2016年春西南大学《数学教育学》(方法论)第一次作业答案(最新整理)

2016 年春西南大学《数学教育学》（方法论）第一次

作业答案

一、判定题：

1、杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要进行心理建构的，其经历的四个阶段是：

操作阶段→过程阶段→对象阶段→概型阶段。

参考答案：正确

2、中国古代数学的标志性著作是《九章算术》.

参考答案：正确

3、中国古代数学教育的主要目的是为了训练心智.

参考答案：错误

4、美籍匈牙利数学教育家波利亚关于解数学解题理论的三本代表作为：《发生认识论导论》、《中小学生数学能力心理学》和《合情推理》。

参考答案：错误

二、论述题：

1、简述二十世纪来，我国数学教育观的变化。

随着时代的发展和科学技术的进步，人们的学科教育观念也在变化。二十世纪来

我国数学教育观不断更新，主要表现在以下几个方面：(1) 由关心教师的"教”转向

也关注学生的"学”；(2) 从"双基”与"三力”观点的形成，发展到更宽广的能力

观和素观(3)从听课、阅读、演题，到提倡实验、讨论、探索的学习方式；；(4）从

看重数学的抽象和严谨，到关注数学文化、数学探究和数学应用。

2、按以下小题顺序要求，自拟课题设计一节渗透分类思想方法的数学教案。

中考专题复习之分类讨论思想在圆中的应用

教学目标：1、通过复习，使学生掌握通过分类讨论思想在解圆之类题中所起的作

用，并形成在解题时考虑多种情况的意识和能力。

2、通过复习，使学生全面熟悉圆中相关知识，掌握圆中相关的性质和定理，会通过性

质定理和数学公式进行解题。

教学重点：分类讨论思想在圆中的的各种类型

教学难点：分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析

教学过程：

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，

因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分

类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．

一、点与圆的位置关系不唯一性

例1 已知点P 是⊙O外一点，PA，PB 是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C 是⊙O

2 3 2 3 2 3 2 上的任意一点(不与 A ，B 重合)．若∠APB=50°，求∠ACB 的度数．

分析 解题时若对点 C 位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点 C 在优

弧与劣弧两种情况分类讨论．

解析 如图 1，连结 OA 、OB ，

∵P A ，PB 是⊙O 的两条切线，

∴∠PAO=∠PBO=90°．

∵∠APB=50°。

∴在四边形 PA OB 中，

∠AOB=360°一∠PA O 一∠APB 一∠PBO=130°．

1 ①若点 C 在优弧 AB 上，则∠ACB= ∠ AOB=65°；

2 1

②若点 C 在劣弧 AB 上，则∠ACB= ×(360°-130 °)=115°． 2

∴∠ACB 的度数为 65°或 115°．

变式 已知点 P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，点 C 是⊙O

上的任意一点(不与 A ，B 重合)．若∠APB=n °，求∠A CB 的度

数． 二、弦与弦的位置关系不唯一性

例 2 在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB= ，A C= ，求∠BAC 的度数．

分析 此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么

求得 15°，要么求得 75°．实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦 AB 与 CD 在圆心 O

的两侧与同侧两种情况讨论．

解析 如图 2，分别作 O D⊥AB ，O E⊥A C ，垂足分别是 D 、E ．

∵OD ⊥AB ，OE ⊥A C ，

∴AD=BD= ， 2

AE=BE ： ， 2

AD

∴cos ∠DAO=

= ， AO 2

AE

cos ∠AEO = = ， AO 2

∴∠DA O=45°，∠AEO=30°．

当 AB 与 CD 在圆心 O 的两侧时，

∠BA C=∠BAO+∠CAO=75°；

当 AB 与 CD 在圆心 O 的同侧时，

∠BA C=∠BAO-∠CAO=15°，

∴∠BAC 的度数为 15°或 75°． 变式 如图 3，已知 AB 是⊙O 的直径，AB=2，弦 AC= ，

3 在图中画出弦 AD ，使 AD=1，并求∠CAD 的度

数． 三、弦与它所对圆周角的不唯一性

例 3 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．

分析 多数学生只是求出 30。，而未能求出 150°，原因是学生对点与圆的位置关系、

弦所对的圆周角理解不透．一条弦(非直径)所对的弧有优弧和劣弧，一条弦所对的圆周角

有锐角和钝角两种情况，需要区分优弧和劣弧所对的圆周角进行计算．

解析 连结 OA 、OB ，

∵OA=OB=AB ，

∴△AOB 为正三角形，

∴∠A DB=60°．

当点 P 在优弧 AB 上时，

1

∠P= ∠A OB=30°； 2

当点 Q 在优弧 AB 上时，

∠Q=180°一∠P =150°．

∴弦 AB 所对的圆周角为 30°或 150°．

变式 1 已知点 O 为△ABC 的外心，若∠BOC=100°，求∠BA C 的度数．

变式 2 在半径为 4 的⊙O 中，弦 AB=4 ，求弦 AB 所对的圆周角的度

数． 变式 3

一条弦 AB 分圆成 1：4 两部分，

求弦 AB 所对的圆周角的度数．

四、直线与圆的位置关系不唯一性

例 4 直线l 上一点 P 到圆心 O 的距离是 5cm ，⊙O 的半径也是 5cm ，求直线l 与⊙的

位置关系．

分析 多数学生误以为圆心 O 到直线l 的距离为 OP ，即把直线l 上一点 P 当作垂足，

得出直线l 与⊙O 的位置关系是相切，出现漏解．

解析 (1)当 O P⊥ l 时，则圆心 O 到直线l 的距离为 OP ．

∵OP=5，R=5，

∴OP=R ，

∴点 P 到直线l 的距离等于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 相切；

(2)当 OP 不垂直直线l 时，圆心 O 到直线l 的距离小于 OP ，则直线l 与⊙O 相交．

∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交

变式 直线l 上一点P 到圆心O 的距离是a ，⊙O 的半径是 r ，并且a = r ，求直线l 与⊙O

的位置关系．

五、圆与圆的位置关系不唯一性

例 5 以点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别是 9 和 5， O 1 与这两个圆相切，求 O 1 的半径．

分析 由于两圆为同心圆， O 1 可能与小圆外切、与大圆内切， O 1 的直径等于两圆

的半径之差； O 1 也可能与小圆、大圆都内切， O 1 的直径等于两圆的半径之和(如图 5)．

202 +152 1

解析 当 O 1 与小圆外切、与大圆内切时，

O 1 的直径为

d 1 = R - r = 9 - 5 = 4

∴ r 1 = 2 ；

当 O 1 与小圆、大圆都内切时，

O 1 的直径为

d 1 = R + r = 9 + 5 = 14 ，

∴ r 1 = 7 ．

∴ O 1 的半径是 2 或 7．

变式 已知两圆相切，圆心距是 7，其中一圆的半径是 2，求另一圆的半

径． 六、在圆锥侧面展开图计算中的应用

例 6 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，Rt △ABC 的一边旋转一

周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积。

分析 题中只说明 Rt △ABC 的一边旋转

一周，而未说明具体是哪一边旋转，所以必须

分情况进行讨论．

解析 ∵∠A CB=90°，

AC=20，BC=l 5，

∴AB= = 25 ．

1

1

∴ 2 AB CD = 2

AC BC ， ∴25CD=20×1 5，

∴CD=l 2．

若绕 AC 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为 S = ?15? 25 +?152

= 600

；

若绕 BC 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为 S 2 = ? 20 ? 25 +

? 202 =900

；

若绕AB 旋转一周得到的几何体，则它的全面积为

S3=?12 ? 20 +?15?12 ．

= 420

∴绕Rt△ABC 的一边旋转一周得到一个几何体的全面积为

600或900或420．

变式在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，A C=12，BC=5，绕Rt△ABC 的一边旋转一周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积．

意图说明：在解有关圆的问题中，应让学生深刻掌握分类讨论思想，通过多种情况的展示，让学生明白分类讨论思想在圆中的多种可能并善于举一反三，触类旁通，使所遇类似问题都能获得圆满解答．

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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!