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高二上学期第二次月考数学试题

第一学期第二次月考高二数学测试题

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，其中1-10题为单选题，11、12题为多选题，请将正确答案填涂在答题卡上。）

1．设1i

z i

-（i 为虚数单位），则=z （）

B. C.

D. 2 2．已知命题:0P x ?>，总有(1)1x x e +>，则p ?为（）

A. 0x ?> 总有(1)1x x e +≤

B. 0x ?≤,总有(1)1x x e +≤

C. 00x ?≤ 使得00(1)x

x e +1≤

D. 00x ?> 使得00(1)x

x e +1≤

3．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋)1,(1

21>∈<-*

n N n n n 时，第一步应验证不等式（）

A ．1＋122<

B ．1＋12＋132<

C ．1＋12＋133<

D ．1＋12＋13＋1

43<

4．已知函数x x x f ln )(=，则)(x f ( )

A ．在)1,0(e 上递增

B ．在)1,0(e

上递减 C ．在),0(+∞上递增

D ．在),0(+∞上递减

5．已知x ∈R ，则“1x =”是“2430x x -+=”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6．已知双曲线22

221x y a b

-=)0,0(>>b a 的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ?是边长

为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )

A. 2213x y -=

B. 22

13y x -= C. 221412x y -= D ．221124

x y -=

7．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线0=-y x 与抛物线C 交于B A ,两点，若)1,1(P 为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )

A ．y ＝2x 2 B. x 2＝2y C ．y 2＝2x

D ．y 2＝－2x

8．已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1

cos ,2

m n <>=-，则l 与 α 所成的角为（）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

9.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 1+x 2等于( )

A ．1

B ．1

C ．2

D . 3

10．已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（） A ． B ．0 C ．1

D ．

211.1,2

.1.0.1

.x y A B x C D -==已知双曲线为

则下列说法正确的是（）

焦点到渐近线距离为渐近线方程为

()()e x f x x a =+1

x =1x =-a =1-

二、填空题（共4题，每小题5分，满分20分.其中第16小题第一空2分，第二空3分.） 13．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ＝2PB ，则点P 的坐标为________． 14. 复数

212+-的实部与虚部互为相反数，则实数b = 15. 已知函数y ＝x －4＋9

x ＋1

(x >－1)，则y 的最小值为___________.

16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝______；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．三、解答题（共6题，满分70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分10分）求下列函数的导数：

（1）；（2）; (3)

18. （本小题满分12

分）已知数列，. （1）计算，，，的值；

（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.

{}n a 10a =2a 3a 4a 5a {}n a

-中，底面ABCD为矩形，AB=1，BC=√2，19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD

PD=1，

PD⊥平面ABCD，E为棱PB的中点.

（1）证明：PC⊥平面ADE.

--的余弦值.

（2）求二面角P AE D

20.（本小题满分12分）某中学扎实推进“每天锻炼1小时，幸福生活一辈子”体育运动,积极引导学生走向操场,参加体育锻炼,每天作业课后20分钟进行“日跑千米”的活动.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位：分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：

分组[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)[150,180]男生人数216191853

女生人数32010211

(1)将频率视为概率,估计该校3000名学生中“锻炼达人”有多少？

(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动．

①求男生和女生各抽取了多少人；

②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．

21. （本小题满分12分）已知定点、，直线、相交于点，且它们的

斜率之积为

，记动点

的轨迹为曲线

．

（1）求曲线的方程；（2）过点

的直线与曲线

交于

、

两点，是否存在定点S （s ,0），使得直线

与

斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由．

22. （本小题满分12分）已知函数x a x x x f ln 2

)(2+-=.

（1）当a = 1

时，求函数

)(x f 的单调区间；

（2）若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，证明:12ln23

()()>24

f x f x +-

参考答案

1—5、 ADBBA 6—10、 BCACA 11、AB 12、BD 13.（?

13,83

,3） 14.

15. 1 16. 5，12(n ＋1)(n －2)

9.解析：选C ．函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝2

15.解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9

x ＋1

>0.

所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9

x ＋1－5≥2

（x ＋1）·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1

，

即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号.

16.解析：f (2)＝0，f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，…f (n )－f (n －1)＝n －1.

累加，得f (n )－f (2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋(n －1)2(n －2)． ∴f (n )＝1

(n ＋1)(n －2)．

17.解：（1）2

(1)x x x

xe e x e y x x --'== （2）22

4(31)3(21)1843y x x x x x '=++-=+-

（3）1cos(1)sin 22

x y x '=++

18.解：（1和，

10a =

（2）由以上结果猜测：，用数学归纳法证明如下： ① 当时，左边，右边，等式成立. ② 假设当时,命题成立，即成立. 那么，当时，这就是说，当时等式成立. 由①和②，可知猜测对于任意正整数都成立. 19.解：（1）以D 为原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，B.(√2,1,0)，211,,22E ?

???

(0,1,1)PC =-，DA ????? =(√2,0,0),DE ????? =(√22,12,1

2),PC ????? ?AD ????? =0,PC ????? ?DE ????? =0, 又AD ∩DE =D ，所以PC ⊥平面ADE .

（2）(2,0,1)PA =-，211,,222PE ??

=- ? ???

，设平面PAE 的法向量为(,,)n x y z =，

则20

2110

222n PA x z n PE x y z ??=-=???=+-=??

，令1x =，则0y =，2z =，得(1,0,2)n =.

因为PC ⊥平面ADE ，所以PC 为平面ADE 的一个法向量，所以

cos ,||||