四川省成都七中2021届高三数学上学期入学考试试题 文

四川省成都七中2021届高三数学上学期入学考试试题 文

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）

1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2

,B x y y x ==，则A

B =（ ）

A ．?

B ．{}1

C ．(){}

1,1

D ．(){}

1,1-

2

．复数z = ）

A ．1

B

C ．2

D

3．已知命题():,0p x ?∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π?

?

?∈ ??

?

，sin x x <，

则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧

B ．()p q ∨?

C ．()p q ?∧

D ．()p q ∧?

4．抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4

C ．64.8，63.6

D ．64.8，3.6

6．设2

3

23a ??=

???，23

13b ??= ???，13

13c ??

= ???

，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）

A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

7．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13

αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665

-

B ．

3365

C ．5665

D ．6365

8．要做一个圆锥形漏斗，其母线为20，要使其体积最大，则其高为（ ） A

．

3

B ．100

C ．20

D ．

203

9．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）

A ．12

π

+

B ．22

π

+

C ．1π+

D ．2π+

10．已知数列{}n a 满足1

32n n a -=?，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，

*i ∈N ）

，从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*

j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．

A ．21132?

B ．21232?

C ．23032?

D ．23132?

11．已知函数()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，0?π<<，()4f x f π??≤ ???恒成立，且()f x 在区间0,4π??

???

上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10

B ．()6,8

C ．()8,10

D ．()6,12

12．己知函数()212ln x f x x -=

的定义域为10,e ?? ???，若对任意的1x ，210,x e ??

∈ ???

，()()()

121222

1212

f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞

B ．(],4-∞

C ．(],5-∞

D ．(],6-∞

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）

13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．

14．已知x ，y 满足2

2x y x x y ≤??

≤??+≥?

，则2z x y =-+的最大值为________．

15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且

cos cos 2B b

C a c

=-

+，若13b =，4a c +=，

则a的值为________．

16．已知椭圆

22

22

:1

x y

a b

Γ+=与双曲线

22

22

:1

x y

m n

Ω-=共焦点，

1

F、

2

F分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在

第一象限交点为P，且离心率之积为1．若

1212

sin2sin

F PF PF F

∠=∠，则该双曲线的离心率为________．三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）

17．（本题12分）设数列{}n a的前n项和为n S，且1

a=，

1

21

n n

a S

+

=+，数列{}n b满足11

a b

=，点

()

1

,

n n

P b b

+

在直线20

x y

-+=上，*

n∈N．

（Ⅰ）求数列{}n a，{}n b的通项公式；

（Ⅱ）设n

n

n

b

c

a

=，求数列{}n c的前n项和n T．

18．

（本题12分）如图，四棱锥P ABCD

-中，平面PDC⊥底面ABCD，PDC

△是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60

DAB

∠=?，AB CD，22

DC AD AB

===．

（Ⅰ）证明：BD PC

⊥；

（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．

19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g

y与尺寸()

mm

x之间近似满足关系式b

y c x

=?（b，c为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸()

mm

x38 48 58 68 78 88

质量()g

y16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5

质量与尺寸的比

y

x

0.44

2

0.39

2

0.35

7

0.32

9

0.30

8

0.29

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

()6

1

ln ln i

i

i x y =?∑

(

)6

1

ln i

i x =∑

()6

1

ln i

i y =∑

()

6

2

1

ln i

i x =∑

75.3 24.6 18.3 101.4

根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,

,6i i v u i =，其回归直线u b v a =?+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

()()()

1

12

2

21

1

n

n

i

i

i i i i n

n

i

i

i i v v u u v u nvu

b v v v

nv

====---=

=

--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．

20．（本题12分）设函数()()24143x

f x ax a x a e ??=-+++??．

（1）若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．

21．（本题12分）如图，设椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，

112DF F F ⊥，

121

22F F DF =，12DF F △的面积为

2

2

．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由． （22题与23题为选做题，二选一）

22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t t

y t t ?=+????=+-??

（t 为参数）．

（1）求曲线C 的普通方程；

（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6

π

θ=，()ρ∈R ，直线l

与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()11

44

f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；

（2）证明：当a ，b M ∈

时，a b ≥-．

成都七中2021-2021度上期2021届高三入学考试

数学试卷（理科）答案

1-5：CBCBD 6-10：BBABA 11-12：AB 13

．1- 15．1或3 16

17．【答案】（Ⅰ）1

321n n n a b n -==- （Ⅱ）1

1

33n n n T -+=-

【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．

故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以1

3n n a -=．

由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．

则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-?=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121

13521

333

3

n n n T --=++++

． 则123

113521

33333n n

n T -=

++++

， 两式相减得：

212222211333

33n n n

n T --=++++-1

1113321121313

n n n -????

-?? ???-????=+?

--1121233n n n --??=-- ???

∴211

1211

3323233n n n n n n T ----+=-

-=-

?? 18．【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）3

2

h =

． 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得2

2

12212cos603BD =+-???=， ∴222BD AB AD +=，∴90ABD ∠=?，BD AB ⊥，∵AB DC ，∴BD DC ⊥．

又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC

底面ABCD DC =，BD ?底面ABCD ，

∴BD ⊥平面PDC ，

又PC ?平面PDC ，∴BD PC ⊥． （Ⅱ）设A 到平面PBD 的距离为h ．

取DC 中点Q ，连结PQ ，∵PDC △是等边三角形，∴PQ DC ⊥． 又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC 底面ABCD DC =，PQ ?平面PDC ，

∴PQ ⊥底面ABCD ，且3PQ =

由（Ⅰ）知BD ⊥平面PDC ，又PD ?平面PDC ，∴BD PD ⊥． ∴A PBD P ABD V V --=，即11

11

321333232

h ??=?? 解得3h =

19．【答案】（1）

15

；（2）0.5

y ex =． 【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比

()0.302,0.388y

x

∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c ，

有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，

现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：

(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，

选中的两件均为优等品的事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 所求概率为

31155

=． （Ⅱ）对b

y c x =?两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =?+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：

1122

21

75.324.618.360.271

101.424.660.542

n

i i n

i

i v u nuv

b v

nv

==--?÷=

=

==-÷-∑∑

118.324.6216

a u bv ??

-? ?

??=-=

=，

由ln a c =得c e =，

所以y 关于x 的回归方程为0.5

y ex

=．

20．【答案】（1）a 的值为1；（2）a 的取值范围是1,2??

+∞

???

． 【解析】（1）因为()()24143x

f x ax a x a e ??=-+++??，

所以()()()()22414143x x

f x ax a e ax a x a e x '??=-++-+++∈??????R ()2212x

ax a x e ??=-++??．

()()11f a e '=-．

由题设知()10f '=，即()10a e -=，解得1a =．此时()130f e =≠． 所以a 的值为1．

注：没验证()130f e =≠要酌情扣分

（2）由（1）得()()()()221212x x

f x ax a x e ax x e '??=-++=--??．

若12a >

，则当1,2x a ??

∈ ???

时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值． 若12a ≤

，则当()0,2x ∈时，20x -<，1

1102

ax x -≤-<，所以()0f x '>． 所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1,2??

+∞

???

． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2

253239x y ??+-= ??

?． 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222

c a b =-，

由

121

22F F DF =得1212

2

22

F F DF c =

=

从而122112122222

DF F S DF F F c =

?==△，故1c =． 从而122DF =

，由112DF F F ⊥得222

211292

DF DF F F =+=，因此2322DF =． 所以12222a DF DF =+=，故2a =

，2221b a c =-=

因此，所求椭圆的标准方程为：2

212

x y +=

（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2

212x y +=相交，()111,P x y ，()222,P x y 是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =

1212PP x =．

由（1）知()11,0F -，()21

,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--，再由1122F P F P ⊥ 得()2

211

10x y -++=，由椭圆方程得()22

11112

x x -=+，即211340x x +=， 解得14

3

x =-

或10x = 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在． 当14

3

x =-

时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111CP F P ⊥，得

1011111y y y x x -?=-+，而11113y x =+=，故05

3

y = 圆C

的半径1CP == 综上，存在满足条件的圆，其方程为：2

253239x y ?

?+-= ??

?．

22．【答案】（1）2

6y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2

． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14,

x t t

y t t ?=+????=+-??

①②（t 为参数），

将①式两边平方，得222

1

2x t t =+

+③， ③-②，得2

6x y -=，即2

6y x =-，

因为112x t t t t =+

=+≥=，当且仅当1t t =，

即1t =±时取“=”，

所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥，

所以曲线C 的普通方程为2

6y x =-（2x ≤-或2x ≥）．

（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为2

6y x =-（2x ≤-或2x ≥）， 所以把cos sin x y ρθρθ

=??

=?代入得：22

sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，

则曲线C 的极坐标方程为2

2

sin cos 6ρθρθ=-，()

cos 2ρθ≥

设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ?? ???，2,6B πρ?

? ???，由226

sin cos 6

πθρθρθ?=???=-? 得22

sin

cos 66

6

π

π

ρρ=-，即232240ρρ--=

，且ρ≥

因为44324473?=+??=?

，∴ρ=

ρ=，

满足3ρ≥

，不妨设113ρ-=

，213

ρ=

所以12AB ρρ=-=

注：没考虑3

ρ≥

要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111

,,44244

12,4x x f x x x x x x ?

-≤-??

?=-++=-<

≥??

所以不等式的解集为[]1,1M =-．

（2

）要证a b -

，只需证a b ≥-，

即证()2

41ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即22

42a ab b ≥++，

即证()2

4a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．