① “sup ”是remum sup （上确界）的缩写.
E inf =β②
同样地：（1）表明β是数集E 的下界；（2）表明任何大于β的数εβ+都不是E 的下界，即数集E 的下确界β是数集E 的最大的下界.
例2 证明,11sup =?????
?∈++N n n n 2
1
1inf =??????∈++N n n n .
事实上，（1）,N n +∈?有
11
<+n n
； （2）,1,00=?>?n ε有n n 00
11+<
-ε，（只须110->ε
n 即可）， 即 sup 11n n N n +??
∈=?
?+??
又因为 （1）,N n +∈?有
1
21+≤
n n
； （2）,1,00=?>?n ε有
011122
n n ε=<++， 即 2
1
1inf =?????
?∈++N n n n 例3 {
},66,5,4,3,2,1sup = {}.16,5,4,3,2,1inf = 事实上，（1）{
},6,5,4,3,2,1∈?m 有;6≤m （2）{
},6,5,4,3,2,16,0∈?>?ε有66<-ε， 即 {
}66,5,4,3,2,1sup = 又因为 （1）{
},6,5,4,3,2,1∈?n 有;1n ≤
（2）{
},6,5,4,3,2,11,0∈?>?ε有ε+<11， 即 {
}.16,5,4,3,2,1inf = 例4 证明((.),inf ,],sup b b a a =+∞=∞-
② “inf ”是imum inf （下确界）的缩写.
事实上，（1）(],,a x ∞-∈?有;a x ≤
（2）(],,00a x ∞-∈?>?ε，有x a 0<-ε， 即 (.],sup a a =∞-
又因为 （1）(),,+∞∈?b x 有;x b <
(2) (),,,00+∞∈?>?b x ε有,0ε+
由上面一些例子，我们容易看出：
（1）有限数集必定存在上下确界，它的上下确界分别为该有限数集的最大数和最小数. (2)若数集E 有上下确界，则它的上下确界可能属于E （如(b b =∞-],sup ，也可能不属于E （如11sup =?
??
??
?∈++N n n n ）.
显然，无上（下）界的数集一定不存在上（下）确界，那么有上（下）界的数集是否一定存在上(下)确界呢？
关于数集确界的存在性问题，本书给出如下定理：
确界定理 若非空数集E 有上（下）界，则数集E 必存在上（下）确界.
这个定理虽然只是一个存在性的论断，但却是本书的理论基础.因此，我们要对其加以高度的重视.
例5 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=, 证明：
（1）{};sup ,sup max sup B A S = (2) {}
.inf ,inf min inf B A S = 证明 因为B A ,非空有界，所以S 非空有界.根据确界定理，S 的上下确界都存在.
一方面，S x ∈?，有A x ∈或B x ∈，于是A x s u p ≤或B x sup ≤,从而{}B A x s u p ,s u p m a x ≤，即{};sup ,sup max sup B A S ≤
另一方面，A x ∈?，有S x ∈,于是S x s u p ≤，从而S A sup sup ≤.同理S B s u p s u p ≤.
所以有 {};sup ,sup max sup B A S ≥
综上所述有 {}sup max sup ,sup S A B =. （2）同法可证.
注意 若把∞+和∞-补充到实数集中，并规定任一实数a 与∞+，∞-的关系如下： +∞<-∞-∞>+∞<,,a a 那么我们可以将确界定义加以推广：
若数集S 无上界，则定义∞+为S 的非正常上确界，记作 +∞=S sup
若数集S 无下界，则定义∞-为S 的非正常下确界，记作 -∞=S inf
在这样的定义下，我们同样可以将确定定理加以扩充： 任一非空数集必有上(下)确界（正常的或非正常的）. 如：自然数集N 仅有下确界,但没有上确界，可以表示为 ,1inf =N +∞=N sup
第三节 函数的概念
关于函数的概念，在中学数学中我们已有了初步的了解，本节将对此再作进一步的讨论.
一、函数的定义
定义1-4 设A 是非空数集.若存在对应关系f ，对A 中任意数()x x A ?∈，按照对应关系f ，对应唯一一个y R ∈，则称f 是定义在A 上的函数，表示为
:f A R →
其中数x 对应的数y 称为x 的函数值，表示为()y f x =，x 称为自变量，y 称为因变量.数集A 称为函数f 的定义域，函数值的集合()(){}
f A f x x A =∈称为函数f 的值域.
关于函数的定义，我们需要做以下几点说明：
1.函数的定义域和对应法则是确定函数的两个主要因素，所以我们常用()y f x =，
x A ∈表示一个函数.并且我们说两个函数相同，是指它们具有相同的定义域和对应法则.如
函数()()1,,f x x =∈-∞+∞和()()(),,00,x
g x x x
=∈-∞+∞ 由于定义域不同，
所以是两个不同的函数.
2.根据函数的定义，虽然函数都存在定义域，但是常常并不明确指出函数的定义域，这时认为函数的定义域是自明的，即定义域是使得函数()y f x =有意义的实数x 的集合
(){}
A x f x R =∈.对于具有实际意义的函数，它的定义域则要受实际意义的约束.如球的
体积V 是半径r 的函数3
43
V r π=
，其中[0,)r ∈+∞. 3.在函数定义中，对每一个x ，只能有唯一的y 值与它对应，这种函数称为单值函数.
若允许同一个x 值可以和多于一个的y 值相对应，则称为多值函数.但在本书范围内，我们只讨论单值函数.
二、函数的表示法
在中学数学里，我们已经知道函数可以用三种方法来表示：解析法、列表法、图象法. 此外，有些函数在其定义域的不同部分用不同的解析式来表达，这样的函数我们将其称为分段函数.例如，函数
()1,0
0,01,0x f x x x >??
==??-
的含义如下：当x 在()0,+∞内取值，对应的函数值等于1；当0x =时，则()00f =；当
(),0x ∈-∞时，则()1f x =-.我们将这样的函数称为符号函数，记作sgn x .
在以后的学习中，我们陆续还会碰到一些函数，它们无法用解析法、列表法或图象法表示，只能用言语来描述.如定义在R 上的狄利克雷函数
()10,x D x x ?=??，为有理数为无理数.
和定义在[]0,1上的黎曼函数
()1,(,)0,0,1p p x p q q q q R x x ?=?=??=?
为正整数，为既约分数和无理数
三、函数的四则运算
我们知道函数有三要素：定义域、对应关系、值域.实质上当一个函数的定义域和对应关系确定时，它的值域也被唯一确定，因此定义两个函数的相等和四则运算，只须同时考虑定义域和对应关系这两个要素即可.
给定两个函数()f x ，x A ∈和()g x ,x B ∈,记D A B = 且D ≠?.现对()f x 与
()g x 的相等及()f x 与()g x 在D 上的和、差、积的运算作如下定义：
1.若B A =,且,A x ∈?有()()x g x f =，则称函数()x f 与()x g 相等，表示为.g f =
如()R x x x f ∈=,与()()
22
,.sin cos g x x x x x R =+∈虽然函数的解析式不同，但它们
具有相同的定义域，并且对,R x ∈?有
()
22
sin cos x x x x =+
于是，函数()R x x x f ∈=,与()()
22
,sin cos g x x x x x R =+∈相等.
相反的，对于函数()1+=x x f 与(){}2
1,1.1
x g x x R x -=∈--虽然，对{}1-∈?R x ，有1
12
--=x x x
但是这两个函数的定义域不相等，于是()().x g x f ≠
2.()()(),x g x f x F += D x ∈ ()()(),x g x f x G -= D x ∈ ()()(),x g x f x H = D x ∈
若在D 中剔除使()0=x g 的x 值，即当(){}
*0D x g x D =-=≠?时，还可以对f 与g 在
D *的商运算作出如下定义:
()()()
,x g x f x L =
D x *∈
如()()()()[]ln 1,,11,1f x x x g x x =-∈-∞=∈-与 记 ()[])1,1[1,11,-=-∞-= D
(){}
{})1,1(1,1)1,1[0*-=---==-=x g x D D 则当D x ∈时，函数()x f 与()x g 的和、差、积分别为
()()()(
)ln 1F x f x g x x =+=- ()()()(
)ln 1G x f x g x x =-=-- ()()(
)()1H x f x g x x ==- 而当D x *∈时，函数()x f 与()x g 的商为 ()
()()
ln 1f x x L x g x -==
今后为叙述方便，我们将f 与g 的和、差、积、商常分别写作
,g f + ,g f - ,fg
.g
f 四、复合函数
在有些实际问题中，自变量与因变量的函数关系是通过其它变量才建立起来的.例如，函数
y t ln = 与1-=x y
经过中间变量y 的传递生成新函数()1ln -=x t ，于是t 又是x 的函数.仅对1-=x y 来说，x 可取任意实数，但是对生成的新函数而言，此处必须要求10y x =->，即1x >.此时我们将()1ln -=x t 称为函数y t ln =与1-=x y 的复合函数.
下面给出复合函数的具体定义：
定义1-5 设有两个函数()D u u f y ∈=,与()E x x g u ∈=, 若G 是E 中使()D x g u ∈=的x 的非空子集，即 (){}
,G x g x D x E =∈∈≠?
则对每一个G x ∈，按照对应关系g 对应唯一一个D u ∈，再按照对应关系f 对应唯一一个y .这样就确定了一个定义在G 上，以x 为自变量，y 为因变量的函数.记作
()[],x g f y = G x ∈ 或 ()(),x g f y = G x ∈
称为函数()D u u f y ∈=,与()E x x g u ∈=,的复合函数.其中()u f 称为外函数，()x g 称为内函数，u 为中间变量.
如由函数
y
t =与
()()x x y --=21生成的复合函数是
()()()()
x x t x g f --==21 ，而此时复合函数的定义域由0≥y 决定，即
()(){}021≥--x x x .
于是，此复合函数的定义域为{}
21≤≤x x .
当然复合函数也可以由多个函数复合而成.例如，由以下三个函数 ,log a y u = ()+∞∈,0u
z u =
, ),0[+∞∈z
21,z x =- )1,1(-∈x
形成的复合函数为log
y = )1,1(-∈x .
此外，我们不仅能将若干个简单函数生成为复合函数，而且还要善于将复合函数“分解”
为若干个简单函数.例如，函数tan y =是由五个简单函数
5,y u =,tan v u =,3
w v =x t t w arcsin ,lg ==所生成的复合函数.
注 f 与g 只是函数f 与g 的一种复合运算.一般来说，f g g f ≠. 例如，设(),sin x x f = ()2g x x =，则
()()()
()()2
2sin sin ,0.f g x x g f x x x =≠=?≠
这说明函数的复合运算与实数的加、乘运算不同，它不满足交换律，但容易证明它满足
结合律：
()()h g f h g f =.
五、反函数
定义1-6 设函数 ().,A x x f y ∈=若对于值域()A f 中每一个值0
y ，A 中有且只有一
个值x 0和它对应，即()y x f 00=，则按此对应法则能得到一个定义在 ()A f 上的函数，称这个函数为()x f 的反函数，记作
f
1
-： ()A A f →
或 ()1
x y f -=，()A f y ∈
关于定义的理解，需注意： （1）f 1
-是f 的反函数，反之，f 也是函数f
1
-的反函数.此时称f 与f
1
-互为反函数.
并且有
()[]x x f f ≡-1
，A x ∈ 和()1f y y f -??≡??，()A f y ∈
(2)反函数()1
x y f -=的定义域和值域恰好是原函数的值域和定义域.
例如，函数12+=x y 的定义域为R ，值域也是R .R y ∈?(值域)对应R （定义域）中唯一一个x ，即()121
-=
y x .则12+=x y 的反函数是()12
1-=y x ，.R y ∈ 又如()0,1x y a a a =>≠的定义域是R ，值域是()+∞,0.()+∞∈?,0y 对应R 中唯一一个log a x y =，则()0,1x y a a a =>≠的反函数是log a
x y =，()+∞∈,0y .
实质上，并不是每一个函数都有反函数.那么什么样的函数才有反函数呢？我们有下面的定理：
定理1-1 若函数()y f x =在数集A 严格增加（严格减少），则函数()y f x =存在反
函数，且反函数()1
x y f -=在()f A 也严格增加（严格减少）.
注 函数的严格单调仅是函数存在反函数的充分条件，而不是必要条件. 例如，如图1-1：
函数1,10
,01
x x y x x -+-≤
≤≤?
刘玉莲26页
显然函数在[]()[]1,10,2f
-=上存在反函数()1
,011,12
y y x y f
y y -≤≤?==?
-<≤?,但在[]1,1-上该函数不是单调函数.
另外，函数在其定义域上不一定有反函数，但是若将函数限定在定义域的某个子集上，它就可能存在反函数.如：
1.2y x =在定义域R 上不存在反函数.因为0y ?>，在定义域R
上对应两个不同的
x =，但若将2y x =限定在(]0,+∞,它是严格增加的，由定理可知，2y x =，[0,)x ∈+∞
存在反函数[0,).x y =
∈+∞
2.三角函数sin ,cos y x y x ==在各自的定义域R 上都不存在反函数，但若将
sin y x =定义在,22R ππ??
-?????上，它是严格增加的，由定理1-1可知，它存在反函数
[]arcsin ,1,1x y y =∈-.同样地，将cos y x =定义在[]0,R π?上，它是严格减少的，则
存在反函数[]arccos ,1,1x y y =∈-.
在数学中，人们习惯用x 表示函数的自变量，y 表示因变量.所以()y f x =的反函数
()()1
,x y y f A f -=∈常写作()()1
,.y x x f A f
-=
∈而当函数()y f x =与其反函数
()1
x y f
-=在一起讨论时，为避免混淆，常又将其反函数表示为()1
x y f
-=.
由中学数学对一些常见函数的研究，我们不难看出函数()y f x =与它的反函数
()1
y x f
-=的图象关于直线y x =对称.
六、初等函数
数学中，我们将常数函数,y c c =为常数、幂函数(y x αα=为实数）、指数函数
()0,1x y a a a =>≠、对数函数()0,1log a y x a a =>≠、三角函数sin ,cos y x y x ==与
反三角函数arcsin ,arccos y x y x ==等六类函数统称为基本初等函数.而凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合运算所得到的函数，统称为初等函数.
例如
log x y y ==
以及多项式函数
()()2012,,n n n x x x p a a a x a x =++++∈-∞+∞ 等都是初等函数.
凡不是初等函数的函数，被称为非初等函数.如狄利克雷函数
()1,0x D x x ?=??为有理数，为无理数 与符号函数 1,0
sgn 0,01,0
x x x x >??
==??-
等.
第四节 函数的性质
一、函数的有界性
定义1-7 设f 为定义在A 上的函数，若存在数M ，对每一个x A ∈都有
()()()f x M f x M ≤ ≥
则称f 为A 上有上（下）界函数，M 称为f 的一个上（下）界.
根据定义，若M 为f 的上（下）界，则任何大（小）于M 的数也是f 在A 上的上（下）界.
类似的,设f 为定义在A 上的函数，若对每一个数M （无论M 多大），都存在数
0x A ∈，使得()0f x M >，则称f 为A 上无上界函数.
定义1-8 设f 为定义在A 上的函数，若存在正数M ，对每一个x A ∈都有
()f x ≤M
则称f 为A 上有界函数.
根据定义，f 为A 上有界函数，意味着f 在A 上既有上界又有下界，它的图象完全落在以直线y M =与y M =-为边界的带形区域内（y M =与y M =-不一定与曲线
()y f x =相切）.
如正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =对每一个x R ∈，都有 sin 1x ≤和cos 1x ≤
所以它们都是有界函数.
作为练习，请自行写出无下界函数与无界函数的定义.
二、函数的单调性
定义1-9 设函数()f x 在数集A 有定义。若1,2,x x A ?∈且12x x <，有 ()()12f x f x ≤ （()()12f x f x ≥ ） 称函数()f x 为A 上的递增（减）函数.
若将上述不等式改为
()()12f x f x < （()()12f x f x >） 称函数()f x 为A 上的严格递增（减）函数.
递增与递减函数统称为单调函数.
如函数3
y x =在()-∞,+∞上是严格递增函数.因为当12x x <时，恒有3
3
12x x <. 而函数2y x =在()-∞,0上是递减的，在(0),+∞上是递增的，但在整个定义域
()-∞,+∞上不具有单调性.
由第三节可知，严格单调函数必有反函数，所以我们不难证明如下定理： 定理1-2 严格递增（减）函数的反函数也必是严格递增（减）的.
三、函数的周期性
定义1-10 设()f x 为定义在数集A 上的函数，若0l ?>，x A ?∈，有x l A ±∈，且()()f x l f x ±=，则称函数()f x 是周期函数，l 为()f x 的一个周期.
显然，若l 为()f x 的周期，则2l ,3l ,4l …nl （n 是正整数）也是f 的周期.若在()f x 的所有周期中有一个最小的正周期，则称这个周期为()f x 的基本周期，简称为周期.
如sin y x =的周期为2π，cos y x =的周期为π，y c =是以任何正数为周期的函数，但不存在基本周期.
描述周期函数的图象，只要在一个周期长的区间上描出函数的图象，然后将此图象一个周期一个周期向左、右平移，就得到了它在整个定义域上的图象.
四、函数的奇偶性
定义1-11 设A 为对称于原点的数集，f 是定义在A 上的函数，若对每一个x A ∈（这时也有x A -∈），都有
()()()()()
f x f x f x f x -=- -= 则称()f x 为A 上的奇（偶）函数.
如函数()f x c =是偶函数，当c=0时，它也是奇函数；又如函数()sin f x x =和
()cos f x x =分别为R 上的奇函数和偶函数，因为()()sin sin ,cos cos x x x x -=--=，而()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.
从图象上来看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. 习题一 1.回答下列问题:
（1）什么叫实数的稠密性？
（2）一个无理数和一个有理数之和是有理数还是无理数？它们的乘积呢？ 2.设,0≠a 证明21
≥+
a
a ，并说明等号成立的条件.
3.设c b a ,,都为正实数.证明b c ≤-,并说明此不等式的几何意
义.
4.对于,1≥n 证明下列不等式：
（1）
()
111321211<-++?+?n n （2）()2211123132
n n n <++++<
+ （3）2
1
1122
n n ??+++< ??? (可用数学归纳法)
5.试用平均值不等式证明：
1
11111n n n n +???
?+<+ ? ?
+????
， 其中n 为正整数
提示：可令1211
1,1n n x x x x n
+====+
= . 6.在数轴上画出下列数集所表示的区间： （1）()(){}
032<+-x x x ； （2）{}
13≥+x x x ； （3）?
?????
<-522
x x
；
（4）11,32U ?? ???
； （5）
()5,3U
.
7.指出下列数集的上确界与下确界（如果存在），并验证之： （1）{}8,5,0,2,10--； （2）()1
11,2,32n
n n ??
-?
=???
?
； （3）?
??
???
=+
3,2,141n n ； （4）{}212≤<-x x ； （5）({}
]2,0sin π∈x x ； （6）???
???=-
= 2,1,21
1n x x n . 8.证明:非空有界数集的上（下）确界是唯一的.
9.证明:若A 与B 是两个非空数集，若对一切A x ∈和B y ∈都有y x ≤，则
.in f s u p B A ≤
10.设B A ,为非空有界数集，定义数集
{}
B y A x y x Z Z B A ∈∈+==+,, 证明：（1）()B A B A sup sup sup +=+; （2）()B A B A inf inf inf +=+.
11.证明:设数集S 有上界，则数集{}
S x x T ∈-=有下界，且 .inf sup T S -=
12.试作出下列函数的图象:
(1)()2
11y x =-+； (2)()sgn sin y x =；
(3)33,1,13,1
x x y x x x ?>?
=
=?.
12.指出下列函数在指定区间的反函数及其定义域:
（1
）[]1,0y x =∈- ； （2）2,10x y x R +=∈；
（3）()1ln 21,,2y x x ??
=+∈-+∞ ???； （4）()[]()
2,,1,1,4,4,2x
x x y x x x ∈-∞??=∈??∈+∞?.
12.将下列复合函数“分解”为基本初等函数：
（1）2
sin 2x y =； （2
）ln cos y = （3）()20
1y x =+； （4）()3ln 1sin y x =+.
15.设()f x 是关于x 的二次函数，且()()()01,12,f f x f x x =+-=求函数()f x 的解析式.
16.设2
2113,f x x x x
?
?+
=++ ???试求函数()f x . 17.试指出函数ax b
y cx d
+=
+在什么条件下，其反函数就是它本身? 18.证明：函数
()2
1
x
f x x =
+是R 上的有界函数. 19.证明下列函数在指定区间上的单调性： （1）31y
x =-在(),-∞+∞内单调递增；
（2）sin y x =在,22ππ??
-????
上严格递增；
（3）cos y
x =在[]0,π上严格递减.
20.指出下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？ （1）
()2
5
3f x x x x
=++ ； （2）
()4
212
x
f x x =+-；
（3）
()1
sin f x x x
= ； （4）(
)(lg f x x =+；
（5）
()2
12x f x -=.
21.证明：若函数
()f x 与()x ?在数集A 有界，则函数
()()()()()(),,f x x f x x f x x ???+-在数集A 也有界.
22.设函数()f x 与()g x 有相同的定义域，证明：
（1）若()f x 与()g x 都是偶函数，则()()f x g x 是偶函数； （2）若()f x 与()g x 都是奇函数，则()()f x g x 是偶函数；
（3）若
()f x 与()g x ，一个是偶函数，另一个是奇函数，则()()f x g x 是奇函数.
23. 求下列函数的周期： （1）
()2cos f x x =； （2）()sin5f x x π=；
（3）
()cos 2sin 23
x x
f x =+ ； （4）(
)f x = 24.证明：若函数
()f x 是以T
为周期的周期函数，则函数()()F
x f ax =是以
()0T
a a
>为周期的周期函数. 25.证明：
()2f x x x =-在R 上不是偶函数，不是周期函数，不是严格增加函数，
也不是单调减少函数.
答案：
2.（1）8；-10. （2）11;.42- （3）5；1. （4）4；0. (5)1;-1. (6)1;12
2.（1
）[]0,1y x =∈ ； （2）()lg 2,0,y x x =-∈+∞；
（3）()11,2x y x R e =-∈ ； （4）(
)
[]()
2,,11,16,16,log x x y x x x ∈-∞?=∈∈+∞??.
七年级下册数学第二章实数知识点
人教版七年级数学下册 第六章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 实数 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果 a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是 非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <———————————————— > a x ±= a 是x 的平方，x 是a 的平方根 x 的平方是a ，a 的平方根是x
授课章节：第一章实数集与函数---.doc
第一章实数集与函数 §1.1实数 教学目标：使学生掌握实数的基本性质. 教学重点：（1） 了解实数的有序性、稠密性和封闭性； （2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式. 教学难点：实数集的概念及 其应用. 教学方法：讲授.（部分内容自学） 教学过程： 一、 实数及其性质 :叹嘗纟（阳为整数且q 主0）或有限小数和无限小数. 负分数,p 无理数:用无限不循环小数表示. R = {x\兀为实数} --全体实数的集合? 问题：有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要, 我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定： 对 于正有 限 小 数x = a n .其中0 b {}或存在非负整数/，使得cik=b k ,k = \,2, ，/,而%>$+】，则称尢大于y 或y 小 Tx,分别记为x 〉y 或）YX .对丁?负实数x 、y,若按上述规定分别有-x = -y 或-兀>-厂 则 有理数 （-）实数
数学基础模块上册第一章集合复习纲要
第一章集合 集合的对象叫做这个集合的元素。 ∈和不属于?正整数集N* 数集有限集：含有有限个元素自然数集N 无限集：含有无限个元素整数集Z 点集由一个或多个点组成的集合有理数集Q {（x，y）}实数集R {（x，y）|x=R，y=R } 空集?不含有任何元素 空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 N* ?N ?Z ?Q ?R {}组成一个整体。如：{1，2} 集合中元素较多时，可以用···代替一些元素， 例如小于100的自然数{0，1，2， (99) {}中写出代表元素，画一条竖线，竖线右侧写出元素具有的性质。 例如小于5的实数表示为{x|x<5,x∈R},如果可以明显看出集合的元素为实 数，则x∈R可以省略不写，例如小于5的实数表示为{x|x<5}。 B的元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集， 记做B?A（或A?B） ，读做“B包含于A”（或“A包含B”）。 A B 性质：任何集合都是它自身的子集，即A?A 空集是任何子集的子集，??A 子集与充要条件：B?A，则B?A，B是A的充分条件 A?B，则A?B，A是B的必要条件 含义：如果B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么集合B叫做 集合A的真子集,记作B?A（或A?B） ，读做“B真包含于A” （或“A真包含B”）。 性质：空集是任何非空子集的真子集，??A 真子集与充要条件：B?A，则B?A，B是A的充分条件 A?B，则A?B，A是B的必要条件 含义：集合A与集合B的元素完全相同，那么说集合A和集合B相等记作A=B。 性质：B?A，A?B，则A=B；B∪A=A∩B，则A=B 相等与充要条件：A=B，则A?B，A是B的充要条件。
七年级上册第一章实数第一周练习卷
第1页 / 共 4页 A B C －1 0 2 §2.1～2.3 一、选择题（4′×10=32′） 1、下列各数：－6，－3.4，＋2.25，1，0，－3.14，2004，其中正数的个数有 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、下列说法正确的是 （ ） A 、有理数不是正数就是负数 B 、分数属于有理数集合 C 、整数又叫自然数 D 、0是最小的数 3、在数轴上距原点4个单位长度的点所表示的数是 （ ） A 、4 B 、－4 C 、4或－4 D 、2或－2 4、在数轴上表示数－3，0，2.5，0.4的点中，不在原点右边的有 （ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、下列说法正确的是 （ ） A 、 0是最小的有理数 B 、 如果m>n,那么数轴上表示m 的点一定在表示n 的点的左边 C 、 一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大 D 、既没有最小的正数，也没有最大的负数 6、相反数等于本身的数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、 4个 D 、无数个 7、下列说法正确的是 （ ） A 、正数和负数互为相反数 B 、一个数总比它的相反数大 C 、一个数越大，它的绝对值也越大 D 、一个数越大，它的相反数越小 8、一个正方体的侧面10、展开图如右图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A 、B 、C 内的三个数依次为 （ ） A 、1，－2，0 B 、 0，－2，1 C 、－2，0，1 D 、－2，1，0 二、填空题（2′×23=46′） 1、在4个不同的时刻，对同一条河同一地点的水位进行测量，记录如下：上升3厘米，下降4厘米，上升2厘米，不升不降。如果上升3厘米记作＋3厘米，那么其余3个记录分别记为 ， ， 。 2、观察下面依次排列的一列数，你能发现它的排列有什么规律？它后面三个数有可能是什么 数？试把它写出来。 （1）1，－2，4，－8，16，－32， ， ， 。 （2）3，2，1，0，－1，－2，－3， ， ， 。 3、小于5的正整数是： ； 4、大于－1.5而不大于2的整数是： ； 5、用“＜”、“＞”或“＝”比较大小： ⑴3.14_ _－4； ⑵－722_ _－π； ⑶－0.8_ _ |－43 |； ⑷－|－2.3|____|－2.3|。 6、数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数为___________________。 7、化简下列各式的符号： ⑴ +（+3）=______； ⑵ －（+722）________；⑶ －（+0.8）_____；⑷ －|－43 |=______； 三、解下列各题（4′+8′+10′=22′） 1、一艘潜水艇所在高度为－50米，一条鲨鱼在潜水艇正上方10米处，那么鲨鱼所在的高度是多少米？ 2、画出数轴，把下列各数分别在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“<”连接起来。 3，－2， 211 ，0， 21 3 3、一只蚂蚁在数轴上爬行，它从原点开始爬，“+”表示它向右，“－”表示它向左，总共爬行了10次，其数值统计如下（单位：cm ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +30 －20 －30 +10 +20 －20 －10 +10 －30 +20 (1)如果转头所需时间忽略不计，蚂蚁每分钟爬行40cm ，则在此爬行过程中，它共用了多长时间？(2)此时,该蚂蚁距离原点多远? 数 轴 【知识扫描】
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4
第六章实数复习课教案(1)
第六章实数复习课教案 枣阳市新市镇钱岗中学莘义成 一、内容和内容解析 1．内容 平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念、运算． 2．内容解析 本章的内容是从典型的实际问题出发，首先介绍了算术平方根的概念和它的符号表示．然后学习了平方根和立方根的概念及符号表示，并通过开平方、开立方运算认识了不同于有理数的数-----无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，并能在实数范围内进行简单运算． 本章的重点内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．算术平方根是学习平方根的基础，类比平方根的探究思路和方法，对立方根进行了探究；通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，体会类比的研究方法和作用．实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，体验数形结合的数学思想． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：复习平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，构建本章知识结构． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系，形成知识体系； （2）巩固开平方和开立方运算． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过复习本章的主要内容，进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，能建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别． 达成目标（2）的标志是：学生能够运用乘方与开方是互逆运算及实数的运算律和运算性质进行实数的简单运算；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计无理数的大致范围，
中考数学一轮教案第一章实数与中考
第一章 实数与中考 中考要求及命题趋势 1.正确理解实数的有关概念； 2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5.会用多种方法进行实数的大小比较。 2007年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。 应试对策 牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。 第一讲 实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是 （2）若 9.28,89.233==ab a ，则b 等 于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小： 方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0. 方法三：乘方法.如比较3362与的大小。 例：比较下列两数的大小 （1） 2 123-10与 （2）5325与 【实数】 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。 （2）实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=? ??<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大 于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 （1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每个点都表示已个实数。
中考数学第一部分数代数第一章第1讲实数检测复习 (2)
第一部分 数代数 第一章 数与式 第1讲 实数 1．(2014年广东广州)a (a ≠0)的相反数是( ) A ．－a B ．a C ．|a | D.1a 2．(2014年广东深圳)9的相反数是( ) A ．－9 B ．9 C ．±9 D.19 3．(2013年广东深圳)－3的绝对值是( ) A ．3 B ．－3 C ．－13 D.13 4．(2014年广东)在1,0,2，－3这四个数中，最大的数是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－3 5．(2014年广东深圳)支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北．据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元.47.3亿用科学记数法表示为( ) A ．4.73×108 B ．4.73×109 C ．4.73×1010 D ．4.73×1011 6．(2013年广东)下列等式正确的是( ) A ．(－1)－3＝1 B ．(－4)0＝1 C ．(－2)2×(－2)3＝－26 D ．(－5)4÷(－5)2＝－52 7．(2013年广东广州)实数a 在数轴上的位置如图1-1-3，则|a －2.5|＝( ) 图1-1-3 A ．a －2.5 B ．2.5－a C ．a ＋2.5 D ．－a －2.5 8．(2014年广东)据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为________． 9．(2014年广东深圳)计算：12－2tan60°＋(2014－1)0－? ?? ??13－1. A 级 基础题 1．(2013年浙江丽水)在数0,2，－3，－1.2中，属于负整数的是( ) A ．0 B ．2 C ．－3 D ．－1.2 2．(2014年湖北黄石)－13 的倒数是( ) A ．－3 B ．3 C.13 D ．－13 3．(2014年黑龙江绥化)－2014是2014的( ) A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根 4．(2013年四川内江)下列四个实数中，绝对值最小的数是( ) A ．－5 B ．－ 2 C ．1 D ．4 5．下列各式，运算结果为负数的是( )
数学分析第一章
第一章 实数集与函数 §1 实数 Ⅰ.教学目的与要求 1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法 2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用 3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点 重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式. 难点: 实数的定义及其应用. Ⅲ.讲授内容 一 实数及其性质 实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成． 有理数的表示:有理数可用分数形式q p (p ?q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进 小数或无限十进循环小数来表示. 无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数． 有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a 1a 2n a 时，其中0,9≤≤i a i=1,2, n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a ( 1)?.999 9, 而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…， 例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示． 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数 x= 0a .a a 1n a , y=,.210 n b b b b 其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，, 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y-，则分别称x=y 与xx)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数． 定义2 : x =a 0.a 1a 2n a 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a 为实数
八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.doc
第二章：实数 【无理数】 1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2.常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率兀以及含有兀的一些数，女山2-托,3龙等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01-（两个1 Z间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。女山2-兀是无理数 （4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2兀， （5）开方开不尽的数，女n：V2,75,V9^；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如: 也等;无理数也不一定带根号，女U：兀） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3. 141 x②0. 33333……、③亦一"、④兀、⑤土血亦、⑥一？、 3 ⑦0. 3030003000003……（相邻两个3 Z间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有_______ ； 是无理数的有______o （填序号） （2）有五个数:0?125125???，0. 1010010001-,-^-,扬，迈其中无理数有（）个 【算术平方根L 1.定义：如果一个正数x的平方等于a,即X2=6/,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根, 记为：“侖”， 读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如*9,那么9的算术平方根是3,即V9=3o 特别规地，0的算术平方根是0,即70=（）,负数没有算术平方根 2?算术平方根具有双重非负性：（1）若程有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3?算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根屮正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：石；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：土丽。 例:(1)下列说法正确的是( )
集合与函数的概念
第一章集合与函数的概念 龙港高中林长豪 课题：§1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系、集合相等的含义； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程： 引入课题 引例１：（数学家和牧民的故事）牧民非常喜欢数学，但不知道集合是什么，于是他请教一位数学家．集合是不定义的概念，数学家很难回答牧民的问题．有一天他来到牧场，看到牧民正把羊往羊圈里赶，等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门．数学家灵机一动，高兴地告诉牧民：“你看这就是集合！” ２：军训时当教官一声口令：“高一（１4）班同学到操场集合” 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 新课教学 （一）集合的有关概念 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（举例） 常用数集及其记法
沪科版七年级数学下册第六章实数知识点复习
沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解 1、平方根 （1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 来表示，（读做“根号a”） 对于正数a 负的平方根用”表示（读做“负根号a” ） 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。 （2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ②0只有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根. （3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方. （4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。 （50有意义的条件是a≥0。 （6）公式：⑴)2=a（a≥0）； 2、立方根 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。 （2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 （3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结 （1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 （2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 二、平方根、立方根例题。 例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ①（-3）2②0 2③-0.01 2 （2）下列说法对不对？为什么？ ①4有一个平方根②只有正数有平方根
七年级数学下册第一章《实数》知识点整理
七年级数学下册第一章《实数》知识点 整理 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 ．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 初中数学复习提纲2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0） 初中数学复习提纲 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;c.0＜a ＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。 4．相反数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;c.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”）
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 初中数学复习提纲7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 ． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从
“左” 到“右”（如5÷初中数学复习提纲×5）;c.由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 ． 初中数学复习提纲已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b 的符号。
新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
实数集与函数.
第一章 实数集与函数 §1.1实数 授课章节：第一章 实数集与函数——§1.1 实数 教学目标：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学过程： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． 问题： 为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、 实数及其性质 (一) 实数(,q p q p ??≠?? ???? 正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合． 问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数01 ,n x a a a =其中009,1,2,,,0,i n a i n a a ≤≤=≠为非负整数,记 0119999n x a a a -=；对于正整数0,x a =则记0(1).9999 x a =-；对于负有限小数（包括负整 数）y ，则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0＝ 0.0000
实数知识点归纳和练习
个性化简案 学生姓名：年级：七科目：数学 授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1、掌握平方根、立方根的计算方法 2、掌握实数的运算方法 重难点导航重点：平方根、立方根的计算难点：实数的运算 教学简案： 1、教学流程 知识点讲解---例题讲解---随堂练习---出门考---作业布置 2、本次作业布置 实数练习3、上节课作业情况 □完成□讲解存在的问题：□未完成□未讲解原因： 4、教学反馈 知识点掌握情况： 上课状态： 课后建议： 授课教师评价：今日学生课堂表现符合共项（大写）审核人签字（姓名、日期） □准时上课：无迟到和早退现象 □今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 □海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象课前：课后：学生签字： 教师签字： 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：
个性化教案（真题演练） 1．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别是0和﹣1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上翻滚，翻滚一次后，点B所对应的是1，则连续翻滚2019次后，数轴上表示2019的数所对应的点是（） A．A B．B C．C D．D 2．已知a和b都是无理数，且a≠b，下面提供的6个数a+b，a﹣b，ab，，b﹣2，2a可能成为有理数的个数（） A．3个B．4个C．5个D．6个 3．下列说法正确有（）个 ①整数就是正整数和负整数；②任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示；③﹣a表示负数； ④近似数2.35所表示的准确数a的范围是：2.345≤a≤2.355；⑤如果一个数的平方是它的相反 数，那么这个数是0；⑥如果一个数的立方根是它的相反数，那么这个数是1或﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4
最新第一章 实数(知识点)教程文件
第一章实数 考点一、实数的概念及分类（3分） 【知识结构图】1、实数的分类 正整数 整数零 有理数负整数有限小数或无限循环小数 正分数 实数的分类分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 实数数轴，相反数，倒数，非负数，绝对值 实数的意义 平方根、算术平方根、立方根 近似数和有效数字， 实数的大小比较 实数的运算运算律 加，减，乘，除，乘方，开方 运算顺序 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 ① 定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中的的一个数是另一个数的相反数。 ② 相反数的几何意义：在数轴上位于远点的两侧，并且与原点的距离相等的两点所表示的 两个数，称为互为相反数 ③相反数的性质： （1） 任何数都有相反数，并且只有一个相反数； （2） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别的，0的相反数是0； （3） 互为相反数的两个数之和为0，反之，和为0的两个数互为相反数. ④相反数的表示法. 一般的对任意一个数a ，它的相反数为-a ，这里的a 表示任意的数，可以是正数、负数、也可以是0. ⑤求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了. 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 倒数的求法: 数a 的倒数就是 a 1(a≠0)
新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习解析
第二章：实数 知识梳理 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。 （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235= -
实数集与函数解读
第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗？ 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a七年级数学下册第一章《实数》知识点整理
七年级数学下册第一章《实数》知识点整理 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、严重概念 ．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）初中数学复习提纲2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）初中数学复习提纲 多见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;c.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;c.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：
奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 初中数学复习提纲7．绝对值：①定义（两种）：代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 ． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷初中数学复习提纲×5）;c.由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 ． 初中数学复习提纲已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a.
