《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲
课程编号：06082002 适用专业：计算机科学与技术
学时数：60学分数：4 开课学期：第 2 学期
先修课程：线性代数、高级语言程序设计(C语言)
执笔者：傅彦、顾小丰、刘启和、王庆先、王丽杰
编写日期：2011.03 审核人（教学副院长）：周世杰
一、课程性质和目标（用小四号黑体字）
授课对象：本科生
课程类别：学科基础课
教学目标（本课程对实现培养目标的作用；学生通过学习该课程后，在思想、知识、能力和素质等方面应达到的目标）：离散数学是一门理论兼实际应用的综合性学科，即具有严备的理论基础，又具备应用科学的特点。它是计算机科学和其他应用科学的基础理论课。在课堂教学中，不仅要求学生掌握离散数学具体内容，更重要的是强调离散数学课程的思想，特别是离散数学中逻辑的概念可以说是贯穿到整个教学中；通过课后实验，学生不仅能够加深对离散数学知识的进一步理解，而且还可以从实验中提高自己的实践动手能力和编程能力，最关键的是提高学生学习离散数学的兴趣和了解离散数学与其他课程之间的关系。通过本课程学习，培养和训练学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理的能力，使学生了解离散数学在计算机学科和日常生活中的作用，为学生今后处理离散信息以及用计算机处理大量的日常事物和科研项目，从事计算机科学和应用打下坚实基础，特别是对那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，更是一门必不可少的基础理论工具。
二、课程内容安排和要求（用小四号黑体字）
（一）教学内容、要求及教学方法（用五号宋体加粗）
第1章集合论 2学时
掌握：集合的基本概念（集合的概念及表示、集合与元素的关系、集合与集合的关系、几个特殊的集合）、集合的运算。
理解：集合的应用。
了解：粗糙集简介（粗糙集合研究现状、知识与知识库、粗糙集的基本概念、成员关系，粗相等和粗包含）（本部分自学）。
教学方法：问题＋实例的讲授式教学方法
第2章计数问题 2学时
理解：基本原理（乘法原理、加法原理）、排列与组合（排列问题、组合问题）、容斥原理与鸽笼原理
了解：递归关系、离散概率简介、计数问题的应用。
教学方法：问题＋实例的讲授式教学方法
第3章命题逻辑 8学时
掌握：命题与命题联结词、命题公式、解释、真值表、命题公式的分类、命题公式的基本等价关系、公式的标准型——范式（析取范式和合取范式、主析取范式和主合取范式）
理解：命题联结词的应用、命题公式的应用、命题联结词的个数、联结词的完备集。
了解：范式的应用、全功能联结词的应用
教学方法：讲授为主的引导式教学方法，帮助学生建立命题逻辑的基本概念，通过例题掌握正确解决问题的方法，并初步学习使用命题逻辑的方法建立符号体系。
第4章谓词逻辑 4学时
掌握：谓词逻辑的基本概念与表示（谓词、量词、谓词的语言翻译）、谓词的合式公式、自由变元与约束变元、谓词合式公式的解释、谓词合式公式的分类、谓词合式公式的基本等价关系。
了解：公式的标准型——范式（前束范式、SKOLEM标准型）、谓词的应用
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法，引导学生通过回顾第三章的学习过程，掌握学习数理逻辑的基本方法，逐步从以前的被动学习向主动学习转换。以学生课前预习，课堂讨论为主的教学方法，激发学生的主动性和参与性，进一步扩展学生的主动思维习惯。
第5章推理与证明技术 4学时
掌握：命题逻辑的推理理论（推理的基本概念和推理形式、判断有效结论的常用方法）、谓词逻辑的推理理论（谓词逻辑的推理规则、谓词逻辑推理的常用方法）。
了解：数学归纳法、按定义证明方法。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法，引导学生通过回顾以往数学问题的证明过程，掌握学习数理逻辑的符号证明体系，特别注重证明过程的正确性。以学生课前预习，课堂讨论为主的教学方法，激发学生的主动性和参与性，进一步扩展学生的主动思维习惯。
第6章二元关系 6学时
掌握：二元关系及其表示法（关系的定义、关系的表示法）、关系的运算（关系的复合运算、逆运算、幂运算等）、关系的性质（关系性质的定义、关系性质的证明、关系性质的保守性了解：关系的应用、关系运算的应用、关系性质的应用、关系的闭包运算、关系闭包的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第7章特殊关系 4学时
掌握：等价关系与划分（等价关系、等价类与商集、集合的划分、等价关系与划分）、次序关系（拟序关系、偏序关系、全序关系、良序关系）。
理解：等价关系与划分的应用、次序关系的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第8章函数 2学时
掌握：函数函数与性质、函数的运算（复合运算、逆运算）。
了解：置换函数、函数的应用。
教学方法：引导学生采取自我提问方式独立看书预习，仍然以先师生共同课堂讨论，然后老师总结的主要内容和讨论的重要问题的方法。
第9章图 6学时
掌握：图的基本概念（图的定义、图的表示、邻接点与邻接边、图的分类、子图与补图、结点的度数与握手定理、图的同构、图的操作）、通路、回路与连通性（通路与回路、无向图的连通性、有向图的连通性）。
了解：图的应用、通路、回路与连通性的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第10章树 2学时
掌握：无向树（无向树的定义与性质、生成树、最小生成树）、根树（根树的定义与分类、最优树与哈夫曼算法）。
理解：无向树的应用、根树的遍历、决策树、博弈树、根树的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第11章特殊图 4学时
掌握：欧拉图、哈密顿图、偶图、平面图（定义、判定方法、欧拉公式、库拉托夫斯基定理）。
理解：欧拉图的应用、哈密顿图的应用、偶图的应用、平面图的着色、平面图的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第12章代数系统 3学时
掌握：代数系统（代数运算、代数系统、子代数）、代数系统的基本运算和性质（代数运算的性质：交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律、消去律；代数系统中的特殊元素：单位元、零元、逆元、幂等元）、同态和同构。
理解：代数系统的应用、代数系统性质的应用、同态与同构的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第13章群 7学时
掌握：半群与含幺半群（半群和含幺半群、子半群和子含幺半群、循环半群与循环含幺半群的概念、性质与判断）、群及其性质（群的定义、元素的周期、子群及其判定条件、群同态与同构）、特殊群（交换群、循环群）、陪集与拉格朗日定理、不变子群与商群
理解：半群的应用、群的应用、特殊群的应用、拉格朗日定理的应用。
了解：置换群、商群、商群的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法。
第15章格与布尔代数 6学时
掌握：格（偏序格、代数格、两种格的等价性、格的性质、子格与格同态、分配格与模格、有界格与有补格）、布尔代数、子布尔代数与布尔同态。
理解：格的应用、布尔表达式、布尔代数的应用。
教学方法：讲授为主的启发式的教学方法，引导学生通过回顾以往偏序关系和代数系统的知识，掌握格的偏序和代数的两重性，特别注重判断和证明。以学生课前预习，课堂讨论为主的教学方法，激发学生的主动性和参与性，进一步扩展学生的主动思维习惯。
（二）自学内容和要求（用五号宋体加粗）
第14章环与域自学
了解：环与域的定义、性质和应用。
（三）实践性教学环节和要求（用小四号黑体字）
学生课后完成实验并提交实验报告，需完成两个基础型实验，并自选一个综合性或设计型实验。
三、考核方式
期末（70%）+ 期中（10%）+ 平时（10%）+ 实验（10%）
四、建议教材及参考资料
教材
1.离散数学及其应用（“十一五”规划教材），傅彦，顾小丰，王庆先，刘启和，高等教
育出版社，“十一五”规划教材，2007年。
2.离散数学实验与习题解析（“十一五”规划教材），傅彦，尚明生，王丽杰，顾小丰，
高等教育出版社，“十一五”规划教材，2007年。
参考资料
1.离散数学（“十五”规划教材），傅彦，顾小丰，刘启和，机械工业出版社， 2005年。
2.离散数学常见题型解析及模拟题，傅彦，顾小丰，刘启和，西北工业大学出版社，2004
年。
3.离散数学结构，[美]B.Kolman，R.C.Busby，S.C.Ros，罗平译，高等教育出版社，2005
年。
4.离散数学结构——理论与应用，[美]D.S.Malik，邱仲潘译，高等教育出版社，2005
年。
二年级下学期数学教学大纲
二年级《数学》第二学期教学大纲 课程名称：数学 课程性质：必修课 学时：96课时 教学对象：印度尼西亚二年级学生 总叙 经过一年半的学习，学生汉语的听、说、读、写以及字词的理解能力都大大的得到了提升，这对他们能够快速的学习数学知识有一定的帮助。上学期我们重点学习了100以的加、减法笔算和表乘法。一个学期的训练，学生基本上熟练地掌握了100以笔算加、减法的计算方法，能够正确地进行计算，知道乘法的含义和乘法式子中各部分的名称，能够背诵全部乘法口诀，熟练地口算两个一位数相乘。 这个学期我们将重点学习表除法、万以数的认识以及加强对应用题的理解。知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地运用乘法口诀求商。学生能够进一步理解应用题的含义，更重要的是能够独立求解应用题。
数学这门学科的作用就在于通过学习提高学生的观察力、理解力、判断力、分析能力以及逻辑推理能力。在学生的汉语能力提高的同时，我们也要让学生的观察、理解、分析、判断、推理等多种智力因素得到充分发挥从而达到发展思维的目的。所以作为一个教师，我们要精心设计我们的课堂，要思考怎样提高学生对数学兴趣，同时，也能让学生学到更多的数学知识。让每一个学生都喜欢数学，喜欢解决问题，更喜欢思考。 上学期工作回顾 教学容： 1、认识长度单位厘米和米 2、100以的加、减法竖式计算 3、初步认识角 4、表乘法 5、观察物体 教学重点：100以的加、减法竖式计算和表乘法。 教学目标： 1、掌握100以笔算加、减法的计算方法，并正确地进行计算。掌握 100以笔算加、减法的估算方法，及估算方法的多样性。 2、知道乘法的含义和乘法版式中各部分的名称，熟记全部乘法口诀， 并且能够口算两个一位数相乘的乘法。 3、认识长度单位厘米和米，初步建立1米、1厘米的长度观念，知道 1米＝100厘米；学会用刻度尺量物体的长度（限整厘米）。 4、认识线段，测量整厘米线段的长度；认识角和直角，知道角的各 部分名称，会用三角板判断一个角是不是直角；初步学会画线段、 角和直角。 5、能够辨认从不同位置观察到简单物体的形状；初步认识对称现象， 并能在方格纸上画出简单的轴对称图形。
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学
离散数学试题（A 卷答案） 一、（10分） （1）证明(P →Q )∧(Q →R )?(P →R ) （2）求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 解：（1）因为((P →Q )∧(Q →R ))→(P →R ) ??((?P ∨Q )∧(?Q ∨R ))∨(?P ∨R ) ?(P ∧?Q )∨(Q ∧?R )∨?P ∨R ?(P ∧?Q )∨((Q ∨?P ∨R )∧(?R ∨?P ∨R )) ?(P ∧?Q )∨(Q ∨?P ∨R ) ?(P ∨Q ∨?P ∨R )∧(?Q ∨Q ∨?P ∨R ) ?T 所以，(P →Q )∧(Q →R )?(P →R )。 （2）(P ∨Q )→R ??(P ∨Q )∨R ?(?P ∧?Q )∨R ?(?P ∨(Q ∧?Q )∨R )∧((P ∧?P )∨?Q ∨R ) ?(?P ∨Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R )∧(P ∨?Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R ) ?2M ∧4M ∧6M ?0m ∨1m ∨3m ∨5m 所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。 二、（10分）分别找出使公式?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y )))为真的解释和为假的解释。 解：设论域为{1，2}。 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝F ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝F ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((F ∧F)∨(F ∧F)))∧(T →((F ∧F)∨(F ∧F))) ?(T →F)∧(T →F) ?F 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝T ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝T ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((T ∧T)∨(T ∧T)))∧(T →((T ∧T)∨(T ∧T))) ?(T →T)∧(T →T) ?T
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
离散数学
离散数学 作业要求： （1）禁止用附件提交作业。附件提交的作业计0分。 （2）作业按题号顺序作答，乱序、不写题号等视情况扣分。 （3）选择题直接提交答案，不要抄题。 （4）卷面整洁，文字、符号以及图等要清晰可辨。 一、单选题（每题2分，共15小题） 1.集合}}}{{},{,{c b a A =，则下列不属于A 的子集的是（ ） A.}}{{a B.}}{{b C.}}}{{{c D.}}{,{b a 2.设全集{1,2,...,9,10}U =的子集为A={偶数}，B={奇数}，则下列选项正确的是（ ） A.A B =? B.A B =? C.A B U = D. 以上答案都不对 3.已知集合}4,3,2,1{=A ， },,{c b a B =， }8,6,4,2,1{=C ,定义A 到B 的关系c)}(4,b),(3,a),(2,a),{(1,1=ρ，B 到C 的关系(c,1)}(b,6),{(a,4),2=ρ，则下列属于21ρρ的是（ ） A.)8,1( B.)4,1( C.)6,2( D.)1,3( 4.集合}3,2,1{=A 上的关系)}3,1(),1,2(),2,1{(=R ，则R 具有（ ）
A.对称性 B.自反性 C.可传递性 D.以上说法都不对 5.集合{1,2,3}A =上的下列关系，是由A 到A 的函数的是（ ） A.{(1,3),(2,3),(3,1)}f = B.{(1,2),(3,1)}g = C.{(1,1),(2,1),(3,2),(1,3)}h = D.{(1,3),(2,1),(2,2)}I = 6.集合},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射中，是单射的是（ ） A.}b)b)(3,a)(2,(1,{ B.}b)b)(3,a)(1,(1,{ C.}c)b)(3,a)(2,(1,{ D.}b)b)(3,b)(2,(1,{ 7. 下面各集合都是N 的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封闭的。 A.}16|{整除的幂可以被x x B.}5|{互质与x x C.}30|{的因子是x x D.}30|{ 我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。 小学二年级数学教学大纲 二年级教学内容(每周5课时) (一)数与计算 (1)两位数加、减两位数。两位数加、减两位数。加、减法竖式。两步计算的加减式题。 (2)表内乘法和表内除法。乘法的初步认识。乘法口诀。乘法竖式。除法的初步认识。用乘法口诀求商。除法竖式。有余数除法。两步计算的式题。 (3)万以内数的读法和写法。数数。百位、千位、万位。数的读法、写法和大小比较。 (4)加法和减法。加法，减法。连加法。加法验算，用加法验算减法。 (5)混合运算。先乘除后加减。两步计算式题。小括号。 (二)量与计量 时、分、秒的认识。 米、分米、厘米的认识和简单计算。 千克(公斤)的认识。 (三)几何初步知识 直线和线段的初步认识。 角的初步认识。直角。 (四)应用题 加法和减法一步计算的应用题。 乘法和除法一步计算的应用题。 比较容易的两步计算的应用题。 (五)实践活动 与生活密切联系的内容。 例如调查家中本周各项消费的开支情况， 想到哪些数学问题。 教学要求 1.认识计数单位“百”、“千”和“万”，知道相邻两个计数单位之间的十进关系。掌 握万以内的数位顺序，会读数、写数，会比较数的大小。 2.掌握加、减法的笔算法则。会用竖式计算比较简单的连加式题。比较熟练地口算两位数加、减两位数(和在100以内)，会口算整百、整千数的加、减法和几百几十加、减整百或整十的数，会用交换加数的位置验算加法和用加法验算减法。初步培养学生检查和验算的习惯。 3.知道乘、除法的含义和乘、除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系。知道乘法口诀是怎样得来的，熟记全部乘法口诀，能够熟练地用口诀求积、求商。熟练地计算除数是一位数、商也是一位数的有余数的除法。 [注①：例如3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3。3×5读作3乘5，3和5 都是乘数（也可以叫因数）。②：不给出“第一种分法”、“第二种分法”等名称。] 4.初步掌握混合运算顺序，会计算两步式题。认识小括号。 5.认识长度单位米、分米、厘米。知道1米、1厘米的实际长度。知道1米＝10分米，1分 离散数学学习总结 一、课程内容介绍： 1．集合论部分： 集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C 是不相交的。 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 2．关系 二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果 得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。 3．代数系统 代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字 αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统 离散数学课程总结 姓名： 学号： 班级：级计科系软件工程（）班 近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。 一、课程总结 本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。第一部分：数理逻辑 数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演 算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。 1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联 结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、 等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。 3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的 形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。 4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、 谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。 5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本 等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。 第二部分：集合论 在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元 集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等； 集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。 2017秋课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1设集合A={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题）[A] A．1∈A；B．2∈A；C．3∈A；D．{3，2,1}?A。 1-2A,B,C为任意集合，则他们的共同子集是（选择题）[D] A．C；B．A；C．B；D．?。 1-3设S={N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1）N?Q，Q∈S，则N?S，［错］（2）-1∈Z，Z∈S，则-1∈S。［错］ 1-4设集合B={4，3}∩?，C={4，3}∩{?}，D={3，4，?}，E={x│x∈R并且x2-7x+12=0}，F={4，?，3，3}，试问：集合B与那个集合之间可用等号表示（选择题）[A] A.C; B.D; C.E; D. F. 1-5用列元法表示下列集合：A={x│x∈N且3－x〈3}（选择题）[D] A.N; B.Z; C.Q; D.Z+ 1-6为何说集合的确定具有任意性?(简答题) 答：按研究的问题来确定集合的元素。我们所要研究的问题当然是随意的呗。之所以，集合的定义（就是集合成分的确定）当然带有任意性哪。 第二章二元关系 2-1设A={1，2，3}，A上的关系R={〈1，2〉，〈2，1〉}∪IA， 试求：（综合题） (1)domR=?;(2)ranR=?;(3)R的性质。 （4）商集A/R=？（5）A的划分∏=？（6）合成运算（R。R）=？ 答：R={<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}； (3)R的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R不是等价关系。 （4）商集A/R={{1，2，3}，{2，3}，{3}}。由于R不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。这是不允许的。请看下面的划分问题。 （5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢！！！ 所以，关系R必须是等价关系。至于作业中，此两题应说：因为R不是等价关系，此题无解。 2-2设R是正整数集合上的关系，由方程x+3y=12决定，即 R={〈x，y〉│x，y∈Z+且x+3y=12}， 试给出dom（R。R）。（选择题）[B] A.3； B.{3}； C.〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 离散数学总结 班级：学号：姓名： 临近期末各科课程已经结束，随之而来就是总结各科学习总结和对这门学科的建议。《离散数学》这门课程当然也不会例外了。经过一个学期的学习我发现《离散数学》是一门理论性非常强的课程，而且知识点非常多，定义和定理以及定律是数之不尽。 《离散数学》顾名思义就是一门数学，它是数学众多领域中的一个小分支，即使是一个小小的分支，但是它的内容也非常之多，同时也非常抽象。自认我的数学成绩还是不错的，但是面对《离散数学》我就头痛，书本里面很多知识点我都是似懂非懂地。但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。因此我也很无奈，只好硬着头皮去学好它了。 离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。 《离散数学》的特点是： 1、知识点集中，概念和定理多。《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。 2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法等），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法，再者要善于总结。 在学习《离散数学》的过程中，我明白了理解概念是至关重要的。只有概念明确，才有可能将离散数学学好。但是初学者往往不能够将概念与现实世界中的事物联系起来，这是学好离散数学的基础，因此也是初学者面临的一个困难。只有克服它，你才能有可能学好《离散数学》。 学完这门课后，我总结到了，如果你想学得更好——你可以在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能够适应，并为后续学习打下良好的基础。而且必须及时复习和总结。 《离散数学》是一门数学科，大家都知道学数学就是要大量做数学，因此《离散数学》也不会例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学的思维方法。这一点非常重要。 课程虽然是上完了，但是老师你的教学方法独特而新颖，思想开化而先进，是个容易沟通的老师。有你带着我们学习《离散数学》就是我们不想学好，我想也是很难吧！就我来说每次上课时在我快要与“周公”会面之际，你突然一个笑话和雷人的语录，我和“周公”迫不得已就分开了。当我再次看到周公时，耳边 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={ 二年级小学数学教学大纲 二年级小学数学教学大纲 二年级 教学内容(每周5课时) (一)数与计算 (1)两位数加、减两位数。 两位数加、减两位数。加、减法竖式。两步 计算的加减式题。 (2)表内乘法和表内除法。 乘法的初步认识。乘法口诀。乘法竖式。除 法的初步认识。用乘法口诀求商。除法竖式。有余数除法。两步计算的式题。 (3)万以内数的读法和写法。 数数。百位、千位、万位。数的读法、写 法和大小比较。 (4)加法和减法。 加法，减法。连加法。加法验算，用加法验算减法。 (5)混合运算。 先乘除后加减。两步计算式题。小括号。 (二)量与计量 时、分、秒的认识。 米、分米、厘米的认识和简单计算。 千克(公斤)的 认识。 (三)几何初步知识 直线和线段的初步认识。 角的初步认识。直角。 (四)应用题 加法和减法一步计算的应用题。 乘法和除法一步计算的应用题。 比较容易的两步计算的应用题。 (五)实践活动 与生活密切联系的内容。例如调查家中本周各项消费的开支情况，想到哪些数学问题。 教学要求 1.认识计数单位“百”、“千”和“万”，知道相邻两个计数单位之间的十进关系。掌握万以内的数位顺序，会读数、写数，会比较数的大小。 2.掌握加、减法的笔算法则。会用竖式计算比较简单的连加式题。比较熟练地口算两位数加、减两位数(和在100以内)，会口算整百、整千数的加、减法和几百几十加、减整百或整十的数，会用交换加数的位置验算加法和用加法验算减法。初步培养学生检查和验算的习惯。 3.知道乘、除法的含义和乘、除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系。知道乘法口诀是怎样得来的，熟记全部乘法口诀，能够熟练地用口诀求积、求商。熟练地计算除数是一位数、商也是一位数的有余数的除法。 离散数学（课件上习题） 第一章 例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴2是个素数。 ⑵雪是黑色的。 ⑶2013年人类将到达火星。 ⑷如果a>b且b>c，则a>c 。（其中a,b,c都是 确定的实数） ⑸x+y<5 ⑹请打开书！ ⑺您去吗？ ⑴⑵⑶⑷是命题 例1-2.1 P：2是素数。 ?P：2不是素数。 例1-2.2 P：小王能唱歌。 Q：小王能跳舞。 P∧Q：小王能歌善舞。 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。（析取“∨”） 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。（异或、排斥或。即“?”） 注意：P ?Q 与(P∧?Q)∨(Q∧?P ) 是一样的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“?”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“?”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“?” 例1-2.5：P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。 P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。 也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。 还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。 以下是关于蕴含式的一个例子 P：天气好。Q：我去公园。 1.如果天气好，我就去公园。 2.只要天气好，我就去公园。 3.天气好，我就去公园。 4.仅当天气好，我才去公园。 5.只有天气好，我才去公园。 6.我去公园，仅当天气好。 命题1.、2.、3.写成：P→Q 命题4.、5.、6.写成：Q→P 例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。Q ：△ABC是等角三角形。 P?Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。 计算机专业通知：计算机资料就是同学们网上学习的阶段测试和简答练习等资料，请同学们打印下来复习，如有新的资料更新会通知大家！（以下资料只是网上一部分） 离散数学 一、单项选择题 1、（p∨(q∧r)）→(p∧q∧r)的主析取范式是：（B ） A. ∑(0,1) B. ∑(0,1,7) C. ∑(0,7) D. ∑(1,7) 2、下列是真命题的是（A ） A. 2是素数 B. 2+3=6 C. 雪是黑色的 D. 3能被2整除 3、设P：我们划船，Q：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化为（B ） A. P Q B. ┐（P∧Q） C. ┐P∧┐Q D. ┐P∧Q 4、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真 (A) A. 自然数 B. 实数 C. 复数 D. 前面三者均成立 5、当P的真值是1,Q的真值是1 R的真值是0，下列复合命题中真值为0的是（D ） A. （PvQ）→R B. R→(P ? Q) C. (PvR) →Q D. (P ?R)??Q 6、设A=｛1，2，3｝，则下列说法正确的是（C ） A. R={<1,1>，<2，2>，<3，3>，<1,2>}在A上是反自反的 B. R=｛<2，3>，<3，2>｝在A上是自反的 C. R=｛<1，2>，<2，1>，<3，3>在A上是对称的 D. R={<1，2>，<1，3>}在A上是对称的 7、下面关于集合的表示中，正确的是(B )． A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈φ D. φ∈{a，b} 8、设A={?}，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（）（分数：1分） A. ．{{? }，{{? }}，{?，{? }}}包含于B B. {{{? }}}包含于B C. {{?，{? }}}包括于B D. {{? }，{{?，{? }}}}包含于B 标准答案是：D。您的答案是： 9、六阶群的子群的阶数可以是（）。（分数：1分） A. 1，2，5 B. 2，4 C. 3，6，7 D. 2，3 标准答案是：D。您的答案是： 10、设G是n个结点、m条边和r个面的连通平面图，则m等于（）。（分数：1分） A. n+r-2 B. n-r+2 C. n-r-2 D. n+r+2 标准答案是：A。您的答案是：离散数学学习体会
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