连续函数在Legendre多项式下的最佳逼近
连续函数在Legendre多项式下的最佳逼近
摘要：函数逼近在数值计算方法中尤为重要，逼近未知函数求出的数值解有数值结果精度高、计算量少的优点，因此本论文结合Legendre多项式以及逼近理论对文中的课题进行研究。本文利用Legendre的重要性质以及多元函数极值的必要条件等基本概念，在基于Legendre多项式下，计算连续函数在给定区间的最佳平方逼近多项式。通过一个具体的例子，求出它的二次最佳平方逼近多项式，并证明我们所求得的多项式就是最佳平方逼近，从而总结出如何求连续函数在Legendre多项式下的最佳平方逼近多项式，再利用误差的定义求出逼近多项式的平方误差。最后通过MATLAB实现我们计算的结果。
关键词：最佳平方逼近；Legendre多项式；多元函数极值；误差
Optimal Approximation For Continuous Functions At
Legendre Polynomials
Abstract: function approximation is particularly important for numerical calculation methods. The numerical solutions obtained by approximating unknown functions have the advantages of high numerical result accuracy and less computation, so this paper studies the topic through Legendre polynomials and approximation theory. Using the important properties of Legendre and the necessary conditions for extreme values of functions of multiple variables, this paper calculates the best square approximation polynomials for continuous functions within a given range, using Legendre polynomials. Through a concrete example, the quadratic best square approximation polynomial of this function is obtained, and it is proved that the polynomial we get is the best square approximation, thus how to get the best square approximation polynomial of continuous function under Legendre polynomials is summarized, and then the square error of approximation polynomial is obtained by using the definition of error. Finally, MATLAB is used to achieve the results of our calculation.
Keywords: Optimal square approximation; Legendre polynomials; Extremum of function of several variables; Error
第一章 引言
1.1 函数逼近的背景及意义
函数逼近论是函数论中的一个及其重要的组成部分。其涉及到了函数的近似表示这一基本问题。给定一类函数，我们要在其中找出某个函数h,使得这个函数是已知函数在特定意义下的函数表示，并且求出因s近似表示已知函数而产生的误差。这便是函数逼近。
十八世纪初，函数逼近问题就已在研究工作中浮出水面，但当时人们并不具备与函数逼近问题相关的理论基础。直至十九世纪中，人们在实际问题研究中才开始重视函数逼近的研究。
1859年,俄国数学家Chebyshev提出最佳一致逼近的误差分析为均匀的,为接下来更深层次的研究奠定了基础, Chebyshev还提出了最佳逼近的概念，并与他的学生研究得
出了很多重要的结果。1885年，德国数学家Weierstrass在研究多项式一致逼近连续函数时证明了一条定理：Weierstrass定理。这正好也贴合了Chebyshev的基本思想。因此可以说Chebyshev与 Weierstrass都是函数逼近论现代发展的奠基者。二十世纪上叶,Farwal等人对最佳逼近以及精度问题进行了研究,取得的成果对定量研究逼近问题具有一定的推动作用。
而利用均方误差最小作为度量标准，研究连续函数的逼近多项式，就是我们所要讨论的最佳平方逼近问题。这是常用的函数逼近的方法，也是本文所要用到的逼近方法。
1.2 Legendre多项式及其研究意义
早在1785年，Legendre通过Schmidt正交化提出了一类多项式，并称为Legendre多项式。而Legendre多项式在之后的函数逼近论中成为了特别有用的数学工具。
数学上，Legendre函数是指Legendre微分方程的解，而Legendre方程的解可以写为一标准的幂级数的形式 。当|x|<1时，方程可得有界解，且当n为非负整数时，方程在x=±1处也有有界解。随n的变化，方程的解也相应的发生变化，所构成的一组由正交多项式组成的多项式序列便是Legendre多项式。
随着更深入的研究，人们发现用整数幂的多项式逼近某些函数有一定的局限性，之后广义的拟Legendre多项式函数便被提出，随着小波分析的发展，又提出了正交的小波基函数，并将其应用于数值计算问题并得到了理想的效果。根据不同类的函数，需选取恰当的Legendre函数逼近。因此Legendre正交多项式在逼近函数方面的具有很高的研究价值。
第二章 符号说明与预备知识
2.1 符号说明
符号 意义
C[a,b] 在闭区间[a,b]中的连续函数
(f,g) 内积
spanM M中任意有限个向量的线性组合构成的集合
inf 下确界
||*|| 范数
2.2 预备知识
2.2.1 范数与内积空间
定义1.1 设在区间(a,b)上，若非负函数 满足：
① 存在；
②对于 ，若 则在区间[a,b]内有
则称 是区间(a,b)上的权函数.
定义1.2 设 是区间[a,b]上的权函数. 则我们把积分
称为 与 在区间[a,b]上的内积，并记为 .
定理1.1 内积的四条性质
（1） ；
（2） ；（ 为常数）
（3） ；
（4） ，当且仅当 时，有 ；
定义1.3 设函数 则称数
为 的Euclid范数.
定义1.4 满足内积定义的函数空间称为内积空间.
定义1.5 若函数 且满足
那么我们称 .
2.2.2 函数的最佳平方逼近
定义1.6 对于在区间[a,b]上的一个连续函数 ，以及在C[a,b]上的一个子集 ,如果存在 ，使得
(2.2.1)
则称 是 在子集H上的最佳平方逼近函数.
2.2.3 Legendre多项式及其性质
定义1.7 在区间[-1,1]上并且权函数 的时候，由 正交化所得的多项式称为Legendre多项式,我们用 表示.Legendre多项式的简单表达式为：
接下来我们看
几个所要用到的Legendre多项式的重要性质
定理1.2 Legendre多项式的性质
正交性
证明：令 ,则有：
假设函数 是区间[-1,1]上的n阶连续可微函数，我们利用分部积分的方法，可求得：
然后再分情况讨论：
i．如果多项式Q(x)的次数小于n时，有 ,因此当 时，有：
即
ii．若 时，有：
因此
又因为
故当m=n时，有
故
.
奇偶性
证明：因为 是偶次多项式，过奇次求导后为奇次多项式，偶次求导后仍为偶次多项式，因此n为奇数是 为奇函数,n为偶数是 为偶函数.
递推关系
证明：我们考虑n-1次多项式 ， 可表示为：
我们给上式两边同时乘以 ，并且在区间[-1,1]上作积分，得
当 时， 的次数小于等于 ，由Legendre多项式的正交性可知上式左端的积分为0，因此可得 ，故
当 时， 为奇函数，左端积分在对称区间[-1,1]上的值为0，因此 ，故有
（2.2.2）
其中
因为
令
则
因此
故
则
，
同理
.
将所求 的值代入（2.2.2）式中，化简得：
2.2.4 多元函数极值的必要条件
定理1.3 设函数 在点 处取得极值，且 在点 处可偏导，则
第三章 求连续函数的最佳平方逼近
3.1 问题的提出
基于Legendre多项式，我们要找到一个连续函数的最佳平方逼近函数，首先我们以一个简单的例子来讨论：在子集 中，求出函数 在区间[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式.
3.2 求出2次Legendre多项式
n次Legendre多项式为
因为Legendre多项式有递推关系：
且 ，
故有：
也可直接利用MATLAB计算出Legendre多项式（见附录1）
3.3 求函数f(x)的最佳平方逼近多项式S(x)
设函数 的最佳平方逼近多项式为
由(2.2.1)可知，我们要求 的最佳平方逼近即求多元函数
的最小值，由于 是关于 的二次函数，故由多元函极值的必要条件
即
可得出
于是有
这是一组关于 的线性方程组，
即
（3.3.1）
由于 是线性无关的，所以上式的系数行列式 ,也就是说上述方程组有唯一解 .
从而有
又因为Legendre多项式是正交多项式，即
因为
在上式两端同乘以 ，得：
又因 ，故求得
（3.3.2）
将 代入上式中，利用MATLAB实现（程序见附录2），求出 ，进而得函数的最佳平方逼近多项式，程序运行如下：
>>clear
>>pingf_main
回车得
Sx
=0.99655861 - 0.46526289*x^2
即得函数f(x)的最佳平方逼近多项式为
（图中粗线部分为原函数，细线部分为逼近函数）
3.4 证明所求得的S(x)是f(x)的最佳平方逼近多项式
要证S(x)是f(x)的最佳平方逼近多项式，即证对于任意的T(x)∈H, 有：
我们令
只需证K(x)≥0.
因为
又因为 的系数 是方程组（3.3.1）的解，所以有：
从而可知
故
即
也就证明了 是 在H中的最佳平方逼近多项式.
3.5 误差
误差又称逼近度，衡量了函数g对已知函数?的近似度。在此，我们利用抽象度量空间内的度量概念来求逼近函数的误差值。
令误差为R，则有
因此
利用MATLAB程序（见附录3）计算可得平方误差，程序运行如下：
>> clear
>> wucha_main
回车得
rx =
0.000018400085
即得S(x)近似表示已知函数f(x)而产生的平方误差为：
例题
通过上例，我们得出了如何在Legendre多项式下求连续函数的最佳平方逼近多项式的方法，现在我们利用所得方法来求解新的问题。
例：，设 ，在区间[-1,1]上，求出 的三次最佳平方逼近多项式.
解：利用Legendre多项式的递推公式求多次Legendre多项式
令 为函数 的最佳逼近多项式
由（3.3.2）式可得
．
将所求的系数代入多项式中化简可得，函数 的三次最佳平方逼近多项式为
第四章 总结
通过对问题的分析，可知求连续函数f(x)的最佳平方逼近多项式即求一个多元函数的最小值，利用多元函数极值的必要条件，最终将问题化成一个关于c_1,c_2 〖,c〗_3的线性方程组，求解方程组即可得最佳逼近多项式的系数，进而可得函数的最佳平方逼近多项式。而在基于Legendre多项式下的函数逼近，因Legendre多项式具有正交性，故可直接求得最佳逼近多项式的系数，进而求出最佳逼近。通过对该算法的应用，我们对函数的最佳平方逼近有了一定的了解，而且Legendre多项式具有收敛速度快和误差较小的特点，因此对于解析比较复杂或未知的情况,可利用Legendre多项式进行平方逼近。
函数逼近论作为现代数值计算方法中的经典理论之一,与函数论、泛函分析、计算数学、微分几何等其它分支都有着紧密的联系。而多项式逼近理论作为函数逼近论的一个重要分支，具有计算简单与结构明了的优点,故对其作积分或者微分相对容易，其误差较小以及收敛速度快的优点，使多项式逼近在较为复杂的情况中广泛应用。因此，无论实在数值近似理论还是地质勘探，无线电等其他生活领域都有着广泛用途。