) A ． 11a b > B ．22a b > C ．0a b +< D ．0ab < ； 2．不等式()()120x x -->的解集为（ ） A ．{} 12x x x 或 B ．{}|12x x << C ．{}21x x x --或 D ．{}|21x x -<<- 3．不等式102x x +-≤的解集为（ ） A ．{}|12x x -≤≤ B ．{}|12x x -≤≤ $ C ．{}12x x x ≤-≥或 D ．{}12x x x 或≤-> 4．已知集合2{|4}M x x =<，103x N x x ??+= C ．{|12}x x -<< D ．{|23}x x << 5．（上海市2019年1月春季高考）已知 ，则“”是“”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 6．“2a =”是“0x ?>，1x a x + ≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 — 7．下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若,a b c d >>，则a c b d ->- C ．若,a b c d >>，则ac bd ≥ D ．若a b <，则a b < 8．（2019年天津理)设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 【 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．若0,0a b >>，且1=+b a ，则b a 11+的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ` 10．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15] 11．（2019年浙江省）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 》 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b +-的最小值为（ ） A ．322+ B ．3242+ C ．322+ D ．1223 + 二、填空题 13．（2017年上海卷)不等式 的解集为________ # 14．（2018年北京卷文)能说明“若a ﹥b ，则 ”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 15．若0, 0,25a b a b >>+=，则ab 的最大值为________. 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：（1）函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________； 函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________； （2）函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x ≥2x ·1 x ＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1 ≥2 x 2＋1 ·1x 2＋1 －1＝1， 当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 例2：(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4x －1 的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1 ＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立． 答案：5 例3：(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4－x ＋ －x . ∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立． ∴f (x )＝2－???? ??4－x ＋ －x ≤2－4＝－2， ∴f (x )的最大值为－2. 例4：当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2 ＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 例5：函数y ＝x 2＋2x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1 ＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1 ＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1 ＝x －1＋ 3x －1＋2 ≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝ 3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号． 答案：23＋2 例6：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝ 1a －2x －x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2 . 第三章 章末检测(B) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1ab >ab 2 B ．ab 2 >ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2 >a 2．已知x >1，y >1，且14ln x ，1 4，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最大值e C ．有最小值e D ．有最小值e 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M 一元一次不等式练习题(经典版)
基本不等式练习题及标准答案
不等式练习题(带答案)
b 且a + b <0，则下列不等式成立的是 （ ） A ． 1>b a B ． 1≥b a C ． 1
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