一个复合随机变量的方差

一个复合随机变量的方差

王福昌

(防灾科技学院 河北三河 065201)

【摘要】：对于比较复杂的复合随机变量的方差，一般没有简单公式去求解。这里结合具体例子进行了详细剖析。 【关键词】复合随机变量；方差

随机变量的数字特征在对积极变量的研究中占有重要的地位[1]。在教学过程中，我们发现学生在对简单的随机变量求方差时还能应付，对于稍微复杂的随机变量，不知如何下手。本文通过求一个复合随机变量的方差，指出遇到这种情形时应注意的一些问题.

如果一个随机变量X,它服从的分布与一个参数Y 有关,而Y 也是一个随机变量,它服从一个确定的分布,这时我们称随机变量X 为一个服从复合分布的复合随机变量。在应用问题中,常常遇到服从复合分布的随机变量[2]。下面给出一个例子。

设随机变量X ，以概率0.2服从均值为5的泊松分布，以概率0.8服从均值为1的泊松分布，求X 的方差。

解：由泊松分布性质可得，服从参数λ泊松分布的期望与方差相等，且都等于其参数λ。

设)5(~1πX ，)1(~2πX ，由题设和条件概率公式、全概率公式 ，设全集

}

{}{21X X X X S =?==，对于

，，21=k

()()()}

{8.0}{2.0}{}{}{}{}

,{}

,{}{}{}{}{}{2122112121k X P k X P X X k X P X X P X X k X P X X P k X X X P k X X X P X X X X k X P S k X P k X P =+=====+=====+===?=?==?===条件概率可加性

所以 8

.118.052.0}

{8.0}{2.0}

{)(0

20

10

=?+?==?+=?===∑∑∑∞

=∞=∞

=k k k k X kP k X kP k X kP X E 由方差定义 )()()(22X E X E X D -=，所

以

)

()()(122

11X E X E X D -=，)

()()(222

22X E X E X D -=，所

以

30

55)()()(21212

1=+=+=X E X D X E ，

211)()()(22222

2=+=+=X E X D X E ， 6

.728.0302.0)

(8.0)(2.0}

{8.0}{2.0}

{)(2

2210

220

12022

=?+?=?+?==?+=?===∑∑∑∞

=∞=∞

=X E X E k X P k k X P k k X P k X E k k k 所以

36.48.16.7)()()(222=-=-=X E X E X D .

通过这个例子可以看出概率解题方法的灵活多样性。一个有效的策略是吃透概念，从定义和基本公式出发,利用一直的基本性质和技巧往往可使复杂方差的计算变得简捷. 看起来复杂的问题，往往可通过最根本的基本定义和方法解决。

【参考文献】

[1] 邓健，生志荣. 一个随机变量的分布列及数学期望的计算[J].数学学习与研究，2010,(1):93,95.

[2]张尚志. 复合随机变量高阶矩的一个积分表达式[J].江西大学学报(自然科学版)，1980,4(1):135-137.

知识讲解离散型随机变量的均值与方差

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有 b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为

于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中 的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质： 若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

独立随机变量期望和方差的性质

第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差

61随机变量的概率分布、期望与方差1

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列

2.5 随机变量的均值和方差

2.5随机变量的均值和方差 扬州市新华中学查宝才 教学目标： 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学方法： 问题链导学． 教学过程： 一、问题情境 1．情景． 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下． 2．问题． 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二、学生活动 1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，

似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三、建构数学 1．定义． 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n 计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值． 类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下： X x1x2…x n P p1p2…p n 其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ． 2．性质． （1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数） 四、数学应用 1．例题． 例1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)． 例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)． 说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np． 例3设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场, 那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ，试求需要比赛 场数的期望．

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案） 一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =． 考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验.

【题型】选择题 【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）

一个复合随机变量的方差

一个复合随机变量的方差 王福昌 (防灾科技学院 河北三河 065201) 【摘要】：对于比较复杂的复合随机变量的方差，一般没有简单公式去求解。这里结合具体例子进行了详细剖析。 【关键词】复合随机变量；方差 随机变量的数字特征在对积极变量的研究中占有重要的地位[1]。在教学过程中，我们发现学生在对简单的随机变量求方差时还能应付，对于稍微复杂的随机变量，不知如何下手。本文通过求一个复合随机变量的方差，指出遇到这种情形时应注意的一些问题. 如果一个随机变量X,它服从的分布与一个参数Y 有关,而Y 也是一个随机变量,它服从一个确定的分布,这时我们称随机变量X 为一个服从复合分布的复合随机变量。在应用问题中,常常遇到服从复合分布的随机变量[2]。下面给出一个例子。 设随机变量X ，以概率0.2服从均值为5的泊松分布，以概率0.8服从均值为1的泊松分布，求X 的方差。 解：由泊松分布性质可得，服从参数λ泊松分布的期望与方差相等，且都等于其参数λ。 设)5(~1πX ，)1(~2πX ，由题设和条件概率公式、全概率公式 ，设全集 } {}{21X X X X S =?==，对于 ，，21=k ()()()} {8.0}{2.0}{}{}{}{} ,{} ,{}{}{}{}{}{2122112121k X P k X P X X k X P X X P X X k X P X X P k X X X P k X X X P X X X X k X P S k X P k X P =+=====+=====+===?=?==?===条件概率可加性 所以 8 .118.052.0} {8.0}{2.0} {)(0 20 10 =?+?==?+=?===∑∑∑∞ =∞=∞ =k k k k X kP k X kP k X kP X E 由方差定义 )()()(22X E X E X D -=，所 以 ) ()()(122 11X E X E X D -=，) ()()(222 22X E X E X D -=，所 以 30 55)()()(21212 1=+=+=X E X D X E ， 211)()()(22222 2=+=+=X E X D X E ， 6 .728.0302.0) (8.0)(2.0} {8.0}{2.0} {)(2 2210 220 12022 =?+?=?+?==?+=?===∑∑∑∞ =∞=∞ =X E X E k X P k k X P k k X P k X E k k k 所以 36.48.16.7)()()(222=-=-=X E X E X D . 通过这个例子可以看出概率解题方法的灵活多样性。一个有效的策略是吃透概念，从定义和基本公式出发,利用一直的基本性质和技巧往往可使复杂方差的计算变得简捷. 看起来复杂的问题，往往可通过最根本的基本定义和方法解决。 【参考文献】 [1] 邓健，生志荣. 一个随机变量的分布列及数学期望的计算[J].数学学习与研究，2010,(1):93,95. [2]张尚志. 复合随机变量高阶矩的一个积分表达式[J].江西大学学报(自然科学版)，1980,4(1):135-137.

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。 1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 21 3100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞ =1 k k k p x

随机变量的均值与方差

随机变量的均值与方差 一、填空题 1．已知离散型随机变量X 的概率分布为 则其方差V (X )＝解析 由0.5＋m ＋0.2＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案 2.44 2．(优质试题·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 解析 设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B (1 000,0.1)，且X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案 200 3．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________． 解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6,0.4 4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1 5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则????? 15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1， 解得????? a ＝3 5，b ＝1 5，

所以V(ξ)＝(0－1)2×1 5＋(1－1) 2× 3 5＋(2－1) 2× 1 5＝ 2 5. 答案2 5 5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2.4 6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________． 解析由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝1 C35＝ 1 10， P(X＝4)＝C23 C35＝ 3 10，P(X＝5)＝ C24 C35＝ 6 10＝ 3 5， 所以E(X)＝3×1 10＋4× 3 10＋5× 3 5＝4.5. 答案 4.5 7．(优质试题·扬州期末)已知X的概率分布为 设Y＝2X＋1，则 解析由概率分布的性质，a＝1－1 2－ 1 6＝ 1 3， ∴E(X)＝－1×1 2＋0× 1 6＋1× 1 3＝－ 1 6， 因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2 3. 答案2 3 8．(优质试题·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分

离散型随机变量的方差

2.3.2 离散型随机变量的方差 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点 ) [基础·初探] 教材整理1 离散型随机变量的方差的概念 阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为 则(x i －E (X ))描述了i D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X ) 的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． (2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小． 2．随机变量的方差与样本方差的关系 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方

差越来越接近于总体的方差． 1．下列说法正确的有________(填序号)． ①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平． 【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平． ②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平． ④正确．由方差的意义可知． 【答案】 ④ 2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝1 9，则ξ的标准差为________． 【解析】 ξ的标准差D (ξ)＝19＝13. 【答案】 1 3 3．已知随机变量ξ的分布列如下表： 则ξ的均值为【解析】 均值E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－1 3； 方差D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2 ·p 1＋(x 2－E (ξ))2 ·p 2＋(x 3－E (ξ))2 ·p 3＝5 9. 【答案】 －13 59 教材整理2 离散型随机变量的方差的性质

随机变量的均值与方差的计算公式的证明

随机变量的均值与方差的计算公式的证明 姜堰市励才实验学校 姜近芳 组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。 预备知识: 1. ()()()()11!!1!1! !!--=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 2. k k n C 2=()1111111-------+=k n k n k n C k n nC nkC =()22111-----+k n k n C n n nC 3.N 个球中有M 个红色的,其余均为白色的,从中取出n 个球,不同的取法有: n N l n M N l M n M N M n M N M n M N M C C C C C C C C C =++++------- 22110 ()()M n l ,m i n =. 公式证明: 1.X ～()p n B , ()()X E 1.np =()()X V 2().1p np -= 证明:()n n p x p x p x p x X E ++++= 332211 ()()()n n n n n n n n n p nC p p C p p C p p C ++-+-+-?=-- 222110012110 ()()[] n n n n n n n p C p p C p p C n 11221110111------++-+-= ()[] 11-+-=n p p np .np = ()()()()n n p x p x p x X V 2 222121μμμ-++-+-= n n p x p x p x p x 2323222121++++= ()n n p x p x p x p x ++++- 3322112μ ()n p p p p +++++ 3212μ ()() 2222222112121μμ+-++-+-=--n n n n n n n p C n p p C p p C ()()[]11121110111-------++-+-=n n n n n n n p C p p C p C np ()()()[] 22223122022111μ-++-+--+-------n n n n n n n p C p p C p C p n n

随机变量的方差

第五周随机变量函数的分布及随机变量的数字特征 5.3随机变量的方差 方差：随机变量偏离期望的程度（随机变量分布的分散程度） ()()()( )2Var X E X E X =-,()()()()2Var X E X E X =-()() ()222E X XE X E X =-+()()()()222E X E XE X E X =-+()()()()222E X E X E X E X =-+()()2 2E X E X =-()()()22Var X E X E X =-，()()()2Var aX b Var aX a Var X +==() X σ=， 标准差，X σ也记作()()() Var X Y Var X Var Y +≠+方差通常缩写为()Var X （varience）或()D X （deviation）。*************************************************************例5.3.1项目1：投资10万元 可能回收10万元保本；40%可能回收15万元，盈利5万元 10 5~3255X ?? ? ? ??? ,平均收益为()13205255E X =?+?=万元，项目2：投资10万元 60%可能回收0万元，亏损10万元；40%可能回收30万元，盈利20万元 21020~325 5X -?? ? ? ???,平均收益为()2321020255E X =-?+?=万元

()22132051055 E X =?+?=，()()()221116Var X E X E X =-=；()()222232102022055 E X =-?+?=，()()()22222216Var X E X E X =-=。两项投资的期望相等，均为2万元，但它们的方差一个是6，一个是216，差异非常大。期望刻画平均收益，而方差则刻画收益的波动，反映了投资的风险程度。*************************************************************

随机变量的均值和方差学习资料

随机变量的均值和方 差

随机变量的均值和方差 自主梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 (1)均值 μ＝E (X )＝________________________________为随机变量X 的均值或______________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差 σ2＝V (X )＝_________________________________＝∑n i ＝1 x 2i p i －μ2为随机变量X 的方差， 它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差，即σ＝V (x ). 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝________. (2)V (aX ＋b )＝________(a ，b 为实数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，V (X )＝

____________________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝____，V (X )＝________. 1．若η＝aξ＋b ，则E (η)＝aE (ξ)＋b ，V (η)＝a 2V (ξ)． 2．若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )． 自我检测 1．若随机变量X 2.已知随机变量X n ，p 的值分别为________和________． 3．(2010·课标全国改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简 历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三 个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1 12 ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.

随机变量的方差

§2.3 随机变量的方差 随机变量X 的数学期望)(X E 是该随机变量X （或其分布）的一种位置特征数，是随机变量X 取值的一个“中心”.但它并没有告诉我们X 的取值相对于这个“中心”的偏离程度，或者说波动程度等方面的信息。无论在理论上还是实用中，这方面的信息都是非常重要和有意义。比如，考虑测量误差X ，如果该测量没有系统误差则意味着X 的均值0)(=X E ，这往往是个基本要求，而我们会更关注测量误差围绕其均值0)(=X E 波动的程度。再比如，考虑某项风险投资的收益X ，除了关注平均收益)(X E 外，还会关注收益的波动情况。等等。 由于数学期望)(X E 是其取值的一个中心位置，自然地，度量X 取值的波动程度的一个合理的方法是考察X 取值与)(X E 的距离。一种方式就是考虑X 取值与)(X E 的距离|)(|X E X -的均值|)([|X E X E -。但是，由于绝对值在数学上处理很不方便，人们就考虑另一种方式：先 把距离|)(|X E X -平方，再取其均值2)(）（X E X E -。把它作为X 取值散 布程度的度量，这个量就叫做方差。 定义 设X 的期望为μ，且)(2X E 存在，则称2)(μ-X E 为X （或其分布）的方差，记为)(X Var 或)(X D 。即 2)()(μ-=X E X Var 称方差的平方根)(X Var 为X 的标准差，记为)(X σ。 方差和标准差都是用以刻画随机变量取值的散布程度的特征数，差别主要体现在量纲上。方差或标准差越小，随机变量取值越集中，反之越分散。从方差的定义可以看出随机变量方差X 是X 的函数

2))(X E X -（的期望，那么在有了X 的分布列)(i x p 或概率密度)(x p 后，利用上一节介绍的随机变量函数的期望的计算方法，可得 ∑∞ =-=12)())()(i i i x p X E x X Var （ 或 ?+∞ ∞--=dx x p X E x X Var )())(()(2 方差的计算更多地用以下公式： 22)]([)()(X E X E X Var -= 这个公式的推导留给同学们完成。 这个公式变形为 22)]([)()(X E X Var X E += 在已知期望和方差的情况下，利用上式可方便地求出)(2X E ，易见对任意随机变量X ，总有22)]([)(X E X E ≥。上面等式可推广至更一般的情况：对于任一常数c ，有 22])([)())((c X E X Var c X E -+=- 可见，对于任一常数c ，有 )())((2X Var c X E ≥- 并且等号成立当且仅当)(X E c =。换言之，随机变量X 的期望)(X E 是函数2)()(t X E t f -=的最小值点，且最小值就是X 的方差。 例 随机变量X 的密度函数为 ?????<<=else x x x p ,020,2-1)(

离散型随机变量均值与方差优秀教案

离散型随机变量的均值与方差 教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据分布列求出均值或期望，理解公式“E(a ξ+b)=aE ξ+b ”，以及“若ξ～B(n,p)，则E ξ=np ”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 教学重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念，及根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。 复习： 1 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 若ξ是离散型随机变量，η=a ξ+b , a, b 是常数，则η也是离散型随机变量。 3 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1， x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概 率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布， 简称ξ的分布列 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 4 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 5 离散型随机变量的二项 分布:在一次随机试验中，某 事件可能发生也可能不发 生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … 0q p C n n n

随机变量的数学期望与方差

限时作业62 随机变量的数学期望与方差 一、选择题 1.下列说法中，正确的是( ) A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 解析:离散型随机变量X的均值反映了离散型随机变量×取值的平均水平,随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 答案:C 则D(X)等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 解析:根据方差的计算公式,易求V(X)＝0.8. 答案:B 3.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( ) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析:∵X服从两点分布， ∴X的概率分布为 D(X)＝0.52×0.5+(1－0.5)2×0.5＝0.25. 答案:A 4.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k q1－k(k＝0,1,p+q＝1)，则EX与DX依次为( ) A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和p(1－p) 解析:根据题意，EX＝0×q+1×p＝p,DX＝(0－p)2q+(1－p)2p＝p(1－p)或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以EX与DX依次为p和p(1－p)，选D. 答案:D 5.已知X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，则n与p的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 解析:由于X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，即np＝8,np(1－p)＝1.6， 可解得p＝0.8，n＝10，应选D. 答案:D 二、填空题 6.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X. 其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上) 解析:②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.

随机变量的均值和方差

随机变量的均值和方差 自主梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 (1)均值 μ＝E (X )＝________________________________为随机变量X 的均值或______________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差 σ2＝V (X )＝_________________________________＝∑n i ＝1 x 2i p i －μ2为随机变量X 的方差，它 刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差，即σ＝V (x ). 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝________. (2)V (aX ＋b )＝________(a ，b 为实数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，V (X )＝____________________________________.

(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝____，V (X )＝________. 1．若η＝aξ＋b ，则E (η)＝aE (ξ)＋b ，V (η)＝a 2V (ξ)． 2．若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )． 自我检测 1．若随机变量X 2.已知随机变量X n ，p 的值分别为________和________． 3．(2010·课标全国改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司 是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1 12 ，则随 机变量X 的数学期望E (X )＝________. 5．随机变量ξ

常用离散、连续型随机变量的均值与方差

几种常用的离散型随机变量及其分布律： <一>两点分布:()~1,X B p (1),(0),1P X p P X q p q ====+= 即：1(),0,1k k P X k p q k -=== ()(),? E X p D X pq == <二>二项分布:()~,X B n p 10()(1),()1n k k k n k P X k C p p P X k -===-==∑ (),()(1)E X np D X np p ==- <三>泊松分布:~()X P λ (),0,1,2,...,!k P X k e k k λλ-=== (),()E X D X λλ== <四>超几何分布:~(,,)X H n M N (),0,1,2,...,k n k M N M n N C C P X k k C --=== min(,),,M n M N n N ≤≤ (),()E X D X 视具体题目情况而定。 几种常用的连续型随机变量的均值与方差 <一>均匀分布:[]~,X U a b 分布函数： 0,,(),,1,. x a x a dx x a F x a x b b a b a x b

[]1,,,()x a b f x b a ? ∈?=-?? ? ()()10012 a b a b b a E X xf x dx x dx x dx x dx b a xdx b a a b +∞ -∞ +∞+∞ = =??++??- =-+ =????? 22222 ()()[()]()[()]()12 D X E X E X x f x dx xf x dx a b +∞-∞-∞=- =-- =?? <二>指数分布:~()X E λ 分布函数： 1,0,()0,0.x e x F x x λ-?- >=? ≤? 概率密度函数： ,0,()0,0.x e x f x x λλ-? ≥=?