(完整版)导数与函数图像问题
导数与函数图像问题 1.函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是( ) 2.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f ' 在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和 ()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) 4若函数f (x )=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x )的图象是( ) A . B . C . D . 5.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f′(x ),且函数f (x )在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x )的图象可能是( ) A . B . C . D . a b x y ) (x f y ?=O
6.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数y=f(x)e x的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是() A.B.C.D. 7.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是() A.B.C.D. 8.已知函数y=xf′(x)的图象如上中图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是() A.B.C.D. 9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如上右图所示,则下列结论中一定成立的是()
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
函数与导数 1.已知函数 f(x) 4x 3 3tx 2 6tx t 1,x R ,其中 t R . (I)当t 1时,求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程; (n)当t 0时,求f (x)的单调区间; (川)证明:对任意的t (0, ), f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零 点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分 14分。 (I)解:当 t 1 时,f(x) 4x 3 3x 2 6x, f (0) 0, f (x) 12x 2 6x 6 f (0) 6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 6x. (n)解:f (x) 12x 2 6tx 6t 2,令 f (x) 0,解得 x t 或 x -. 2 因为t 0,以下分两种情况讨论: (1)若t 0,则- t,当x 变化时,f (x), f(x)的变化情况如下表: 所以,f(x)的单调递增区间是, | ;f(x)的单调递减区间是 屮 ⑵若 t 则t ,当 x 变化时, f(x)f(x) 的变化情况如下表: 所以,f(x)的单调递增区间是 ,t ,丄, ;f(x)的单调递减区间是 t,- 2 2
(川)证明:由(n)可知,当 t 0时,f(x)在0,1内的单调递减,在 -, 内单调 2 2 递增,以下分两种情况讨论: (1)当-1即t 2时,f (x)在(0,1)内单调递减, 2 f (0) t 1 0, f (1) 6t 2 4t 3 6 4 4 2 3 0. 所以对任意t [2, ), f(x)在区间(0,1 )内均存在零点。 t (0,1], f 1 7t 3 t 1 7t 3 0. 2 4 4 所以f(x)在-,1 2 内存在零点。 t 若 t (1,2), f - 7t 3 t 1 厶3 1 0 2 4 4 f(0) t 1 所以f(x)在0 2 所以,对任意t (0,2), f(x)在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意t (0, ), f(x)在区间(0,1)内均存在零点。 2.已知函数 f (x) 2 x 1, h(x) x . 3 2 (I)设函数 F (x ) = 18f (x ) — x 2[h (x )] 2,求F (x )的单调区间与极值; 3 3 (n)设 a R ,解关于 x 的方程 lg[ f(x 1) ] 2lg h(a x) 2lg h(4 x); 2 4 * 1 (川)设 n N ,证明:f(n)h(n) [h(1) h(2) L h(n)] 6 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解:(I) F(x) 18f(x) x 2[h(x)]2 x 3 12x 9(x 0), 2 F (x) 3x 12 . (2)当 0 - 1,即0 t 2 时, 2 f (x)在0,-内单调递减,在 2 1,1内单调递增,若 2 f (1) 6t 2 4t 3 6t 4t 3 2t 3 0.
导数与函数图像
导数与函数图像问题
1.函数 y ? f (x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f , (x) 的图像可能是( )
2.函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 (a, b)
内有极小值点( )
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
a
3 . 设 f ?(x) 是 函 数 f (x) 的 导 函 数 , 将 y ? f (x) 和
y
y ? f ?(x)
b
O
x
y ? f ?(x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
4若 函 数 f( x) =x2+bx+c 的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 , 则 函 数 f′ ( x) 的 图 象 是 (
)
A.
B.
C.
D.
5.设 函 数 f( x) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f′ ( x), 且 函 数 f( x) 在 x=-2处 取 得 极 小 值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
1
6. 设 函 数 f( x) =ax2+bx+c( a, b, c∈ R), 若 x=-1为 函 数 y=f( x) ex 的 一 个 极 值 点 , 则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
7.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b] 上的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.已 知 函 数 y=xf′( x)的 图 象 如 上 中 图 所 示( 其 中 f′( x)是 函 数 f( x)的 导 函 数 ),
下面四个图象中 y=f(x)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
9.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如上
右图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) 值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) 值 f(2)
B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小 D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小
2
17.导数中的不等式放缩
第121课 导数中不等式放缩 基础知识: (1)在不等式放缩中,常见的函数不等式有①e 1x x ≥+;②1ln x x -≥. 特别地,要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+,e ln 2x x >+,e sin 1x x ≥+等不等式. (2)与隐零点相关的放缩问题 常用方法:利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值(最小值)0()f x ,再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值(最小值),即得到0()()f x f x M ≤≤(0()()f x f x M ≥≥),进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+,()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小,并加以证明. 2.已知函数()2e x f x x =-. (1)求曲线()f x 在1x =处的切线方程; (2)求证:当0x >时, ()e 2e 1ln 1x x x x +--?. 二、课堂练习 1. 已知()e ln x f x x =-. (1)求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数; (2)求证:()2f x >. 2. 已知函数()() 23e 4cos 1x f x x ax x x =+++,()()e 1x g x m x =-+. (1)当1m 3时,求函数()g x 的极值; (2)若72a ? ,证明:当()0,1x ?时,()1f x x >+. 三、课后作业 1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+,求证:当02x . 2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=,求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时,()ln f x x >.
导数的切线方程和图像知识点与习题
导 数 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x x x y ??= ??| |,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时, 1-=??x y ,故x y x ??→?0lim 不存在. 注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则:
导数与不等式常考题型
导数与不等式题型 1.已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-. (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值; (2) 对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (3) 证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln x x e ex >-成立. 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题,主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用,考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力. 对于第(1)问,只要运用导数的方法法研究出函数()f x 的单调性即可,最值就容易确定了;对于第(2)问,是一个不等式恒成立的问题,可通过分离常数,将其转化为求函数的最值问题来处理;对于第(3)问,可以通过构造函数,利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明. 解析: (1) '()ln 1f x x =+, 当1(0,)x e ∈,'()0f x <,()f x 单调递减, 当1(,)x e ∈+∞,'()0f x >,()f x 单调递增. ① 102t t e <<+< ,t 无解; ② 102t t e <<<+,即10t e <<时,min 11()()f x f e e ==-; ③ 12t t e ≤<+,即1t e ≥时,()f x 在[,2]t t +上单调递增,min ()()ln f x f t t t ==; 所以min 110()1ln t e e f x t t t e ?-<?=??≥?? , ,. (2) 22ln 3x x x ax ≥-+-,则32ln a x x x ≤++, 设3()2ln (0)h x x x x x =++>,则2 (3)(1)'()x x h x x +-=,(0,1)x ∈,'()0h x <,()h x 单调递减,(1,)x ∈+∞,'()0h x >,()h x 单调递增,所以min ()(1)4h x h ==. 因为对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,所以min ()4a h x ≤=. (3) 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e > -∈+∞, 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -,当且仅当1x e =时取到.
利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6
利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时,应注重利用导数来研究函数图像与零点问题,复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用. 基础梳理 1.确定函数的图像 ①.特征点:零点,极值点,顶点,与y轴的交点; ②.特征线:渐近线,对称轴. 2.函数的零点 ⑵.求函数的零点的知识提示: ①.判别式; ②.介值定理; ③.单调性. 两个注意 ⑴.描绘函数的图像首先确定函数的定义域. ⑵.注意利用函数的图像确定函数的零点. 三个防范 ⑴.. ⑵.. ⑶. 常见函数的图像
⑴.函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像. ⑵.函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像. ⑶.函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像. ⑷.函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像. 双基自测 ⑴.画函数1ln y x x =--的图像. ⑵.画函数2x y e x =-的图像. ⑶.画函数x e y x =的图像. ⑷.画函数ln x y x = 的图像. ⑸.关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 .1 初等数学的方法能够解决的函数问题:定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题:值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴.画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像. 【练习1】画函数2x y x e =-的图像.
导数中的不等式运用
专题09 导数与不等式的解题技巧 一.知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′=________(C 为常数); ②(x )′=________; ③(x 2)′=________; ④? ???? 1x ′=________; ⑤(x )′=________. (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′=________; ②(sin x )′=__________; ③(cos x )′=________; ④(e x )′=________; ⑤(a x )′=___________; ⑥(ln x )′=________; ⑦(log a x )′=__________. (一)构造函数证明不等式 例1.【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在(﹣∞,0)上的函数f (x ),其导函数记为f'(x ),若 成立,则下列正确的是( ) A .f (﹣e )﹣e 2f (﹣1)>0 B . C .e 2f (﹣e )﹣f (﹣1)>0 D . 【答案】A 【分析】由题干知: ,x <﹣1时,2f (x )﹣xf′(x )<0.﹣1<x <0时,2f (x )﹣xf′(x ) >0.构造函数g (x )=,对函数求导可得到x <﹣1时,g′(x )<0;﹣1<x <0,g′(x )>0,利用函 数的单调性得到结果.
练习1.设是定义在上的偶函数的导函数,且,当时,不等式 恒成立,若,,,则的大小关系是()A.B.C.D. 【答案】D 【分析】 构造函数,根据函数的奇偶性求得的奇偶性,再根据函数的导数确定单调性,由此比较三个数的大小. 【解析】构造函数,由于是偶函数,故是奇函数.由于,故函数在上递增.由于,故当时,,当时,.所以 ,,,根据单 调性有.故,即,故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查构造函数法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
导函数图像与原函数图像关系
导函数图像类型题 类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。 1. (福建卷11)如果函数)(x f y =的图象如右图,那么导函数的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导,y=f (x )的图象如下左图所示,则导函数y=f (x )的图象可能 为( ) 3. 函数的图像如下右图所示,则的图像可能是 ( ) 4. 若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则其导函数'()f x 的图象是( ) 类型二:已知导函数图像,判断原函数图像。 5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图 象如右图所示,则)(x f y =的图象最有可能的是( ) O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x D O 1 2 x y
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数的导函数的图象如右图,则的图象可能是( ) 7. 函数的定义域为开区间3(,3)2- ,导函数在3 (,3)2 -内的图象如图所示,则函数的单调增区间是_____________ 类型三:利用导数的几何意义判断图像。 8. (2009湖南卷文)若函数的导函数... 在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是 ( ) A . B . C . D . 9.若函数)(' x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数,则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是( ) y y y )(x f y '=
利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型 1. (2017·课标全国III 卷理)已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =( ) A .1 -2 B .13 C . 12 D .1 2.(2016?天津卷文) 已知函数2(43)3,0 ()(01)log (1)1,0 a x a x a x f x a a x x ?+-+=>≠?++≥??且在R 上单调递 减,且关于x 的方程|()|23 x f x =- 恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是_________. 3.(2015·北京理)(本题满分13分) 已知函数x x x f -+=11ln )(. (I)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程; (II)求证:当)1,0(∈x 时,3 23 ()()x f x x >+; (III)设实数k 使得)3 ()(3 x x k x f +>对)1,0(∈x 恒成立,求k 的最大值. 4. (2017·课标全国II 卷文)(本题满分12分)设函数f(x)=(1-x 2)e x . (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x ≥0时,f(x)≤ax +1,求a 的取值范围. 5. (2015·课标全国II 卷理)(本题满分12分) 设函数mx x e x f mx -+=2 )(. (I)证明:)(x f 在)0,(-∞单调递减,在),0(+∞单调递增; (II)若对于任意1x ,]1,1[2-∈x ,都有1|)()(|21-≤-e x f x f ,求m 的取值范围.
6.(2015?山东卷文)(本题满分13分)设函数x a x x f ln )()(+=,x e x x g 2 )(=,已知曲线 )(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行. (I)求a 的值; (II)是否存在自然数k ,使方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根?如果存在,求出 k ;如果不存在,请说明理由; (III)设函数),)}(min((),(min{)(q p x g x f x m =表示p ,q 中的较小值),求)(x m 的最大值. 7.(2015·课标全国Ⅰ卷理)(本题满分12分) 已知函数4 1 )(3++=ax x x f ,x x g ln )(-=. (I)当a 为何值时,x 轴为曲线)(x f y =的切线; (II)用},min{n m 表示m ,n 中的最小值,设函数)0)}((),(min{)(>=x x g x f x h ,讨论) (x h 零点的个数. 8.(2016·天津理)(本题满分14分) 设函数b ax x x f ---=3 )1()(,∈x R ,其中a ,∈b R . (Ⅰ)求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:3201=+x x ; (Ⅲ)设0>a ,函数)()(x f x g =,求证:)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于...4 1 . 9.(2017·课标全国III 卷理)(本题满分12分)
导数证明不等式的问题(练习答案)
“导数证明不等式问题”练习题答案 1.设L 为曲线C:ln x y x =在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x -'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0 g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x -+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x x x -->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x --+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.)
2.Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当时,; (Ⅱ)证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域. 解⑴证明:()2e 2 x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞,时,()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调递增 ∴0x >时, ()2e 0=12x x f x ->-+, ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -??+?+ ?+??= [)01a ∈, 由(1)知,当0x >时,()2e 2x x f x x -= ?+的值域为()1-+∞,,只有一解. 使得2e 2 t t a t -?=-+,(]02t ∈, 当(0,)x t ∈时()0g x '<,()g x 单调减;当(,)x t ∈+∞时()0g x '>,()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+ 记()e 2t k t t =+,在(]0,2t ∈时,()()() 2e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??=∈ ??? ,. 3.设函数. x x 2f (x)x 2 -=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x -->()()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=-
高考素材复习素材:一题多解 专题三 利用导数证明不等式问题
一题多解专题三:利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例:设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++ +=为常数),曲线)(x f y =与直线 x y 2 3 = 在(0,0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明:当20<x 时,12 12111)1(2+< +?+=+++x x x x x , 令69)()(+- =x x x f x h ,则2 2)6(54 12111)6(54)()(+-+++=+-'='x x x x x f x h 2 322)6)(1(4)1(216)6()6(54)1(21 22)6(54)1(212+++-+=+-+++ <+-+++=x x x x x x x x x x . 令)1(216)6()(3+-+=x x x g ,则当20<函数与导函数图像
专题三 函数与导函数图像 1.函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象如图所示,则函数()y f x =的图象可能是( ) A. B. C. D. 2.函数()y f x =的图象如图所示,则其导函数()'y f x =的图象可能是( ) A. B. C. D. 3.在R 上可导的函数()f x 的图象如图示, ()f x '为函数()f x 的导数,则关于x 的不等式()0x f x ?'<的解集为( ) A. ()(),10,1-∞-? B. ()()1,01,-?+∞ C. ()()2,11,2--? D. ()(),22,-∞-?+∞
4.已知函数 的导函数的图象如图所示,则 的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.如图是函数y =f (x )的导函数()'f x 的图像,则下面判断正确的是( ) A. 在区间(-2,1)上f (x )是增函数 B. 在(1,3)上f (x )是减函数 C. 在(4,5)上f (x )是增函数 D. 当x =4时,f (x )取极大值 6.函数()cos sin f x x x x =?-的导函数的部分图象为( ) A B C D 7.如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,给出下列命题: ①-2是函数()y f x =的极值点; ②1是函数()y f x =的极值点; ③()y f x =的图象在0x =处切线的斜率小于零; ④函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增. 则正确命题的序号是( ) A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
导数与不等式常考题型
导数与不等式题型 2 1 .已知f (x) xln x,g(x) x ax 3 . ⑴求函数|f(x)在[t,t 2](t 0)上的最小值; (2)对一切x (0, ), 2f(x)> g(x)恒成立,求实数a的取值范围; 1 2 (3)证明:对一切x (0,),都有In x x成立. e ex 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题,主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用,考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力. 对于第(1 )问,只要运用导数的方法法研究岀函数 f (x)的单调性即可,最值就容易确定了;对于第( 2) 问,是一个不等式恒成立的问题,可通过分离常数,将其转化为求函数的最值问题来处理;对于第( 以通过构造函数,利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明. 所以f(x)min tint, h(x) min h(1) 4 . 由⑴可知f (x) xln x(x (0,))的最小值是问,可 解析(1) f '(x) Inx 1, 1 (0,1), e f '(x) 0,f(x)单调递减,当x (丄, e ),f'(x) 0,f (x)单调递增. 2,即0 t 1时,f(X)min e 1 f(-) e f (x)在[t,t 2]上单调递增, f (x)min f (t) tint; ⑵ 2xl nx x2ax 3,贝U a 2In x 3 x , 设h(x) x 2ln 3 x (x 0),则 x h'(x) j x (0,1),h'(x) 0,h(x)单调递减, (1, ),h'(x) 0,h(x)单调递增,所以因为对一切x (0, ),2f (x) g(x)恒成立,所以a h(x)min (3)问题等价于证明xln x 三 e * (0, )), 1 -,当且仅当 e