高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.2~02《椭圆及其标准方程》(人教A版选修2-1)
课题：椭圆及其标准方程
课时：02
课型：新授课
教学目标：
1.知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。
3.情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。
4.能力目标
（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
教学过程：
（1）预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？
〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆
（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点
设为M 时，椭圆即为点集P ={}
12|2M MF MF a +=．
（ii ）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；
第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22
2210y x a b a b
+=>>． （iii ）例题讲解与引申
例1 ：
已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22??-
???
，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法
来解．
另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22??- ???
在椭圆上，
则22222591444a a b b a b ??+==?????=???-=?
例2：如图，在圆22
4x y +=上任取一点，过点作轴的垂线段PD ，为垂足．当点在圆上运
动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
x
分析：点在圆22
4x y +=上运动，由点移动引起点M 的运动，则称点M 是点的伴随点，
因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点来表示，从而能求点M 的轨迹方程． 引申：设定点()6,2A ，是椭圆22
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x y +=上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；
②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴11
2622x x y y =-??=-?；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22111259x y +=，∴点M 的轨迹方程为()()223112594
x y --+=；④伴随轨迹表示的范围．
例3：
如图，设，的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相
交于点M ，且它们的斜率之积为49
-，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用
含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49
-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．
解法剖析：设点(),M x y ，则()55AM y k x x =
≠-+，()55BM y k x x =≠-； 代入点M 的集合有
4559
y y x x ?=-+-，化简即可得点M 的轨迹方程．
引申：如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ?=，
且0k <，试求动点C 的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k 值在变化时，线段AB
的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
练习：第48页1、2、3、4
作业：第49页2、3
教学反思：轨迹问题中的去除点问题，注重几何条件的应用。