对素数问题的再思考

对素数问题的再思考

山东章丘一职专

马国梁

前些天在网上浏览，偶遇四川熊一兵先生的《概率素数论》一书。出于兴趣便很自然地快速看了一遍。我感觉熊先生博学多才。他的书堪称鸿篇巨著，其推导过程正确严谨；累累硕果，无可置疑，令我等难以超越。不管别人怎么想，反正我是信了。

尽管这本书的内容洋洋洒洒，其中大部分我都看不懂，但是我对熊先生的结论和数据却很感兴趣。对比我在前些年的研究结果，所以在最近这一段时间里我又重新思考了一番。特别是熊先生所给出的计算素数个数的精确公式

π(x) = li(x) – [ x^(1/2) + x^(1/3)] / [lnx – 1]

我把有关数据代入计算了一下，确实是很精确。熊先生的公式是前所未有的。

其实现在关于素数的许多问题都已经有了结论，即便没有结论研究的意义也不大，然而寻找解决问题的新方法和新探索却仍在继续。这是一场永不停息的智力竞赛，有许许多多的数学爱好者乐此不疲。

我在前些年对素数进行的研究虽然不能与熊先生相比，但是我也略有小技。其中反映素数序列规律的递推公式就是我独辟蹊径导出来的。我始终坚信：从素数的形成机制上来研究素数的规律，这个方向是不会错的。

首先是利用“筛法原理”导出了“累加递推式”。

我们知道：每个素数的筛漏率都是1/P ，而筛剩率则是(P – 1) / P

所以在素数Pi之后的一段长度里（P i+1 - P i），当它被前面的所有素数筛漏的只剩下1个单位时，那么就要产生新的素数了。其中从2开始到sqrt(Pi) 的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。其大小是

ΔP i = [2/1] [3/2] [5/4] ……[sqrt(P i)/(sqrt(P i) – 1) ]

后来我发现该间距大小近似等于

ΔP i ≈[3/2] [5/4] [7/6] ……[P i /(P i– 1) ]

于是关于新素数的递推式就得出来了：

P i+1 = P i +ΔP i = P i + ( P i - P i -1 ) P i / (P i - 1 )

我们可以按照这个规律无限后推，最终与黎函数li(x) 会非常接近。

再就是利用乘法原理得出“累积递推式”。

即从2开始到Pi之间的所有素数都以倍率的形式参与新素数的构成，每个素数的倍率大小都是将它的倒数作为自己的指数来算，因而得

P i+1 = 2×2^(1/2)×3^(1/3) ×5^(1/5) ……

= P i×P i ^(1/ P i )

检验证明：由此得到的素数序列更接近真实。

除上述外，我还利用递推公式研究了素数的P ～i 序列曲线。

虽然随着序号的增加，素数的曲线越来越长，可到达无限远处，但是由递推式所得出的曲线还是很有规律的。它不仅是一条圆滑的曲线，且增长幅度也改变的十分缓慢。所以在局部范围内，仍然可以将之看成是直线增长的。

然而，实际素数的增长曲线却是很不规律的。虽然在每个素数后的平均增幅都是lnP i，但是后继素数的位置确是“随机”变化的，其范围是从2到几倍的lnP i，这就使曲线的形状变成无规则的了。

尽管如此，我还是通过深入分析，找到了它的一些规律。

整个曲线从2开始到无穷大都是单调增长的，只是增幅有大有小，但绝不下落。总的趋势是越来越陡，趋于竖直。

我们还知道：曲线的宽度虽然越来越大，但还是远小于它的长度，所以在宏观上还是呈现为一条曲线的。它的中轴线也是客观存在的，但是不好具体划定。

其实素数的序列曲线也是受“平均律”制约的。就是说：不管它离开中轴线多远，它总是要回归的。因为当各个序号的平均增幅一定时，假如有些序号多增了，那么肯定就有另外一些序号少增加，最终结果就是与中轴线多次相交。这就像我们爬山一样，不管是走山沟，还是走山脊，总是要到达山顶的。

中轴线可以是全程统一的、圆滑的，只是它的数学方程虽然我们的前人做过无数的研究，可是至今未能给出，以致有许多人怀疑它的存在。

但我们可以想法一步步的逼近它。为此我们先把由递推式P i+1 = P i + lnP i决定的序列曲线即“黎曼曲线”作出来。此时素数的序号也就是素数个数。其计算公式是

i(x) =∫(1/lnx) dx = li(x)

可是我们发现：真实素数的序列曲线总是在黎曼曲线之上。故当x一定时，li(x) 总是大于π(x) 的。

原来，真实素数的平均增幅从一开始就大于lnx ，从而使得曲线加速上升，使li(x) –π(x) = Δi越来越大。以致使我们看不出它们具有相交的趋势，有许多人怀疑相交的可能性。

即使每个序号超出lnx的增幅随着x的增大而衰减，但如果衰减得不够快，那么Δi的增长也还将是无限的。所以最起码，超出lnx部分必须与x成反比，Δi才能达到有限增长和无限增长的分界线——对数曲线。例如由累积递推式决定的序列曲线就是这样。

P i+1 = P i×P i ^(1/ P i )

= P i + ln P i + [(ln P i)^2] /2 P i + [(ln P i) ^3 ] / 6 P i P i + ……

= P i + ln P i / [1 - ln P i /2 P i ]

Δi = li(x)- i(x) =∫(1/lnx) dx -∫(1/lnx)(1 - lnx /2x )dx = 0.5 lnx

Δi虽然能够无限增长，但是非常非常缓慢，缓慢的程度将使我们失去耐心。lnx比x的任何大于0指数函数都要小。因此在许多时候，lnx可被当作一个常数来对待。

但li(x) - π(x) 的增长却比这快得多，这说明素数增幅的超出部分随x的衰减比较慢。笔者在经过反复的分析、验算后认为：只有下面的经验公式才能统一素数的全程，它就是在这之前我们所一直苦苦追求的中轴线公式。在修改本文之前我已经用概率进行了成功的证明（将另文发表）。

因为P i+1= P i + ln P i / [1 – 0.5 /sqrt( P i ) ]

由此我们所得到的Δi 公式是

Δi = li(x) - i(x) =∫(1/lnx) dx -∫[1 – 0.5 /sqrt(x )] (1/lnx)dx

=∫[0.5/ln(sqrt(x))] d sqrt(x)

= 0.5 li[sqrt(x)] ≈sqrt(x)/lnx >> 0.5 lnx

可以看出：Δi 将随x无限增大，且增大的比较快。笔者已经证明：此处的sqrt(x) 就是进行筛选时所用的最大素数的上界，它不是一个胡乱猜想的数。

素数的中轴曲线虽然开始的一大段是在真实的素数曲线之下，但当x足够大时，两者就会相交。据有关资料介绍：在x = 900万之前它们“相交不少于19次”。可以肯定“中轴线”将永远是交点最多的大曲线。

真正的素数曲线总是在中轴线的左右摇摆的。按照二项式分布的规律，其摆动所引起的序号之差与序号的平方根成正比。所以即便是只取它的一半，也总是大于中轴曲线和黎曼曲线之差的，即Δi = sqrt(i)/2 > sqrt(x)/lnx = sqrt(i)/sqrt(lnx)

所以素数曲线和黎曼曲线应该是相交无数次的。但是因为初期偶然的“一念之差”，3、5、7、11这个四个素数的增量都偏大，所以从一开始它们就分离了。其影响是如此深远，使我们至今看不到回归的希望。虽说需要将序号增大到足够的程度才行，但是究竟要多大，我们现在还根本不知。它超过了目前我们所有的运算能力。

真实的素数曲线就像是从“2”这个地方冒出的一缕青烟，它徐徐上升，不断右偏，且越来越粗。而从“2”出发的其它各种曲线则是各有各的路径。虽然在无穷远处都是趋于竖直，但是由于趋直的速度不同，所以其性质也有所不同。

若以黎曼曲线作为参考，那么凡是增幅超出lnx的部分随(1/x)^n衰减的指数n >1的，其最终结果都是与黎曼曲线趋于平行，序号之差趋于一个有限值；而凡是n <1的，其最终结果则是与黎曼曲线分道扬镳，序号之差趋于无穷大。虽然我们不可能到无穷远处实地看看，但是凭借我们的头脑利用逻辑关系还是能够推出这个结论来的。

凡是在中轴曲线与黎曼曲线之间的其它曲线迟早也都会与素数曲线相交的。即便是开始一段就在素数曲线之上的累加递推式

P i+1 = P i + ( P i - P i -1 ) P i / (P i - 1 )

P3 = 3 + ( 3 – 2) 3 / (3 - 1 ) = 4.5

…………

它也很快就会和素数曲线相交的。

由各种中间曲线组成了一个庞大的家族。虽然它们在无穷远处开放、发散，但受初始状态的作用很大，真可谓“牵一发而动全身”，“差之一毫，相去万里”呀！

（2015-11-7修改）