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最新高考-高考数学立体几何2 精品

最新高考-高考数学立体几何2 精品
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第13讲 立体几何

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

一、知识整合

1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力.

2.判定两个平面平行的方法:

(1)根据定义——证明两平面没有公共点;

(2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;

(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质:

⑴由定义知:“两平行平面没有公共点”。

⑵由定义推得:“两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理:“如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行”。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”,但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决.

空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的

角θ∈(0,2π],直线与平面所成的角θ∈0,2π??????

,二面角的大小,可用它们的平面角来度量,其平面角θ∈[0,π].

对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应

用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.

如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角;而求二面角α-l -β的平面角(记作θ)通常有以下几种方法:

(1) 根据定义;

(2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ,设γ∩α=OA ,γ∩β=OB ,则∠AOB =θ ;

(3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面α内一点A ,分别作另一个平面β的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C ),连结AC ,则∠ACB =θ 或∠ACB =π-θ;

(4) 设A 为平面α外任一点,AB ⊥α,垂足为B ,AC ⊥β,垂足为C ,则∠BAC =θ或∠BAC =π-θ;

(5) 利用面积射影定理,设平面α内的平面图形F 的面积为S ,F 在平面β内的射影

图形的面积为S '

,则cos θ=S S '. 5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间(限于给出公垂线段的)、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离.

求距离的一般方法和步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要求的距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离.

6.棱柱的概念和性质 ⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键,要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。

⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体,要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。

⑶须从棱柱的定义出发,根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导,以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。

⑷关于平行六面体,在掌握其所具有的棱柱的一般性质外,还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质,如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意,平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质,恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。

⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系,因此,很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系,与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比,唯一的差别就是多了一些概念,比如面积与体积的度量等.从这个角度来看,点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点.

7.经纬度及球面距离

⑴根据经线和纬线的意义可知,某地的经度是一个二面角的度数,某地的纬度是一个线面角的度数,设球O 的地轴为NS ,圆O 是0°纬线,半圆NAS 是0°经线,若

某地P 是在东经120°,北纬40°,我们可以作出过P 的经线NPS 交赤道于B ,过P

的纬线圈圆O 1交NAS 于A ,那么则应有:∠AO 1P=120°(二面角的平面角) ,∠POB=40°(线面角)。

⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长,因此,求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。

⌒ ⌒ ⌒ ⌒

例如,可以循着如下的程序求A 、P 两点的球面距离。

S 球表=4πR 2 V 球=34πR 3

⑴球的体积公式可以这样来考虑:我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”;以球心为顶点,以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点,得到若干个小三棱锥,所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加,且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时,小三棱锥的体积和就变成球体积,同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n 个小三棱锥的体积=31S n h n (S n 为该小三棱锥的底面积,h n 为小三棱锥高),所以V 球=31S 球面·R =31·4πR 2·R =3

4πR 3. ⑵球与其它几何体的切接问题,要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系,选择最佳角度作出截面,以使空间问题平面化。

二、注意事项

1. 须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。 2.三种空间角,即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角,通常“线线角抓平移,线面角找射影,面面角作平面角”而达到化归目的,有时二面角大小出通过cos θ=原射

S S 来求。

3.有七种距离,即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其它几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法”来求。

三、例题分析

例1、⑴已知水平平面α内的两条相交直线a, b 所成的角为θ,如果将角θ的平分线l '绕着其顶点,在竖直平面内作上下转动, 转动到离开水平位值的l '处,且与两

条直线a,b 都成角α,则α与2

θ的大小关系是 ( )

A. 2θα≤或2θα≥

B. α>2θ或 α<2

θ C. α>2θ D. α<2

θ ⑵已知异面直线a,b 所成的角为700,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b 都成

600角的直线有

( )条.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

⑶异面直线a,b 所成的角为θ,空间中有一定点O,过点O 有3条直线与a,b 所成角

都是600,则θ的取值可能是 ( ).

A. 300

B. 500

C. 600

D. 900

分析与解答:

⑴ 如图1所示,易知直线l '上点A在平面α上的射影是ι上的点B,过点B 作BC ⊥b,

则AC ⊥b. 在Rt △OBC 和Rt △OAC 中,tg α=OC AC ,tg 2θ=OC

BC .显然,AC>BC, ∴tan α> tan 2θ,又α、2θ∈(0,)2π,∴ α>2

θ.

a '

ι b '

(2)D(3)C

图1

例2、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.

(1)求证:MN ⊥AB ;

(2)设平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为锐角θ,问能否确定θ使直线MN 是异

面直线AB 与PC 的公垂线?若能,求出相应θ的值;若不能,说明理由.

解:(1)∵PA ⊥矩形ABCD ,BC ⊥AB ,∴PB ⊥BC ,PA ⊥AC ,即△PBC 和△PAC 都是 以PC 为斜边的直角三角形,BN PC AN ==∴2

1,又M 为AB 的中点,∴MN ⊥AB. (2)∵AD ⊥CD ,PD ⊥CD.∴∠PDA 为所求二面角的平面角,即∠PDA=θ.

设AB=a ,PA=b ,AD=d ,则2

241a b PM +=,224

1a d CM += 设PM=CM 则由N 为PC 的中点,∴MN ⊥PC 由(1)可知MN ⊥AB ,

∴MN 为PC 与AB 的公垂线,这时PA=AD ,∴θ=45°。

例3、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 0AC=1,

C 点到AB 1的距离为CE=2

3,D 为AB 的中点. (1)求证:AB 1⊥平面CED ;

(2)求异面直线AB 1与CD 之间的距离;

(3)求二面角B 1—AC —B 的平面角.

解:(1)∵D 是AB 中点,△ABC ∠ABC=900,∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ,∴CD ⊥AA 1∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1,又CE ⊥AB 1,

∴AB 1⊥平面CDE ;

(2)由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE

∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1,

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2018届高考数学(理)热点题型:立体几何(含答案解析)

4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。

年高考数学试题知识分类大全立体几何

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2007年高考数学试题汇编 立体几何 一、选择题 1.(全国Ⅰ?理7题)如图,正四棱柱1111D C B A ABCD -中, AB AA 21=,则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( D ) A .51 B .52 C .53 D .5 4 2.(全国Ⅱ?理7题)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于( A ) A . 6 B . 10 C . 2 2 D . 3 3.(北京理3题)平面α∥平面β的一个充分条件是( D ) A .存在一条直线a a ααβ,∥,∥ B .存在一条直线a a a αβ?,,∥ C .存在两条平行直线a b a b a b αββα??,,,,∥,∥ D .存在两条异面直线a b a a b αβα?,,,∥,∥ 4.(安徽理2题)设l ,m ,n 均为直线,其中m ,n 在平面α内,“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也 不必要条件 5.(安徽理8题)半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点,则A 与B 两点间的球面距离为( ) A .)33arccos(- B .)36arccos(- C .)31arccos(- D .)4 1arccos(- 6.(福建理8题)已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( D ) A .,,//,////m n m n ααββαβ??? B . //,,//m n m n αβαβ??? C .,//m m n n αα⊥⊥? D . //,m n n m αα⊥?⊥

全国高考理科数学:立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

2021高考数学立体几何专题

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为() A.8πB.4πC.2πD.π 2.【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

2018届高考数学立体几何(理科)专题02 二面角 1.如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证: 1AB ⊥平面1A BC ; (2)若15360AC BC A AB ==∠=?,,,求二面角11B A C C --的余弦值.

2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面 平面,点为的中点. (1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 2AB AD =, BD =,且PD ⊥底面ABCD . (1)证明:平面PBD ⊥平面PBC ; (2)若Q 为PC 的中点,且1AP BQ ?=u u u v u u u v ,求二面角Q BD C --的大小.

4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面. (1)求证:; (2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别为BC 、AP 中点. (1)求证: //EF 平面PCD ; (2)若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=,求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.

6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==(Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; (Ⅱ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅲ)若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.

立体几何-2019年高考理科数学解读考纲

05 立体几何 (三)立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A.90πB.63π C.42πD.36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规

则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解. 考向二 球的组合体 样题4 (2017新课标全国Ⅲ理科)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A .π B . 3π4 C . π2 D . π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示: 由题意可得:, 结合勾股定理,底面半径, 由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是,故选B. 【名师点睛】(1)求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 (2017江苏)如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12 O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则 1 2 V V 的值是 .

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0

高职高考数学课程初步立体几何

第四编 立体几何初步 第九章 立体几何初步 第一节 简单几何体的表面积和体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下: 2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式: 名 称 表面积S 体积V 棱 柱 底侧S S 2+ h S 底 棱 锥 底侧S S + h S 底3 1 棱 台 下底上底侧S S S ++ h S S S S )(3 1 下底上底下底上底?++ 球 24R π 33 4 R π 圆 柱 )(2r l r +π h r 2π 圆 锥 )(r l r +π h r 23 1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ )(3 1 222121r r r r h ++π 第二节 三视图 1. 柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体. (2)棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体. (3)棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分. (4)圆柱:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r r π2r l r π2l ' r r ' 2r πr π2rl s π2=侧rl S π=侧()l r r S '+=π侧

(5)圆锥:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. (6)圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分. (7)球体:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体. 2. 空间几何体的三视图和直观图: (1)三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) (2)画三视图的原则:长对正,高齐平,宽相等. (3)直观图:斜二侧画法. ①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴,两轴相交于点O ,画直观图时,把它们画成对应的'x 轴和'y 轴,两轴相交于点'O ,且使)135(45??='''∠或y O x ,它们确定的平面表示水平面. ②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变; ③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半. 第三节 空间几何体的平行问题 1. 线线平行的判断: ①平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 ③如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。 l b a l b l a // //?b a // α b a α α ?b b a //?α //a ? b a a =?βαβα // b a //

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

(一) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

(一) 1.D 2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,()1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-

(二) 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

高考数学各题型解法:立体几何篇

2019年高考数学各题型解法:立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法: (1)根据定义--证明两平面没有公共点; (2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另

一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知:“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得:“两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理:”如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行“。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。 宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲.

2007年高考理科数学“立体几何”题

2007年高考“立体几何”题 1.(全国Ⅰ) 如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =, 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ) A . 15 B . 25 C . 3 5 D . 45 解:如图,连接BC 1,A 1C 1,∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角,设AB=a ,AA 1=2a ,∴ A 1B=C 1B=5a , A 1C 1=2a ,∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ,选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知 正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 解:一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知 正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠, 2AB = ,BC = SA SB == (Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD , 得SO ⊥底面ABCD . 因为SA SB =,所以AO BO =, 又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥. (Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥, 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S

高考理科数学立体几何(答案详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 12. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_92___。 2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 6.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 答案:几何体的直观图如右,几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成,圆锥的高 221534PO =-=,1+=45+94=573 V V V C πππ=??圆柱圆锥 ,故选 15.如图,圆O 的半径为1,A B C 、、是圆周上的三点,满足030ABC ∠=,过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,=PA 则 解:连OA 得06021AOP OP PC ∠===,所以,,所以2+213=3PA PC PC PA =?=?∴(), 2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 第(12)题图 俯视图24 5 侧(左)视图 正(主)视图4

(4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB =,122CC =E 为1CC 的中点,则 直线1AC 与平面BED 的距离为 (A )2(B 3C 2(D )1 答案:D (16)三棱柱11 1 ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等, 1160BAA CAA ∠=∠=o ,则 异面直线1 AB 与1BC 所成角的余弦值为62012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 4、如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=( B ) A 、 B 、 C 、 D 、 6、下列命题正确的是( C ) A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 14、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点, 则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____90o ____。 2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 11.如图2,过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点.若1=PA , 2=AB ,3=PO ,则⊙O 的半径等于6. 2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 5.如图. ∠ACB=90o,CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则(A ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 【解析】在ACB ?中,∠ACB=90o,CD ⊥AB 于点D ,所以

高三数学理科综合立体几何试题个大题

立体几何复习试题 1.如图甲所示,BO 是梯形ABCD 的高,∠BAD=45°, OB=BC=1,OD=3OA ,现将梯形ABCD 沿OB 折起如图乙所 示的四棱锥P ﹣OBCD ,使得PC= ,点E 是线段PB 上 一动点. (1)证明:DE 和PC 不可能垂直; (2)当PE=2BE 时,求PD 与平面CDE 所成角的正弦值. 2.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,面PAD ⊥底面ABCD ,且PAD ?是边长为2的等边三角形,13,PC M =在PC 上,且PA P 面MBD . (1)求证:M 是PC 的中点; (2)在PA 上是否存在点F ,使二面角F BD M --为直角?若存在,求出AF AP 的值;若不存在,说明理由. 3.如图,在四棱锥P -ABCD 中,BA ∥平面PCD ,平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊥AD ,△APD 为等腰直角三角形, 222PA PD CD == =(1)证明:平面PAB ⊥平面PCD ; (2)若三棱锥B -PAD 的体积为1 3,求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余 弦值. 4.如图,在圆柱OO 1中,矩形ABB 1A 1是过OO 1的截面CC 1是圆柱OO 1的母线, AB=2,AA 1=3,∠CAB=. (1)证明:AC 1∥平面COB 1; (2)在圆O 所在的平面上,点C 关于直线AB 的对称点为D , 求二面角D ﹣B 1C ﹣B 的余弦值. P D C A B

立体几何复习试题试卷答案 1.【解答】(1)证明:如图甲所示,因为BO 是梯形ABCD 的高,∠BAD=45°,所以AO=OB…(1分) 因为BC=1,OD=3OA ,可得OD=3,OC= …(2分) 如图乙所示,OP=OA=1,OC=,PC=,所以有OP 2+OC 2=PC 2,所以OP ⊥OC…(3分) 而OB ⊥OP ,OB ∩OC=O ,所以OP ⊥平面OPD…(4分) 又OB ⊥OD ,所以OB 、OD 、OP 两两垂直.故以O 为原点,建立空间直角坐标系(如图),则P (0,0,1),C (1,1,0),D (0,3,0) 设E (x ,0,1﹣x ),其中0≤x ≤1,所以 =(x ,﹣3,1﹣x ),=(1,1,﹣1), 假设DE 和SC 垂直,则=0,有x ﹣3+(1﹣x )(﹣1)=0,解得x=2, 这与0≤x ≤1矛盾,假设不成立,所以DE 和SC 不可能垂直…(6分) (2)解:因为PE=2BE ,所以E (,0,)…(7分) 设平面CDE 的一个法向量是=(x ,y ,z ), 因为=(﹣1,2,0),=(,﹣3,),所以 取=(2,1,5)…(10分) 而=(0,3,﹣1),所以|cos <,>=, 所以PD 与平面CDE 所成角的正弦值为.…(12分) 2.解答:(1)证明:连AC 交BD 于E ,连.ME ABCD Q 是矩形, E ∴是AC 中点.又PA P 面MBD ,且ME 是面PAC 与面MDB 的交线, ,PA ME M ∴∴P 是PC 的中点. (2)取AD 中点O ,由(1)知,,OA OE OP 两两垂直.以O 为原点, ,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为 ()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,222A B D C P M ??--- ? ???.

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