2018年河北省保定市高三摸底考试数学试卷(理科)

2018年河北省保定市高三摸底考试数学试卷（理科） 考试时间：120分钟 分数150分 10月31日

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1.

设{A x y ==，{}ln(1)B x y x ==+，则A B =（ ）

A.{}1x x ≠-

B.{}1x x <

C.{}11x x -<≤

D.R 2.若(2)a i i b i -=+（,a b R ∈），则a

b

=（ ） A.2 B.

1

2

C.1

D.1- 3.已知:0p a <，2:q a a >，则p 是q 的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.即不充分也不必要条件 4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A.4 B.5 C.8 D.15

5.若命题“0x R ?∈，2

00230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）

A.[2,6]

B.[6,2]--

C. [2,6]

D.(6,2)--

6.设x 、y 满足约束条件20

21001x y x y x -≤??

+-≤??≥?

，设向量(2,)a y x m =-，(1,1)b =-，若//a b ，则m

的最大值为（ ）

A.6-

B.6

C.1

D.1-

7.已知函数1

()f x x x

=-，则函数()y f x =的大致图像为（ ）

A. B. C. D.

8.一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(,)S l 的序号是（ ）

①(1,4) ②(6,8) ③(7,12) ④1

(3,)2

A.①③

B.①③④

C.②④

D.②③④

9.若函数()f x 在0x =处没有定义，且对于所有非零实数x ，都有1

()2()2f x f x x

+=，则函

数()()()g x f x f x =--的零点个数为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.0 10.数列{}n a 的通向公式1

sin(

)12

n n a n π+=+，前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A.1232 B.3019 C.3025 D.4321 11.下列说发：①命题“0x R ?∈，020x ≤”的否定是“x R ?∈，20x >”；

②函数1sin()24y x π=-+在闭区间[,]22

ππ

-上是增函数；

③函数2y =

的最小值为2；

④已知函数()1x

f x x

=

+，则(1,)k ?∈+∞，使得()()g x f x kx =-在R 上有三个零点。 其中正确的个数是（ ）

A.3

B.2

C.1

D.0

12.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4米，沿AC 折叠使B 到'B 位置，'AB 交DC 于P ，研究发现，当ADP ?的面积最大时最节能，则最节能时ABCD 的面积为（ ）

A.3-

1) D.2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.若点(3,27)在函数x y a =的图像上，则log 81a =____________ 14.设0.11.1a =，ln 2b =

，1

2

log c =,,a b c 的大小关系式____________ 15.ABC ?中，若AC ，CB ，BA 成等比数列，BA BC ?，AB AC ?，CA CB ?成等差数列，则角A =____________

16.已知定义域为R 的函数()f x ，满足如下条件：

①对任意实数,x y 都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=；②(0)0f =，()12

f π

=；

则(2)(2)()4

f x f x f π

ππ++--=____________

三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17.（本小题10分）

已知函数()sin()f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，πφπ-<<，x R ∈）在一个周期内的部分对应值如下：

（1）求（2）求函数1

()()2sin 2

g x f x x =-的最大值及其对应的x 的值

18.（本小题12分）

已知公比为q 的等比数列{}n a ，满足13123a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项 （1）求q ；

（2）若2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S

在ABC

?中，设,,

A B C的对边，若

a b c，分别为内角,,

222

--=-

sin cos sin sin sin cos2

C B A A B B

（1）求C

（2）若D为AB中点，c=3

?的面积S

CD=，求ABC

20.（本小题12分）

已知函数2

x=

=+--的一个极值点为1

()(2)ln

f x bx a x a x

（1）求1

x=的值

（2）若()

f x在区间(1,)e上存在最小值，求a的取值范围

已知点(1,0)A ，(0,1)B 和互不相同的点1P ，2P ，3P ，

，n P ，

，满足n n OP a OA b OB

=+（n N *∈），其中{}n a 、{}n b 分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若112AP PB = （1）求1P 的坐标； （2）试判断点1P ，2P ，3P ，，n P ，

能否共线？并证明你的结论

22.（本小题12分）

已知函数()ln(1)ln(1)f x a x b x a b =+--+-，在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x = （1）求()f x 的解析式；

（2）求证：当(1,0)x ∈-时，3

()3

x f x x <+；

（3）设实数k 使得3

()()x f x k x x

<+对(1,0)x ∈-恒成立，求k 的最大值

2018年保定市高三摸底考试

理科数学试题答案

一、选择题：DBDCA BDABC CC

二、填空题：13. 4 14． a b c << 15.

3π 16. -2

16. 解析：取x=0，则得f(y)+f(-y)=0,即函数f （x ）为奇函数；取y=

2π，则得f(x+2

π

)+f(x-

2π)=0,所以函数f （x ）的周期为2π；再取x=y=4π

得()+(0)=2()cos ,(2444f f f f ππππ∴，

又由于函数f （x ）为奇函数，所以(+2)+(2)(

)=4

f x f x f π

ππ---

. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10分）

解：（1）由表格可知，A=2，………………………1分

()f x 的周期()22

T ππ

=

--=π， 所以22ωπ

=

=π

. ………………………3分 又由()2sin 202??+=，所以2

?π=

. 所以()2sin(2)2cos 22

f x x x π=+=. ………………………5分

（2）21

()()2sin cos 22sin 12sin 2sin 2

g x f x x x x x x =

-=-=-- 213

2(sin )2

2

x =-++

.………………………7分 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =-

时，()g x 有最大值32

； 因为1

sin 2

x =- 所以72266x k x k ππππ=-=+或……………10分

18（12分）

解:（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，

依题意，有???+=+=+).2(2,

32342231a a a a a a 即21132

11(2)3,()2 4.a q a q a q q a q ?+=?+=+?①②

…………3分

由①得 0232=+-q q ，解得2=q 或1=q 代入②知1=q 不适合，故舍去. …………6分

（2）当2=q 时，代入②得21=a ，所以，n

n n a 2221=?=-…………7分

22log 2log 22n n n n n n b a a n ===

23234+1222322222232(-1)22..................................10n

n n n n S n S n n ∴=+?+?++?∴=+?+?++?+?分

2

+12222n n n S n -=++-?两式相减得

所以

22)1(1+-=+n n n S ……………………………………………12分

19. （ 12分）

解：（1）由题意得

由正弦定理得 --------------------------------------3分

即 由余弦定理得

所以-----------------------------------------------------------------------6分

（2）法1：由题意-----------------7分

即

所以 故ab=6--------------------------------------11分

所以

--------------------------------------12分

法2：在△ABC 中，-----------------7分

在△ADC 和△BDC 中，由余弦定理得：

22222121)2142

b ADC

a ADC ADC a

b π=-∠=--∠=+∠∴+= B B A C A 2

22sin sin sin sin sin +=+-2

22b ab c a +=+-ab c

b a -=-+2

2221cos -

=C =C ?12048cos 2222

=-+=C ab b a

c

6==+36cos 222

=++b C ab a

12cos 4-=C ab 233sin 21==

C ab S 48cos 2222

=-+=C ab b a c

2248a b ab ∴++= 故ab=6 --------------------------------------11分

所以

--------------------------------------12分

20. （12分）解：（1）'()2(2)a

f x bx a x

=+--

(0)x >………………2分 因为1x =函数()f x 的一个极值点，所以'(1)220f b =-=. 所以 1.b = …………………………………………4分

（2）函数2()(2)ln f x x a x a x =+--的定义域是），（∞+0. 22(2)'()2(2)a x a x a

f x x a x x

+--=+--=

， (0)x > 令0)('=x f ，即(1)(2)'()0x x a f x x -+=

=，12

a

x =-或. ……………7分

当12

a

-

≤，即2a ≥-时，)(x f 在（1，e ）上单调递增，没有最小值……………9分 当1,-222

a

e e a <-

<<<-即时， )(x f 在（1，e ）上存在最小值()2

a

f -；………………………………………11分

当2

a

e -

≥，即2a e ≤-时，)(x f 在（1，e ）上单调递减，没有最小值 所以，-22e a <<- …………………………………………………………12分

21（12分）解：（1）设P 1（x ，y ），则11(1,),(,1)AP x y PB x y =-=--…………2分 由112AP PB =得12,22x x y y -=-=-，所以可得112

P (,)33

=…………………4分 (2)设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为q

233sin 21==

C ab S

若0=d 且1≠q ?

1P ，2P ，3P ，…，n P ，…都在直线1

3

x =上；………6分 若1=q 且0≠d ，?

1P ，2P ，3P ，…，n P ，…都在直线2

3

y =

上；………8分 若0≠d 且1≠q ，1P ，2P ，3P ，…，n P ，…共线

?1n n P P -=11(,)n n n n a a b b ----与111(,)n n n n n n P P a a b b +++=--共线（*,1N n n ∈>） 1()n n b b +?-=1()n n b b --1q ?=与1≠q 矛盾，

∴当0≠d 且1≠q 时，1P ，2P ，3P ，…，n P ，…不共线. ……………………12分

22．（ 12分）

解：（1）()ln(1)ln(1)f x a x b x a b =+--+-

所以()',11a b

f x x x

=

++-………………2分 由 ()'0,k f = 得2,a b +=

由 ()00,f = 得0,a b -= 解得 1.a b ==

所以()ln(1)ln(1).f x x x =+-- ………………3分

（2）原命题?()1,0,x ?∈- ()30.3x f x x ??

-+< ???

设()()()3ln 1ln 13x F x x x x ??

=+---+ ???

()42

2111'1,111x F x x x x x +=+--=+--

………………5分 当()1,0x ∈-时，()'F x 0>， 函数()F x 在()1,0x ∈-上单调递增。

()()00F x F <= ， 因此()1,0,x ?∈- ()3

3x f x x <+………6分

（3）31ln ,13x x k x x ??

+<+ ?-?

? 对()1,0x ∈-恒成立

? ()()31ln 0,1,013x x t x k x x x ??+=-+<∈- ?-?

?…………7分

()()()42

22

22'1,1,0,11kx k t x k x x x x

-+=-+=∈--- ………………8分 所以当(](),0,'0k t x ∈-∞≥ ， 且[]()0,2,'0k t x ∈≥恒成立

即2k ≤时，函数()t x 在()-1,0上单调递增， ()()00.t x t <=………9分 当2k >时，令()'0,t x = 解得()402

0,1k x k -=

∈

()0,1,0x ∈-取

(000,t x t >= 显然不成立.

综上可知：满足条件的k 的最大值为2. ………………12分