∵sin B =60
38sin 50sin o
a A
b =
∴B
∴C =180°-(A +B )=180°-
∴C =
o
o
A C a 38sin 111sin 60sin sin =
[方法引导
同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解
变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形
解：∵sin B =28
120sin 20sin o
a A
b =
∴B ≈38°或B ≈142°(舍去
∴C =180°-（A +B ）
∴ C =
?
?
=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导]此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合
三角形小角对小边性质而得到
(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形
(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：
1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B
(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A
解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，
C
c
B b sin sin =， ∴B =
?
?
=75sin 60sin 3sin sin C B c
(2)∵
B
b
A a sin sin =，
∴A =
?
?
=120sin 30sin 12sin sin B A b
点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到
(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A
(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A
解： (1) ∵
B b
A a sin sin = ∴sin A =11
30sin 20sin ?
=b B a
∴A 1≈65°，A 2
当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，
∴C 1=
?
?
=
30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b
当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-
∴C 2=
?
?
=30sin 35sin 11sin sin 2B C b
(2)∵sin B =28
45sin 20sin ?
=a A b
∴B 1≈30°，B 2
由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角
∴C =180°-(45°+
∴C =
??
=45sin 105sin 28sin sin A C a
(3)∵C
c
B b sin sin = ∴sin B =54
115sin 39sin ?
=c C b
∴B 1≈41°,B 2
由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去 ∴当B =41°时，A =180°-
A =
?
?
=115sin 24sin 54sin sin C A c
(4) sin B =20
120sin 28sin ?
=a A b =1.212＞
∴本题无解
点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形 布置作业
（一）课本第10页习题1.1 第1、2题
（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲
(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识 (2)余弦定理如何与向量产生联系
(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题
正弦定理
1.正弦定理
证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:
C
c
B b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边
(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角
1.1.2余弦定理
从容说课
课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的
启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系
教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用
教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程
2.余弦定理在解三角形时的应用思路
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．
教具准备投影仪、幻灯片两张
第一张:课题引入图片(记作A
如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2
问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a
第二张:余弦定理(记作1.1.2B
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C
形式二:co s A=
bc a
c b
2
2 2
2-
+
,co s B=
ca b
a c
2
2 2
2-
+
,co s C=
ab c
b a
2
2 2
2-
+
三维目标
一、知识与技能
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
3.能利用计算器进行运算
二、过程与方法
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．
教学过程
导入新课
师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题
在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A
师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt
△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得
A2=CD2+BD2
∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2
又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2
∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD
又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A
∴a2=b2+c2-2ab c os A
类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s B
c 2=a 2+b 2-2ab c os C
另外,当A 为钝角时也可证得上述结论,当A 为直角时，a 2+b 2=c 2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片
1.1.2B
推进新课
1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
在幻灯片1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式 形式一
a 2=
b 2+
c 2-2bcco s A b 2=c +a 2-2caco s B c 2=a 2+b 2-2abco s C
形式二
bc a c b A 2cos 2
22-+=
ca b a c B 2cos 2
22-+=
ab
c b a C 2cos 2
22-+=
师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的
推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究
2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析
师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢
生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角
师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通
过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造?这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提
(2)
向量法证明余弦定理过程
如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b
由向量加法的三角形法则，可得+
=
∴
,
cos 2)1802)()(222
2
a B ac c B BC AB +-=-?+=+?+=+?+=?即B 2=C 2+A 2-2AC CO
B
由向量减法的三角形法则，可得-
=
∴
2
22
2
cos 22)()(c A bc b A AB AC +-=-=+?-=-?-=?即a 2=b 2+c 2-2bcco s A
由向量加法的三角形法则,可得-=+
=
∴
,
cos 22)()(22222a C ba b C AC BC BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=-=+?-=-?-=?即c 2=a 2+b 2-2abco s
C [
方法引导
(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则
(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,
与属于同起点向量,则
夹角为A ;与是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;与是同终点,则
夹角仍是角C
[合作探究
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，
能否由三边求出一角？
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
ba
c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 2
22222222-+=
-+=-+=
师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三
角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B
通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知三边,求三个角
这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形
所产生的判断取舍等问题
接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］
【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）
解：根据余弦定理，
a 2=
b 2+
c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41 c 由正弦定理得sin C =
4141sin 34sin ??=a A c ≈41
656
.034?
因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C
B =180°-A -
C =180°-41°-
【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形
解：由余弦定理的推论,得
co s A =7
.1618.8726.1347.1618.8722
22222??-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A
co s B =7
.1616.13428.877.1616.13422
22222??-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B
C =180°-(A +B )=180°-
[知识拓展
补充例题：
【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到
分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二
解：∵725.06
10276102cos 2
22222=??-+=-+=
bc a c b A
∴A
∵c os C =
140
113107261072222222=??-+=-+ab c b a
∴C
∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出
(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算
【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到
分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好 解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得c
∵c os A =
297
.4696.32730.2297.4696.322
22222??-+=-+bc a c b
∴A
∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边
用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC
分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =
2
1
ac sin B 可以求出
若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的 下面给出两种解法 解法一:由正弦定理得?
=
60sin 7
sin 8A
∴A 1=81.8°,A 2 ∴C 1=38.2°,C 2
由
C
c
sin 60sin 7=?,得c 1=3,c 2
∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =3
10sin 2
1
2=B ac
解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B
∴72=c +82-2×8×cco
整理得c 2-8c
解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =
36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 2
1
2=B ac
[教师精讲]
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味
之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之
课堂练习
1.在△ABC 中:
(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A (2)已知a =20,b B =29,c =21，求B (3)已知a =33,c =2,b =150°,求B
(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A
解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A
(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021
202292120cos 2
22=??-+=
B .∴B
(3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b
(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22
)
13(222)13()2(cos 222=
+-++=A .∴A
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率
2.根据下列条件解三角形(角度精确到
(1)a =31,b =42,c
(2)a =9,b =10,c
解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222??-+=A ≈0.675 5,∴A
由27
3124227312cos 222222??-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B
∴C =180°-(A +B )=180°-
(2)由
,2222bc a c b -+得15
10291510cos 2
22??-+=A
∴A
由15
92109152cos 2
22222??-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,
∴B
∴C =180°-(A +B )=180°-
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力 课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题
1.余弦定理
2.证明方法余弦定理所能解决的两类问题:
(1)平面几何法已知三边求任意角;
学生练习
1.1.3
解三角形的进一步讨论
从容说课
本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理
和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：
余弦定理
a 2=b
2+c 2-2
bcco s A b 2=a 2+c 2-2acco s B c 2=b 2+
a 2-2baco s C （1）已知三边
（2）已知两边及其夹角
（3）已知两角和一边 （4）已知两边及其中一边的对角
同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．
教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求； 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教具准备 投影仪、幻灯片
第一张:课题引入图片(记作1．1． 正弦定理:
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===；
余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，
bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,ab
c b a C 2cos 2
22-+=
第二张:例3、例4(记作1．1．B
[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC [例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C 第三张:例5(记作1．1．
[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状
三维目标
一、知识与技能
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用． 二、过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．
三、情感态度与价值观
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．
教学过程
导入新课
师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用 推进新课
思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第
9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题． 【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况
师 分析：先由a A b B sin sin =
可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而A
C
a c sin sin =
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．
1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．
2.当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若a ＞b sin A ，则有两解； （2）若a =b sin A ，则只有一解；
（3）若a ＜b sin A ，则无解．
（以上解答过程详见课本第9到第10页）
师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A ＜a ＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解． （1）A 为直角或钝角
（2）A 为锐角
【例2】在△ABC 中，已知a =7,b =5,c =3，判断△ABC 的类型．
分析：由余弦定理可知
a 2=
b 2+
c 2?A 是直角?△ABC 是直角三角形， a 2＞b 2+c 2?A 是钝角?△ABC 是钝角三角形， a 2＜b 2+c ?A 是锐角/△ABC 是锐角三角形。 （注意：A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形 ）
解：∵72＞52+32,即a 2＞b 2+c 2， ∴△ABC 是钝角三角形．
高中数学必修五全套教案(非常好的)
（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系
北师大版高中数学必修五教学案
数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
最新人教版高中数学必修一教案
课题：§1.1 集合 1 2 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学3 的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基4 础上。此外，集合理论的应用也变得更加广泛。 5 课型：新授课 6 课时：1课时 7 教学目标：1.知识与技能 8 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属9 于”关系； 10 （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 11 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 12 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述13 法）描述不同的问题。 14 2.过程与方法 15 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过16 程，深入理解集合的含义。 17 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 18 3.情感态度价值观 19 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数20 学学习的兴趣。
教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 21 教学过程： 22 一、引入课题 23 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试24 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 25 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是26 高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习27 一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 28 阅读课本P 2-P 3 内容 29 二、新课教学 30 （一）集合的有关概念 31 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全32 体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个33 总体。 34 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素35 组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 36 3.关于集合的元素的特征 37
2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲(全册完整版)
2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲 （全册完整版） 第一章：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为AB C ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?=== sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R ?= == ::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： 222222 2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? 222 222222 cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式：
B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、三角形内角和定理： 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ 222 C A B π+? =- 222()C A B π?=-+. 5、一个常用结论： 在ABC ?中，sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2 A B A B A B π ==+=则或特别注意，在三角函数中， sin sin A B A B >?>不成立。 第二章：数列 1、数列中n a 与n S 之间的关系： 1 1,(1),(2). n n n S n a S S n -=?=? -≥?注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2 a b A +?= ⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式： ()() 11122 n n n n n a a S na d -+=+ = ⑸常用性质： ①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；
高中数学必修五-不等关系与不等式-教案
第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.
提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a 高中数学必修5试题及详细答案
期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2 n 9．如果a ＜b ＜0，那么( )．
人教版高中数学必修五教案1
第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形
1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.
1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。
新人教版高中数学必修一全套教案
第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征
由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
高中数学必修5教材电子课本(人教版)
高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数
2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列
2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式
高中数学必修一教案全套
高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.
『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————
高中数学必修五全套教案
第一章解三角形 章节总体设计 （一）要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知
人教版高二数学必修五学案(全套)
加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =
(完整版)高中数学人教版必修5全套教案
课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
高中数学必修1全套教案
人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）
§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3）
第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培
高中数学必修五教案-应用举例
课题: §2.2解三角形应用举例 第一课时 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理
人教版高中数学必修二教案全套
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
北师大版数学必修五教材分析
北师大版数学必修五教材分析 高三一轮复习已经进入中期,刚刚复习完不等式、数列及解三角形部分,在此将所涉及的教材必修五进行简要的分析。本册教材包含:解三角形、数列、不等式三章内容。具体课时分配如下:第一章解三角形8课时 第二章数列12课时 第三章不等式16课时 本模块的地位和内容: 解三角形在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模中,学生该在已有的知识的基础上,通过多任意三角形边角关系的探究,发展并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系,并认识到运用它们可以理解一些与测量和几何计算有关的实际问题。 数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中,学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握他们一些几门数量关系,感受这两种数列模型的管饭运用,并利用他们解决一些实际问题。 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学探究的重要内容。建立不等观念,处理不等式关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中,学生将通过具体情境,感受,在现实世界和 日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组对于刻画不等式的意义和价值:掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式方程及函数之间的联系。 “解三角形”的主要内榕树介绍三角形的正,余弦定理,及其简单应用。旨在通过对任意三角形变与角之间的探索,掌握正弦定理,余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理,余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 正弦定理,余弦定理,常作为解斜三角形的工具,有时也用于立体几何中的求三角形的边,角的计算中。在三角形中,常与三角函数的有关公式的相连联系,解决相关问题。另外,解三角形问题与知识综合,且在实际中应用广泛,因而是高考观察的一个热点,题型一般为选择题,填空题,也可能在中档解答题中出现。
(完整版)高中数学必修1教案设计
第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 课标三维定向 〖知识与技能〗1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 2、掌握集合中元素的特性。 3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 〖过程与方法〗通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。 〖情感、态度、价值观〗在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。 〖重点〗集合的含义与表示方法。 〖难点〗集合表示方法的恰当选择及应用。 教学过程设计 一、阅读课本：P2—6（10分钟）（学生课前预习） 二、核心内容整合 1、为什么要学习集合——现代数学的基础（数学分支） 2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 3、集合的特性 （1）确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流呢？ 〖知识链接〗模糊数学（“模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”） （2）互异性：集合中的元素不重复出现。如{1，1，2}不能构成集合 （3）无序性——相等集合，如{1，2} = {2，1} 4、元素与集合之间的“属于”关系：A a A a ?∈, 5、一些常用数集的记法：N （N * ，N +），Z ，Q ，R 。如：R + 表示什么？ 6、集合的表示法： （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}“括起来。 例1、用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合；{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
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1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 [提出问题] 如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2. 问题1：求△ABC的其他边和角． 提示：B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝ 3. 问题2：试计算 a sin A， b sin B， c sin C的值，三者有何关系？ 提示：a sin A＝2，b sin B＝3 sin 60°＝2， c sin C＝2，三者的值相等． 问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 提示：是．如图，∵sin A＝a c， ∴a sin A＝c. ∵sin B＝b c，∴ b sin B＝c. ∵sin C＝1，∴a sin A＝ b sin B＝ c sin C. 问题4：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝3，试求其他边和角．提示：如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝3，
则AD＝ 3 2，CD＝ 3 2， BC＝3·AB＝3，∠BAC＝120°. 问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足． 问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？ 提示：成立． [导入新知] 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A＝ b sin B＝ c sin C. 2．解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形． [化解疑难] 对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. [例1]在△ [解]A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由 b sin B＝ a sin A得b＝ a sin B sin A＝ 8×sin 60° sin 45°＝46， 由 a sin A＝ c sin C得c＝ a sin C sin A＝ 8×sin 75° sin 45°＝ 8× 2＋6 4 2 2 ＝4(3＋1)． ∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．
