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高等数学基础综合练习题精选及答案

试卷代号：7032

上海开放大学2017至2018学年第一学期

《高等数学基础》期末复习题

一．选择题

1．函数2sin(4)2()2

x x f x x k x ?-

=-??≥?

在2x =连续，则常数k 的值为（）。

A ．1 ；

B ．2 ；

C ．4- ；

D ．4

2．下列函数中（）的图像关于y 轴对称。

A ．cos x

e x B ． cos(1)x + C ．3

sin x x D ． x

+-11ln 3．下列函数中（）不是奇函数。

A ．sin(1)x -；

B ．x

e e --； C ．x x cos 2sin ； D ．

(

ln x

4．当0x →时，（）是无穷小量。

A ．

sin 2x x B ．1(1)x x + C . 1cos x D ．1

sin x x

5．函数()sin 4f x x =，则 0()

lim x f x x

→=（）

。 A ． 0 ； B ．4 ； C ． 1

； D ．不存在

6．函数()ln f x x =，则 2()(2)

lim 2x f x f x →-=-（）

。 A ． ln 2 ； B ．1x ； C ． 1

； D ． 2

7. 设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（）。 A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（）。 A

=． 222x x e dx de --=- C ．3313x

x e

dx de --=- D ． 1

ln 33dx d x x

9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是（）

A.)())((x f dx x f ='?

)()(x f dx x f dx d b

=? C. c x f dx x f +='?)()( D. )()()(a f b f x f d b a

-=? 10．曲线x

y e x =-在(0,)+∞内是（）。

A ．下降且凹；

B ．上升且凹；

C ．下降且凸；

D ．上升且凸 11．曲线3

21233

y x x x =

-+在区间()2,3内是（）

。 A ．下降且凹 B ．上升且凹 C ．下降且凸 D ．上升且凸 12．下列无穷积分为收敛的是（）。 A.

sin xdx +∞? B. 0

e dx -∞? C.0

12x e dx --∞? D.1+∞? 13．下列无穷积分为收敛的是（）。 A.

x dx +∞?

B.1

+∞?

C. 2

1x dx +∞-? D. 21x

e dx +∞?

14．下列广义积分中（）发散。 A ．

x dx +∞-

； B ．31

dx x

+∞

； C ．211dx x +∞?； D ． 3

21x dx +∞-? 15．设函数)(x f 的原函数为()F x ，则

211

()f dx x x =?（）

。 A ． ()F x C +； B ．1()F C x -+； C ．1()F C x +； D ．1

()f C x

16．下列广义积分中收敛的是（）

二．填空题

1．函数()

f x =

的定义域是。

2．函数3

y x =

-的定义域是。

3．函数ln(1)

y x =

+的定义域是。

4．曲线2x y e -=在点M 处的切线斜率为22e --，则点M 处的坐标为。

7. 设2

()1f x x =-，则='))((x f f 。

8. 设()f x 的一个原函数是sin 2x ，则=')(x f 。 9．已知()()F x f x '=，则2(1)xf x dx -=?

。

10． 11(x x dx -=? 。 11．

131

(cos 1)x x dx -+=?

。

12．02

cos x

d t t dt dx ?= 。

13．设sin 0

()x

F x e dt -=

?，则()2

F π'= 。 14．设()F x 为()f x 的原函数，那么(cos )sin f x xdx =? 。

15．设2

(1)0

()x t F x e dt --=

，那么(1)F '= 。

三．计算题

1、求极限1241lim 41x

x x x -→∞-??

?+??

2、求极限41

21lim 23x x x x -+→∞-??

?+??

3、求极限43lim

32x

x x x →∞??

?+??

4、求极限0x →

5、求极限2

x → 6、求极限0

x →

7、设函数(

cos x

y x e =-，求dy 。 8、设函数1)y x =+，求dy

9、设函数(2

ln 2y x

x =，求dy 。 10、设函数31

cos 2x y x

+=，求dy 。

11、设函数321x

y e =+，求dy 。 12、设函数221x e y x -=+，求dy 。

13、设函数sin 21cos x y x =

+，求dy 。 14、计算不定积分 2

sin 2

x x dx ?

15、计算不定积分 2cos 3

x x dx ? 16、计算不定积分 23x

x e dx -?

四、应用题

1、求由抛物线2

2y x =-与直线y x =-所围的面积。

2、求由抛物线2

y x =与直线2y x =-所围的面积。

y x =

4、求由抛物线22y x =-与直线y x =所围的面积。

2y x

=-2

y x =2y x x

=-y x =x

1 2

y y x

=22

y x =-x

5、求由抛物线2

y x =与直线6y x =-所围的面积。

6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。

7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。

9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

6y x

=-2

y x =-

1 234

试卷代号：7032

上海开放大学2017至2018学年第一学期

《高等数学基础》期末复习题答案

一．选择题

1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6. C 7. C 8．C 9．B 10． B 11．A 12．B 13．C 14．A 15．B 16．A

二．填空题

1．34x << 2．13x x ≥-≠且 3．150x x -<≤≠且

4．()21,e - 5．()1

ln 222

y x -=

- 6． 2sin 2(cos 2)xf x dx '- 7. 241x - 8. 4sin 2x - 9． 2

1(1)2

F x C -+

10．23 11．0 12．2

cos x x -

13．1

e - 14． (cos )F x C -+ 15．1 三．计算题

1、求极限1241lim 41x

x x x -→∞-??

?+??

解：121212414122lim lim lim 1414141x

x x x x x x x x ---→∞→∞

→∞

-+-????

?==- ? ? ?+++??

＝e

2、求极限41

21lim 23x x x x -+→∞-??

?+??

解：41

212344lim lim lim 1232323x x x x x x x x x x x -+-+-+→∞→∞

→∞

-+-????

?==- ? ? ?+++??

＝8

3、求极限43lim 32x

x x x →∞??

?+??

解： 4432lim lim 13232x x

x x x x x →∞→∞

????=- ? ?++????

e -=

、求极限0

x →

解：0

033

lim 22x x x x

→→==--

、求极限20

x →

解：22

3003lim 232

x x x x x →→?-==- 6

、求极限0

x →

解：0

02lim 12x x x

x →→-==- 7

、设函数(

cos x

y x e =-，求dy 。

解：3cos 2

y xe

x =-

()31

cos cos cos cos 22

cos cos 22sin 3sin 3x

x x

x x y x e x e x e x xe x dy e x xe x dx

'??'''=+-=-- ?????=-- ???

、设函数1)y x =+，求dy 。

)cos(31)cos(31)1)1)y x x x x '

''=

++=+-+解：

1)1)dy x x dx ?=+-+??

、设函数(2

ln 2y x

x =，求dy 。

解： 5

2ln 2y x x x =-

()ln 2(ln 2)()y x x x x x ''''=+-

22ln 22

x x x x =+-

252ln 22dy x x x x dx ??=+- ??

10、设函数31

cos 2x y x

+=，求dy 。

解：()()()()2

31cos 231cos 2cos 2x x x x y x ''

+-+'=

()()

3cos 2231sin 2cos 2x x x

x ++=

()()

3cos 2231sin 2cos 2x x x

dy dx x ++=

11、设函数321x

y e =

+，求dy 。

()()()()()()

()()

33332

32121216112161x x x x

x x x

x x e x e e xe y e

e e

xe dy dx

e '

'?+-?++-'=

+++-=

+解：

12、设函数22

e y x -=+，求dy 。

()()()()()()

()()

222

2112111211x

e x e x x x e y x x x x e dy dx

x ----''?+-?+-++'==

++-++=+解：

13、设函数sin 21cos x

y x

=+，求dy 。

解：()()()()

sin 21cos sin 21cos 1cos x x x x y x ''

+-?+'=

()()

()2

2cos 21cos sin 2sin 1cos x x x x x +-?-=

()()

2cos 21cos sin 2sin 1cos x x x x

dy dx x ++?=

14、计算不定积分 2

sin

x x dx ?

2:x 解 2x 2 0

+ — + sin

2x 2cos 2x - 4

-sin 2x 8cos 2

x 2

sin 2

x x dx ?

＝-+++2

2cos 8sin 16cos 222

x x x

x x C 15、计算不定积分 2

cos

x x dx ?

2:x 解 2x 2 0

+ — +

cos 3x 3sin 3x 9cos 3x - 27sin 3x - 2cos 3x x dx ?2

3sin 18cos 54sin 333

x x x x x c =+-+

16、计算不定积分 23x x e dx -?

解： 2

x 2x 2 0

+ — + 3x

-31

-- 319

- 3127

e --

223333223927

x x x

x x x e dx e e e c ----=---+?

四、应用题

1、求由抛物线2

2y x =-与直线y x =-所围的面积。

解：2

1221,2y x x x y x ?=-?=-=?

=-?由2

221

(2())(2)x x dx x x dx -----=-+??S=9

2、解：抛物线2

y x =与直线2y x =-的交点为(2,4),(1,1)-

面积()1

2A x x dx -=--?

3、求由抛物线2

y x x =-与直线y x =所围的面积。

解：2120,2y x x x x y x ?=-?==?

=?由所围的面积2

(())(2)S x x x dx x x dx

--=-?

4、解：抛物线2

2y x =-与直线y x =的交点为(1,1),(2,2)--

面积()2

(2)A x x

dx -=

--?

5、解：解：抛物线2

y x =与直线6y x =-的交点为(3,9),(2,4)-

面积()2

6A x x dx -=

--?125

6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。解：设圆柱体底半径为r ，高为h ，

6y x

=-2

y x =2y x x

=-y x

y x

=22

y x =-

则体积2

4V r h π==2

h r

π?=

材料最省即表面积最小

表面积S ＝22r rh ππ+＝22

42r r r πππ+?

＝2

8r r

π+ 'S ＝2

82r r

π-

，令'S ＝0

，得唯一驻点r =

7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

解：设圆柱体底半径为r ，高为h ，则体积2

16V r h π==2

h r

π?=

且造价函数22640

1020210f r rh r r πππ=+?=+

令2640200

f r r π'=-

，得唯一驻点r =

所以当底半径为

8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。解：设长方形的底边长为2x ，高为y ，

则2

8x y =

+y ?=

面积22S xy ==

令220S ?

'==

，得唯一驻点x =

所以当底边长为

米，此时高为米时面积最大。

9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

解：设底半径为r ，高为h ，则体积2

108V r h π==2

108

h r

π?=

造价函数2

216

2f r rh r r

πππ=+=+

令221620

f r r π'=-

=，得唯一驻点3310843r ππ==所以当底半径为34

3π3

3π

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)

【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业1答案：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c