第三强度理论.
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7.1应力状态概述
过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态
§7.2二向和三向应力状态的实例
§7.3二向应力状态分析—解析法
1．任意斜截面上的应力
在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程
αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+
0s i n )s i n (c o s )s i n (=-+αασαατdA dA y yx
αασαατ
τsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy
a --
0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y
根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22
α
ααα-=+=
，
ααα2sin cos sin 2=
简化两个平衡方程，得
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
xy
τyx
τn
α
t
ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
2．极值应力
将正应力公式对α取导数，得
??
????+--=ατασσασα
2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数
0=α
σα
d d ，则 02cos 2sin 2
00=+-ατασσxy y
x
y
x xy
tg σστα--
=220
上式有两个解：即0α和 900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为
2
2min max )2
(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=
??? 0α代入剪力公式，0ατ为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平
面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。
将切应力公式对α求导，令
02sin 22cos )(=--=ατασσα
τα
xy y x d d 若1αα=时，能使导数0=α
τα
d d ，则在1α所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得
02sin 22cos )(11=--ατασσxy y x
xy
y
x tg τσσα221-=
求得剪应力的最大值和最小值是：
2
2min max )2
(
xy y x τσσττ+-±=??? 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方
位的对应关系是：若0>xy τ，则绝对值较小的1α对应最大剪应力所在的平面。
3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
α与1α之间的关系为
1
021
2ααtg tg -
= 4
,
2
220101π
ααπ
αα+
=+
=
这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为
45。
§7.4二向应力状态分析—图解法
1．应力圆方程
将公式???
????
+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 中的α削掉，得 2
2
2
2
22xy y x y x τσστσσσαα+???
? ?
?-=+???? ??
+- 由上式确定的以ασ和ατ为变量的圆，这个圆称作应力圆。
圆心的横坐标为
()y x σσ+21
，纵坐标为零，圆的半径为22
2xy y x τσσ+???
? ?
?+。 2．应力圆的画法
建立τσ-应力坐标系（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点()
xy x D τσ,和()yx y
D
τσ
,'
'DD 与轴的交点C 便是圆心
以C 为圆心，以AD 为半径画圆——应力圆。 3．单元体与应力圆的对应关系
1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值
2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同
4．在应力圆上标出极值应力
2
2
min max 22xy y x y
x τσσσσσσ+???
? ?
?-±+=???
22
min
max min max 22xy y x R τσσσσττ+???
? ?
?-±-±=±=???
作业：P 2537.1；7.4；7.5；7.7
小 结
1、应力状态概述
2、二向和三向应力状态的实例
3、二向应力状态分析—解析法 （1）任意斜截面上的应力
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
；ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
（2）极值应力 正应力：y
x xy
tg σστα--
=220，
2
2min max )2
(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=??? 切应力：xy y x tg τσσα221-=， 2
2min max )2(
xy y x τσσττ+-±=?
?? （3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
α与1α之间的关系为：4
,2
220101π
ααπ
αα+
=+
=，即：最大和最小剪应力所在的
平面与主平面的夹角为
45。
4、二向应力状态分析—图解法
（1）应力圆方程 （2）应力圆画法
（3）单元体也应力圆的对应关系 （4）在应力圆上标出极值应力
§7.5三向应力状态
1．三个主应力
321σσσ≥≥
2.三向应力圆的画法
由21,σσ作应力圆，决定了平行于3σ平面上的应力 由13,σσ作应力圆，决定了平行于2σ平面上的应力 由32,σσ作应力圆，决定了平行于1σ平面上的应力
3．单元体正应力的极值为
1max σσ=，3min σσ=
最大的剪应力极值为
2
3
1max σστ-=
§7.8广义虎克定律
1．单拉下的应力—应变关系
E
σ
ε=
，E
σ
μ
μεε-=-='
2．复杂状态下的应力— 应变关系
三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得
()[]3213
2
1
11
σσμσσμ
σμ
σε--=
--=
E
E
E
E
[][][]??
?
?
?
?
???
+-=+-=+-=)(1)(1)(1213313223211σσμσεσσμσεσσμσεE E E
3．体积胡克定律
单元体变形后的体积为
dz dy dx V ??=
单元体变形后的体积为
()()()dz dz dy dy dx dx V 3211εεε+?+?+=
1
x
x
体积改变为
()()()()()K
E E V
V
V m
σσσσμσσσμεεεεεεθ=??? ??++-=++-=++≈-+++=-=
32132111113213213
213211
其中()E K μ213-=
为体积模量，3
321σσσσ++=m 是三个主应力的平均值。
K
m
σθ==
为体积胡克定律。
§7.10强度理论概述
强度理论是推测强度失效原因的一些假说。认为材料之所以按某种方式失效，是应力、
应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。
§7.11四种常用强度理论
1．最大拉应力理论（第一强度理论）
[]σσ≤1
2．最大伸长线应变理论（第二强度理论）
()[]σσσμσ≤+-321
3．最大切应力理论（第三强度理论）
[]σσσ≤-31
4．畸变能密度理论（第四强度理论）
()()()[]
[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212
1
作业：P 2557.10；7.14；7.28；7.37
小 结
1、三向应力状态 （1）三个主应力
321σσσ≥≥
（2）三向应力圆的画法
由21,σσ作应力圆，决定了平行于3σ平面上的应力；由13,σσ作应力圆，决定了平行
于2σ平面上的应力；由32,σσ作应力圆，决定了平行于1σ平面上的应力。
（3）单元体正应力的极值为：1max σσ=，3min σσ=；剪应力极值为：2
3
1max σστ-=
2、广义虎克定律
（1）单拉下的应力—应变关系：E
σ
ε=，E
σ
μ
μεε-=-='
（2）复杂状态下的应力— 应变关系
[][][]???
?
?
?
???+-=+-=+-=)(1)(1)(1213313223211σσμσεσσμσεσσμσεE E E
（3）体积胡克定律 单元体变形后的体积为
K
m
σθ==
3、强度理论概述
强度理论是推测强度失效原因的一些假说。认为材料之所以按某种方式失效，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。
4、四种常用强度理论
（1）最大拉应力理论（第一强度理论）：[]σσ≤1 （2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）：()[]σσσμσ≤+-321
（3）最大切应力理论（第三强度理论）：
[]σσσ≤-31
（4）畸变能密度理论（第四强度理论）：()()()[]
[]
σσσσσσσ≤-+-+-21323222121