2022届泉州市名校高二第二学期数学期末质量检测试题含解析

2022届泉州市名校高二第二学期数学期末质量检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆E ：()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，

若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）

A ．22

1189

x y +=

B ．2212718x y +=

C ．2213627x y +=

D ．22

14536

x y +=

【答案】A 【解析】 【分析】

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，代入椭圆方程得22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ?+=????+=??，利用“点差法”可得121212

22

120x x y y y y a x x b +-++=-．利用中点坐标公式可得122x x +=，122y y +=-，利用斜率计算公式可得1212101

132AB y y k x x ---=

==--．于是得到2

2

21202a b

-+?=，化为222a b =，再利用3c ==解得2a ，2b ．进而得到椭圆的方程． 【详解】

解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

代入椭圆方程得22

112

222

2222

11x y a b

x y a b ?+=????+=??， 相减得2222

1212

22

0x x y y a b

--+=， ∴

12121222

120x x y y y y a x x b +-++=-． 122x x +=，122y y +=-，1212101

132

AB y y k x x ---===--．

∴

22

212

02a b -+?=， 化为222a b =，又3c ==218a =，29b =．

∴椭圆E 的方程为22

1189

x y +=．

故选：A ． 【点睛】

熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键． 2．已知函数()f x 在0x x =处的导数为l ，则()()

000

lim

h f x h f x h

→--=（ ）

A ．1

B ．1-

C ．3

D ．3-

【答案】B 【解析】 【分析】

根据导数的定义可得到， ()()

0000

lim

()h f x h f x f x h

→--='-，然后把原式等价变形可得结果.

【详解】 因为()()

()()

000000

lim

lim

()h h f x h f x f x h f x f x h

h →→----=-=-'-，且函数()f x 在0x x =处

的导数为l ，所以()()

000

lim

1h f x h f x h

→--=-，故选B.

【点睛】

本题主要考查导数的定义及计算，较基础. 3．阅读下图所示程序框图，若输入

，则输出的

值是（ ）

A. B. C.

D.

试题分析：由程序框图可知该算法是计算数列()()()*

12121k N k k ????∈??-+????

的前2016项和，根据

()()1

111212122121k k k k ??

=- ?-+-+??

，所以11111111123355740314033S ??

=-+-+-++

-= ???

1120061240134013

??-=

???。 考点：1.程序框图；2.数列求和。 4．将函数()()cos

2sin 23cos 30222x x x f x ωωωω?

?=-+> ???

的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,12π??

????

上为增函数，则ω的最大值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】C 【解析】

()cos

2sin 23cos 3222x x x f x ωωω?

?=-+ ???sin 3(1cos )32sin()3

x x x πωωω=-++=-， 向左平移

3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()2sin(())2sin 33

g x x x ππ

ωωω=+

-= ，因为x 0,12π??

∈????

,所以[0,][,],,6,1222122x ωπππωππωω∈?-∴≤∴≤ 即ω的最大值为6，选C.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 由

ππ2π2π()22k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π

2π2π()22

k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间. 5． “

”是“a,b,c 成等比数列”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】

6．命题“2

1,3,204x x a ???∈--≤????

”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．9a ≥

B ．8a ≤

C ．6a ≥

D ．7a ≤

【分析】

根据2

1,3,204x x a ???∈--≤????

，成立，求得7a ≥，再根据集合法，选其子集即可. 【详解】

因为2

1,3,204

x x a ???∈--≤????

，成立，

所以2

1,3,24x a x ???∈≥-????

，成立， 所以7a ≥，

命题“2

1,3,204x x a ???∈--≤????

”为真命题的一个充分不必要条件是9a ≥.

故选：A 【点睛】

本题主要考查不等式恒成立及逻辑关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．若{}{}1,21,2,3,4,5A ??则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6 B ．7

C ．8

D ．9

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数． 【详解】 解：

{}{}1,21,2,3,4,5A ??，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，

因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，

{}1,2,3,4,5共8个．

故选C ． 【点睛】

本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个.

8．已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1

a b +

，4b c +，9c a

+（ ）

A ．都大于4

B ．至少有一个不大于4

C ．都小于4

D ．至少有一个不小于4

【答案】D 【解析】

分析：利用基本不等式可证明111a b c b c a +++++6≥，假设三个数都小于2，则111

6a b c b c a

+++++<不可能，从而可得结果. 详解：

1111116a b c a b c b c a a b c ??????

+

++++=+++++≥ ? ? ???????

， 假设三个数都小于2， 则111

6a b c b c a

+

++++<，所以假设不成立， 所以至少有一个不小于2，故选D.

点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．

9．2

3

2(2)()x n x x

--的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中3x 项的系数为（ ） A ．2 B ．8 C ．5- D ．-17

【答案】D 【解析】 【分析】

令1x =得各项系数和，可求得n ，再由二项式定理求得3x 的系数，注意多项式乘法法则的应用． 【详解】

令1x =，可得3

(2)(12)3n --=，5n =，

在23

2(25)()x x x

--的展开式中3x 的系数为：232(2)(5)117C ??-+-?=-．

故选D ． 【点睛】

本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令1x =可得展开式中所有项的系数和，再令1x =-可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．

10．用数学归纳法证明422

1232

n n n ++++???+=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上（ ）

A ．增加一项

B ．增加2k 项

C ．增加2k 项

D ．增加21k +项

【答案】D 【解析】 【分析】

明确从n k =变为1n k =+时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数. 【详解】

当n k =时，等式左端为：2123k +++???+

当1n k =+时，等式左端为：()()

()2

222

123121k k k k +++???+++++???++

()

2

2121k k k +-=+ ∴需增加21k +项

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律. 11．已知,a b 为实数，则“2ab b >”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

分析：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，即可判断关系． 详解：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，则0a b >>不成立， 所以“2ab b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．

点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】

A 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；

B 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相

交；C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；D 正确. 二、填空题：本题共4小题

13．ABC ?中，内角、、A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，且()2

a b b c =+，则

=B

A

__________．

【答案】12

【解析】

分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形代入，再利用正弦定理化简得到sin sin 2A B =，进而得到

B

A

的值. 详解：2

()a b b c =+，即2

2

a b bc -=，2

a b c b

+= 又由余弦定理222

cos 2a c b B ac

+-=，正弦定理sin sin a b A B = 2

2sin cos 22222sin a bc c b c a A b B ac a a b B

++∴=====

则sin 2sin cos sin 2A B B B ==，即2A B =或2A B π+=. 若2A B π+=，

A B C π++=，B C ∴=，b c =，

由2

()a b b c =+，得222a b =，

由余弦定理222

cosA 02b c a bc +-==，即有2A π=，4B C π==

2A B ∴=，

1

2

B A =. 故答案为

12

. 点睛：此题考查了正弦定理和余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键.

14．已知边长为1的正A BC '?的顶点A '在平面a 内，顶点B ，C 在平面a 外的同一侧，点B '，C '分别为B ，C 在平面a 内的投影，设BB CC '≤'，直线CB '与平面A CC ''所成的角为φ.若A B C '''?是以角A '为直角的直角三角形，则tan φ的最小值为__________．

【答案】2

【解析】

分析：由题意找出线面角，设BB′=a，CC′=b，可得ab=1，然后由a 的变化得到A′B′的变化范围，从而求得tanφ的范围． 详解：如图，

由CC ′⊥α，A′B′?α，得A′B′⊥CC′， 又A′B′⊥A′C′，且A′C′∩CC′=C′， ∴A′B′⊥面A′C′C，则φ=∠B′CA′，

设BB′=a，CC′=b，则A′B′1=4﹣a 1，A′C′1=4﹣b 1， 设B′C′=c，

则有22222

44()()32

2a b c c a b ?-+-=??++=??，整理得：ab=1． ∵|BB′|≤|CC′|，∴a≤b ， tanφ=

''2

A B ， 在三角形BB′A′中，∵斜边A′B 为定值1，

∴当a 22，tanφ的最小值为22

． 当a 减小时，tanφ增大，

若a ≤1，则b ≥1，在Rt △A′CC′中出现直角边大于等于斜边，矛盾， ∴a ＞1，此时3tanφ3． ∴tanφ的范围为23??

，．即tan φ2 故答案为：

22

． 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.

15．若2n

x x ?

+ ?

的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于____________.

【答案】

1516

【解析】

【分析】

根据题意先计算6n =，再用展开式的通项公式计算常数项. 【详解】

若n

x ?

+ ?

的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.

24

6n n C C n =?=

3662

16

6

1(2

)r r

r

r r

r r T C x

C x

--+== 当4r =时为常数项，为1516

故答案为：1516

【点睛】

本题考查了二项式的计算，先判断6n =是解题的关键. 16．已知函数32

,

0,(),2,0

x x f x t x x t x ?=∈?

-++

若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，令()m f x =，即(2)0f m -=，讨论2m =或

(02)s s ≤<，由0s =求得t ，结合图象进而得到答案.

【详解】 函数32

,0

()2,0x x f x x x t x ≥?=?

-++

，

当0x <时，3

()2f x x x t =-++的导数为2

2'()323()3

f x x x x x =-+=--，

所以'()0f x <在0x <时恒成立， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减， 可令()(()2)0g x f f x =-=， 再令()m f x =，即有(2)0f m -=，

当0t ≥时，(2)0f m -=，只有2m =，()0g x =只有两解； 当0t <时，(2)0f m -=有两解， 可得2m =或(02)s s ≤<，

由()2f x =和()f x s =各有两解，共4解， 有(2)0f -≥，解得16t ≥-， 可得t 的范围是：[16,0)-， 故答案是：[16,0)-. 【点睛】

该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为2,3π??

???

，点B 在曲线2C 上，求ABO ?面积的最大值．

【答案】（1）()2

2x 2y 40x -+=≠（）；（2）2

【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为

()

()2

2240x y x -+=≠；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函

数的性质可得OAB 面积的最大值为2.

试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知 |OP|=ρ，OM =14

cos θ

ρ=

. 由OM ?|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）

因此2C 的直角坐标方程为

()2

2x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积

1

S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=

?=?-=-≤+

当α12

π

=-

时， S 取得最大值2+.

所以△OAB 面积的最大值为2+.

点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

18．已知复数2

6(2)2(1)1m

z i m i i

=+----，其中i 是虚数单位，根据下列条件分别求实数m 的值. （Ⅰ）复数z 是纯虚数；

（Ⅱ）复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上. 【答案】（Ⅰ）1

2

m =-；（Ⅱ）0m =或2m =. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案； （Ⅱ）将复数z 在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案. 【详解】

解：因为m ∈R ，复数z 可表示为2

(2)3(1)2(1)z i m m i i =+-+--

()()2223232m m m m i =--+-+，

（Ⅰ）因为z 为纯虚数，所以222320,

320,m m m m ?--=?-+≠?

解得1

2

m =-

； （Ⅱ）复数z 在复平面内对应的点坐标为(

)

22

232,32m m m m ---+ 因为复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上 所以22232320m m m m --+-+= 即2360m m -= 解得0m =或2m =. 【点睛】

本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小. 19．设函数f(x)＝1－x 2＋ln(x ＋1). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若不等式f(x)＞

1

kx x +－x 2(k∈N *

)在(0，＋∞)上恒成立，求k 的最大值. 【答案】 (1)见解析(2)1 【解析】 【分析】

（1）首先求出f （x ）的定义域，函数f （x ）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；

（2）化简不等式f （x ）＞

1

kx

x +﹣x 2，得：（x +1）[1+ln （x+1）]＞kx ，令g （x ）=（x +1））[1+ln （x+1）]﹣kx ，求出g'（x ），由x ＞0，求出2+ln （x+1）＞2，讨论k ，分k ≤2，k ＞2，由恒成立结合单调性判断k 的取值，从而得到k 的最大值． 【详解】

（1）函数f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 函数f （x ）的导数f'（x ）=﹣2x +1

1

x +， 令f'（x ）＞0则

1

1

x +＞2x ，

解得

1122

x --+＜

， 令f'（x ）＜0则

1

21

x x +＜，

解得x ＞

12-+或x ＜12

--， ∵x ＞﹣1，

∴f （x ）的单调增区间为（﹣1，

，+∞）； （2）不等式f （x ）＞

1kx

x +﹣x 2 即1﹣x 2+ln （x+1）＞21kx x x -+，即1+ln （x+1）＞1

kx

x +， 即（x +1）[1+ln （x+1）]＞kx （k ∈N *）在（0，+∞）上恒成立， 令g （x ）=（x +1））[1+ln （x+1）]﹣kx ，则 g'（x ）=2+ln （x+1）﹣k ， ∵x ＞0，∴2+ln （x+1）＞2，

若k ≤2，则g'（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）上递增， ∴g （x ）＞g （0）即g （x ）＞1＞0，

∴（x+1）[1+ln （x+1）]＞kx （k ∈N *）在（0，+∞）上恒成立； 若k ＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可， 结合K 为正整数，故k 的最大值为1． 【点睛】

本题主要考查运用导数求函数的单调性，求解时应注意函数的定义域，同时考查含参不等式恒成立问题，通常运用参数分离，转化为求函数的最值，但求最值较难，本题转化为大于0的不等式，构造函数g （x ），

运用导数说明g（x）＞0恒成立，从而得到结论．这种思想方法要掌握．

20．已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.

（1）求点横坐标的取值范围；

（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

【分析】

（1）设，联立抛物线，再利用圆与直线相交建立不等式，从而确定点横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设，利用韦达定理即可证明为中点.

【详解】

解：（1）由题意直线斜率存在且不为零，设

到的距离为，

所以

（2）当直线过圆心时，

，所以，

即，

所以 ，设，

由得

，所以

，

即为中点．

【点睛】

本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.

21．假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=)

(1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)

【答案】 (1) ~(4,0.9)X B ；406=-Y X ；(2) 0.344

【解析】 【分析】

（1）先由题意可得，X 服从二项分布；再由题意得到10(4)4=-+Y X X ，化简即可得出结果；

（2）先由22≥Y ，根据（1）的结果，得到3≤X ，进而可得(22)(3)1(4)≥=≤=-=P Y P X P X ，即可求出结果. 【详解】

(1)由题意得，X 服从二项分布，即~(4,0.9)X B ，

因为4个投保人中，活过65岁的人数为X ，则没活过65岁的人数为4-X ，

因此10(4)4=-+Y X X ，即406=-Y X . (2)由22≥Y 得40622-≥X ，所以3≤X ，

所以(22)(3)(0)(1)(2)(3)1(4)≥=≤==+=+=+==-=P Y P X P X P X P X P X P X

=440

410.9(10.9)0.34390.344C -??-=≈ .

所以(22)≥P Y 约为0.344. 【点睛】

本题主要考查二项分布的问题，熟记二项分布的概率计算公式即可，属于常考题型. 22．如图，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的三条边分别为，且角A 、B 、C 成等差数列，

，

线段AC 的垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点.

（1）若△BCD 的面积为

，求线段CD 的长；

（2）若，求角A 的值.

【答案】（1；（2）4

π

。 【解析】 试题分析：

（1）由题三角形ABC 的三个内角A,B,C 成等差数列，结合内角和为π，可以列出方程组2A B C B A C

π

++=??

=+?，

所以可以求出角3

B π

=

，又已知2a BC ==，且三角形BCD 的面积为

3

，根据三角形面积公式可有

1sin 2BD BC B =??，可以求出2

3

BD =，在三角形BCD 中，可以应用余弦定理求出CD 边的长度； （2）在三角形BCD 中，应用正弦定理：

sin sin CD BC

B BDC

=

∠，所以可以求出sin 1BDC ∠=，于是得到90BDC ∠=，所以BD CD ⊥，则90ADC ∠=，且DE 为线段AC 的垂直平分线，所以DA=DC ，即三角

形ADC 为等腰直角三角形，所以可以求出A 角的值。本题考查解利用正、余弦定理解三角形，要求学生掌握定理的基本应用。能够灵活的运用定理解决实际问题。 试题解析：

（1）∵角A,B,C 成等差数列，

，∴

又∵△BCD的面积为，，∴，∴在△BCD中，由余弦定理可得

（2）由题意，在△BCD中，，即，

∴，则，即

又DE为AC的垂直平分线，故

考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形。