高中物理力学综合试题和答案
物理竞赛辅导测试卷（力学综合 1）
一、（10分）如图所时，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿竖 直固定杆运动，开始时，
A 、
B 均静止，B 球在水平面上靠着固定杆，
由于微小扰动，B 开始沿水平面向右运动，不计一切摩擦，设 A 在下
滑过程中机械能最小时的加速度为
a ，则a= ________________ 。
二、 （10分）如图所示，杆0A 长为R,可绕过0点的水平轴
在竖直平面内转动，其端点 A 系着一跨过定滑轮 B 、C 的不可伸 长的轻绳，绳的另一端系一物块
M,滑轮的半径可忽略， B 在0
的正上方，0B 之间的距离为 H,某一时刻，当绳的BA 段与0B 之 间的夹角为a 时，杆的角速度为 3 ,求此时物块 M 的速度V M
三、 （10分）在密度为 p 0的无限大的液体中，有两个半径 为R 、密度为p 的球，相距为d ,且p > p o ,求两球受到的万有 引力。
四、（15分）长度为I 的不可伸长的轻线两端各系一个小物体, 动。在某一时刻质量为 m i 的物体停下来，而质量为 m 的物体具有垂
直连线方向的速度 v ,
求此时线的张力。
五、 （15分）二波源B C 具有相同的振动方向和振幅， 振幅为0.01m ，初位相相差n,相向发出两线性简谐波，二 波频率均为100Hz ，波速为430m/s ，已知B 为坐标原点, 点坐标为
x c =30m ,求：①二波源的振动表达式；②二波的表 达式；③在 B C 直线上，因二
波叠加而静止的各点位置。
六、 （15分）图是放置在水平面上的两根完全相同的轻 质弹簧和质量为m 的物体组成的振子，没跟弹簧的劲度系数均为 上，另一端与物体相连，物体与水平面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为□。当弹簧恰 为原长时，物体位于 O 点，现将物体向右拉离 O 点至X 0处（不超过弹性限度），然后将物 体由静止释放，设弹簧被压缩及拉长时其整体不弯曲，一直保持在一条直线上，现规定 物体从最右端运动至最左端（或从最左端运动至 最右端）为一个振动过程。求：
（1）从释放到物体停止运动， 物体共进行了多 少个振动过程；（2 ）从释放到物体停止运动，物 体共用了多少时间？（
3）物体最后停在什么位
置？ （ 4 ）整个过程中物体克服摩擦力做了多少 功？
七、（15分）一只狼沿半径为 R 圆形到边缘按逆时针方向匀速 跑动，如图所示，当狼经过
A 点时，一只猎犬以相同的速度从圆心
出发追击狼，设追击过程中，狼、犬和
O 点在任一时刻均在同一直
线上，问猎犬沿什么轨迹运动？在何处追击上？
k ,弹簧的一端固定在墙
它们沿光滑水平面运
v
O X 0
八、（15分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，
通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中两个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M两者相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆
周运动。（1）试计算该双星体统的运动周期T计算，（2）若实验上观测到的运动周期为T观
T观测：T计算=1: N （N >1）。为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行
测，且
的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
九、（20分）一半径为R=1.00m的水平光滑圆桌面，圆心为0,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C,如图所示，一根
不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为m=7.5
x 10-2kg的小物体，将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直，大小为Vo=4.Om?s」得初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上，已知当绳的张
力为T =2.0N时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动。
（1）问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少？（ 2 ）若绳刚要
断开时，桌面圆心0到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂
直，问物块的落地点到桌面圆心0的水平距离为多
少？已知桌面高度H -0.80m。物块在桌面上运动时未与立柱相碰，取重力加速度大
小为10m s J
十、（25分）如图所示为一半径为R的实心均质球，在朝地板下落之前球的质心静止,
但球绕着过质心的一条水平轴自转，角速度为「0,球上的最低点距地板的高度为h,将
球释放后，它因受重力而下落且被弹回到最高点高度等于 a h处。球与地板相碰时的形
变可以忽略，设球与地板之间的滑动摩擦系数为已知量■-■■；.；,假定球在真空下落，且碰撞时间为有限小量。
球的质量与重力加速度分别记为m和g,球绕过质心的
2
轴的转动惯量为| mR2。求：（1）反弹偏向角
5
的正切值；（2）球在第一次与地板碰撞后到第二次碰撞前，它的
质心通过的水平距离。
物理竞赛辅导测试卷参考答案（力学综合）
、解：A B 组成的系统机械能守恒，
最初E B =0，最后E B =0，对B 物体，某一位置总有杆对它作用力为零 则该处E B 最大，此时E A 最小
、解：将两球心分别记为 O O ，若只有球0单独处于无限大液体中，其受的合引力为
如果将球0/放回原处，相当于用密度为 p 的球代替p 0的同体积液体
因为「0 ?匚
代替的结果使 0处的质量增加 Am 二红：R 3（「- ^）
3
4
Q _ 因球O 的质量为m
R ;
3
则球o 将受到来自球0的引力
故两球的相互引力为
16二 2
GR 6 蓄—亍0)
9d 2
选择与质心相连的坐标系
四、解：该系统的质心位于连线上，与第一个物体距离 R i
m 1l m 1 m 2
，并以速度
V 。二
m 2v m 1 m 2
相对于平面运动
故 a = g
二、解：速度分解如图所示
设M 物体的运动速度为 V M
有
V
M =V
cos : = R cos : 由几何关系有
H R cos : sin 二
得 cos -=
H sin .：:
R
所以M 物体的速度为 v M - H sin 二
2
对第一个物体F^R1
2
m i m2v
将R、V o代入得
(m i m2 )1
五、解：设B点初位相=0，由题意知C点初位相■-=-：
而=2 二-200 二rad/s
B点的振动方程为y B =0.01cos200二t
C点的振动方程为y C =0.01cos（20^ t）
取B点为坐标原点，BC为x轴正向，则波的表达式为：
x
y B = 0.01cos200二（t ）
430
30 —x
y c = 0.01cos[200二（t ）二]
430
在BC线上两波叠加为：
200兀y = y B y C = 0.01cos（200二t -6.48二）cos（ x 6.48二）
430 在x轴上合振动的位移为零，满足
200 二
cos（ x 6.48：） = 0
430
即0.465二x 6.48二-（2k 1）?二/2
得x =2.15k—12.86 （m）（k =6,7,8, 19）
因为只有0 — X — 30才是二波叠加区（x<0无B波，x>30无C波）
六、解：（1）振子每次全振动的平衡位置与O的距离为
2kl° 二" mg 则I。mg
2k
当x。：：：I。时，振子不振动
当X0 - I0时，振子振动规律如下：
振子的振动相对平衡位置是简谐振动，故关于平衡位置对称
每振动一次与原点距离减小
210
故n 次振动后距离为
L n =x 0 -2nl 0
当L n 空I 。时，振子将停止
即：X 。一2nl 。岂丨。
X 。一1。
21。
所以振动次数为：
X 。一丨。 X 。+I 。 N "nt （
2I 。 "Int 2I 。
（ Intf 为 f 的整数部分）
所以振动时间为
（3）以0点为原点建立坐标系，取向右为正方向 振子停止的位置在 x = （-1）N （X 。- 2NI 。）
（4）振子每次振动过程经过的路程为
s n =2（x 。70-2nl 。）
所以N 次振动过程的总路程
S N =2N （x 。-NI 。）
克服摩擦力做功为
W =2kI °S N =4kNI °（x 。-NI 。）
七、解：有题设条件狼、犬速度相等可知，
v 二V 。，
并且在追击中任意瞬间， 狼、犬在（如图所示的B 、 C 点）在一直线上，即v JI v 0 ,且始终有
v r _ CD ，其中=—=V
°
r R
即v :与 v 。的“速端”在一条直线上
（2）振子振动周期
B
A
所以.■:Cv r V o s .：：OCD ，即：? = = . t 设犬运动的距离为 OC = r ，而OC 二Rsi
?t ，所以r = Rsin t o
下下
故犬沿半径为一的圆弧，在t
时刻位于r = R 处，即在
的b 点追上狼。
2 2v o
2
犬的运动亦可分解为两个分运动来求解。
八、解：(1)双星均绕它们的连线中点做圆周运动，设运动速率为
v ,向心加速度满足下
(2)根据观测结果，星体的运动周期
_ 1 T 观测
T 计算：:：T 计算
v'N
故它一定还受到其他指向中心的作 均匀分布在
球体内的暗物质对双星
M 位于中心处的质点相同。 考虑暗物质
V 观，则有：
M 竺
L/2 L 2 (L/2)2
G(M 4M /) V 2L
因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由④式得
-------- ⑦
V o R V r
..R 2 -r
2 2
面的万程：
GM
V
「2L
周期：T 计算二
2 (L/2)
二二
V
2L
这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力， 用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质, 系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 作用后双星的速度即为观察到的速度
--------- ⑥
由几何关系，物体落地地点与桌面圆心
O 的水平距离s 为
带入数据得 s = 2.5m 十、解：
（1）碰撞前平动动能应等于球的重力势能的减少量，因此碰撞前球心下落速
度V o 满足：
把②、⑥式代入⑦式得 设所求暗物质的密度为
4 L 3
4
二（上）3
— 3 2
故；^3（N -1）3M
2兀L
/
N -1 R” M M
4
P ,则有
I M
4
九、解：1.因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的, 故在绳断开
前，物块在沿桌面运动的过程中，
其速度始终与绳垂直，
不做功，物块速度的大小保持不变，设在绳刚要断开绳的部分的长度为 快速度的大小为V x ，则有
绳的张力对物块
x ，若此时物
V
x - V 0
(1)
绳对物块的拉力仅改变物快速度的方向，是作用于物块的向心力,
故有
2 2 mv x mv 0 T
x
(2)
由此得
2
mV o x =
(3)
x = 0.60m
带入数据得
2.设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的
绳的伸直部分，物块速度V o 的方向如图解所示, 意可知，OBL BP,因物快离开桌面时的速度仍为 物块离开桌面
后便做初速度为 运动经历的时间为t 则有 H =lgt 2
2a
物块做平抛运动的水平射程为
S 1 = V 0
t
(6)
R 2 -x 2 丫 x 2
解（5）、（ 6）、（ 7）式，得 s
vJ 2
H
+J R 2—X
「
g
2
+ x 2
(4)
P 点,
V o 的平抛运动。
(7)