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第6 勇士开门 手脚咚咚
●计名释义
一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.”
勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打
脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”
考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯
分是图，雅的，俗的，一并上阵.
●典例示范
【例1】 已知x,y ∈??
????-4,4ππ??, a ∈R ，且?a x x ,02s i n 3=-+,0cos sin 43=++a y y y ?则cos (x +2y )的值为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多
的形似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？
解：由条件得：?????=--+-=-+0
2)2sin()2(02sin 33a y y a x x ∴x ,-2y 是方程t 3+sin t -2a =0之二根???
? ??
??????-∈2,2ππ??t . 【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?
设f (t )=t 3+sin t -2a . 当t ∈??
????-2,2ππ?时， t y t y sin ,231==均为增函数，而-2a 为常数. ∴??
????-2,2)(ππ?t f 是上的单调增函数. ∵f (x )= f (-2y )=0.
∴只能x =-2y ,即x +2y =0.于是cos (x +2y )=1. 选B.
【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个
难点.
【例2】 已知向量a = (cos θ,sin θ),向量b =(3,-1) ， 则 |2a - b | 的最大值、最小值分别是
( ) A.42,0 B.4,22 C.16,0 D.4,0
【解答】 如图，点A (cos θ,sin θ)在圆12
2=+y x 上运动时，延OA 到C ，使||=||2OA =2a , 求||-的最值， 显然2||||==. 当1OC 与
反向时有最大值4,2OC 与OB 同向时有
最小值0. ∴选D.
【点评】 本例选自04·湖南卷6（文），
解题思想很简单，谁不知道“三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边”呢， 例2题解图
为求极值，我们的勇士勇敢地到极地——当
△BOC 不复存在时，才有可能取得.
【例3】 设f (x ), g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0，且g (-3)=0,
则不等式 f (x )g (x )<0的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解答】 设F (x )= f (x )g (x ), 当x <0时， ∵F ′(x )= f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0.
∴F (x )在R 上为增函数.
∵F (-x )= f (-x )g (-x )=-f (x )·g (x ). =-F (x ).
故F (x )为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F (x )在R +
上亦为增函数.
已知g (-3)=0,必有F (-3)=F (3)=0.
构造如图的F （x ）的图象，可知
F (x )<0的解集为x ∈(-∞,-3)∪(0,3).
【点评】 本例选自04·湖南卷12题,
是小题中的压轴题，显然，不懂得
导数基本知识对待本例是无能为力的，高中 例3题解图
代数在导数中得到升华，导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形，使问题更有说服力.
●对应训练 1.下列命题正确的是 ( )
A.若{a n }和{b n }的极限都不存在，则{a n +b n }的极值一定不存在
B.若{a n }和{b n }的极限都存在，则{a n +b n }的极限一定存在
C.若{a n +b n }的极限不存在，则{a n }和{b n }的极限都一定不存在
D.若{a n +b n }的极限存在，则{a n }和{b n }的极限要么都存在，要么都不存在
2.过定点M (-1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2+4x +y 2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是 （ ）
A.0 B.-5 C.0 D.0 3.若(1-2x )9展开式的第3项为288，则??? ? ?+++∞→n n x x x 111lim 2 的值是 ( ) A.2 B.1 C.21 D.5 2 ●参考答案 1.D (正反推证）若{a n +b n }:1,1,1,1,…的极限存在而推出{a n }:0,1,0,1,0,1…,{b n }:1,0,1,0,1,0…,极限都不存 在，但若{a n }:1,1,1,1…,{b n }:0,0,0,0…,极限又都存在，故D 正确，同理可排除 A 、B 、C. 2.A （数形并用）如图，以C (-2,0)为圆心， r =3为半径的⊙C 交x 、y 正半轴于A （1,0）, B (0,5), 而M (-1, 0)在⊙ C 内部， 当N ∈B A 时，显然，k MN >k MA =0; k MN 第2题解图 3.A T 3=C 29(-2x )2=36 (2x )2=288， ∴2 2x =8， x = 23, x 1=3 2∈(0,1). ∴数列{n x 1}是首项与公比均为32的无穷递缩等比数列. 原式=32132 =2. 选A.