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九年级上人教版数学练习册答案

九年级上人教版数学练

习册答案

Company Document number：WTUT-WT88Y-

W8BBGB-BWYTT-19998

数学 · 九年级上 · 人教版

第二十一章二次根式６．（１）２；

（２）－６槡５

７．１

第１节二次根式

８．－槡２

１．Ｃ２．Ｂ３．Ａ４．Ｄ５．Ａ６．＜

７．槡７

槡犪

２

＋犫

２

１１４９．

８．（１）狓 ≥ －１；（２）任何实数；（３）犿 ≤

练习二（混合运算）

０；（４）犿＝２；（５）犪＞０；（６）犪＞３１．Ｄ２．Ｂ３．Ａ４．３４５５．３槡２

９．（１）８０；（２）７

４

；（３）９６．（狓２＋３）（狓＋槡３）

（狓－槡３）

７．１－

４槡６１０．４１１．１或－１１２．２犫＋犮－犪

８．（１）狓＝－１；（２）狓 ≤ ０

第２节二次根式的乘除

９．１

＋槡３１．Ｄ２．Ｃ３．Ｃ４．狓 ≥ ２１０．甲的对，被开方数根要大于

零５．４８３２３０

１１．２００１

６．８狓狔槡狔－槡－犪－犫槡犪１２．∵ 槡犪－４＋槡３犪－犫＝０

７．－槡１－犪８．＜＜９．（１）－槡１１；（２）（１－犪）槡１－犪；

（３）－２犪犫

１０．（１）－２；（２）２

而槡犪－４ ≥ ０，槡３犪

－犫 ≥ ０

∴ 槡犪－４

＝０，且槡

３犪－犫＝０

解之得犪

＝４，犫＝１

２

∴犪＋犫＝４＋

１２＝１６０．２

２２２

１１．３０槡６ｃｍ

２

提示：作一个

腰为的等腰直

角三

１

３．１

１２．（１）槡１１７；（２）８槡２；（３）５槡５

角形，以其斜边

为直角边作直角三

犃犅犆犃犆

１３．０

角形，其中

则以点为圆心，

犃犆犈犈犆＝

１．犃

１４．提示：平方后比较，槡２＋槡６＜槡３＋槡５．

以直角三角形的

斜边长为半径画

弧，犃犆犈

第３节二次根式的加减

它与数轴正半轴的

交点即为表示的

点，即

槡

３

练习一（加减运算）

可找到槡３＋１的点．１．Ｂ２．０

２

８

５３．（１）－１４槡２；（２）４．（１）０；（２）１０

１

６

９

槡１０；（３）

槡

３

５．（１）２４槡６；（２）槡６－槡５

图１

１

人教版 · 数学 · 九年级（上）

第二十二章一元二次方程（２）第一种方法出现分式犫

２犪

，配方

比较

第１节一元二次方程１．４狓２－５狓＋３＝０４－５３繁

；两边开方时分子、分母都出现 “± ”，相除

后为何只有分子上有 “± ”，不好理解；还易

误

认为槡４犪２＝２犪．所以，第二

种方法好．２．Ｄ３．Ｃ

４．Ｃ５．Ｂ６．狓２＋２狓－１＝０．

１３．（１）狓２＋７狓＋６＝（狓＋１）（狓＋６）；

７．设最小的整数为状，则状２＋状－２７２＝０．

（２）狓２－７狓－６０＝（狓－１２）（狓＋５）；

８．设这个人行道的宽度为狓ｍ，则（３）狆２＋７狆－１８＝（狆＋９）（狆－２）；（２４－２狓）（２０－２狓）＝３２．（４）犫２＋１１犫＋２８＝（犫＋４）（犫＋７）．

９．设中粳 “６４２７ ”稻谷的出米率的增长率１４．（１）犿１＝－１，犿２＝－２；

为狓，则稻谷产量的增长率为２狓．根据题意，得（２）狓１＝１，

狓２＝６；

５００（１＋２狓）· ７０％（１＋狓）＝４６２，化简（３）犿１＝３，犿２＝４；可得：５０狓２＋７５狓－８＝０．（４）狓１＝４，狓

２＝２．１０．（１）设１１、１２月的平均月增长率为

练习二

狓，则１００（１＋狓）＋１００（１＋狓）２

＝２３１；１．Ｂ２．０或－２３．０－１１（２）１１００吨．１１．设最短的直角边长为狓，则长直角４．

１

４边为狓＋１４，可得狓（狓＋１４）＝１２０．

５．１３６．２．５ｍ

７．设三、四月份平均每月增长

的百分率１２．设兔舍平行于旧墙的长为狓ｍ，则

宽为１（３５－狓）ｍ．根

据题意，得（），３５－狓＝１５０

２狓 · １

２

为狓，依题意得６０ ×

（１－１０％）（１＋狓）２

＝９６．解得狓＝１

３ ≈ ３３．

３％．８．设２００７年年获利率为

狓，则２００８年

化简得：狓２－３５狓＋３００＝０，的年获利率为（狓＋０．１），１００（１＋狓）（１＋狓

解得狓１＝１５，狓

２＝

２０．

＋０．１）＝１５６，解得狓＝

２０％，０．１＋狓

第２节降次———解一元二次方程

＝３０％．

练习一９．因为８＜狓＜１４，通

过估算可知

１．Ｂ２．Ｃ狓＝１０．

３．（１）

狓１＝２，狓２＝４；１０．设应挖狓ｍ，则（６４

－４狓）（１６２－

（２）狓１＝２，狓

２＝１０．

２狓）＝９６００，解

得狓＝１ｍ．

４．（１）狓１，２＝

１±

槡６

３

；

１１．Ａ１２．Ｃ１

３．Ｃ１４．Ｄ１５．Ｃ

１６．２１７．１０１

８．犽＞１

（２）狓１＝８，狓

２＝

－１

９

３

．

１９．（１）方程无实数

根；

（２）方程有两个不相等

的实数根；

５．（１）

狓１＝０，狓２＝２；（２）狓＝

５２０．（１）答案不唯一．根据一元二次方

６．狓１＝－２，狓

２＝１７．１ｓ程根的判别式，只要满足

犿＜５的实数即

８．１３±槡３４７≈３２分９．４或１．０１０．８，９可；如犿＝１，得方程狓

２＋

４狓

＝

０，

它

有

两

个

不等实数根：狓１＝０，狓

２＝

－

４；

１１．若一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（２）答案不唯一．要依赖（１）中的犿的

的两个根是狓１、狓２，则二次三

项式犪狓２＋犫狓值，由根与系数的关系可得答案．α＝０，

＋犮＝（狓＋狓

１）（狓

＋狓

２）．

１２．（１）两种方法的本质是相同的，都β＝４，α２＋β２＋αβ＝０＋１６＋０＝１６．

２１．（１）Δ＝（犿－１）２－４（－２犿２＋犿）

运用的是配方法．２－６犿＋１＝（３犿－１）２＝９犿

２

参考答案与提示

要使狓

１ ≠ 狓２， ∴ Δ ＞０，得犿 ≠

２

（）＋犿－１狓－２犿

另解：由狓

１３．

２

＋犿＝０

即（狓１

－３）（狓

７．２

所以犽＞

２－３）＜０

得狓１＝犿，

狓２＝１－２犿，由狓１ ≠ 狓２解得．第３节实际问题与一元二次方程

（２）∵ 狓１＝犿，狓２＝１－２犿，狓２＋狓１

２２＝２练习一

∴ 犿

１．Ｃ２．Ａ

２

＋（１－２犿）２＝２

解得犿１＝－

１５，犿２＝１．

３．设这两年平均增长的百

分率为狓，则８（１＋狓）２＝９，解得狓 ≈ ６％．

另解：也可用韦达定理来解．

４．设三、四月份的平均增

长率为狓，则２２．（１）狓１＝－１，狓２＝－１，狓

１＋狓２＝

１０００（１－１０％）（１＋狓）２＝１２９６，解得狓＝２０％．

－２，狓１ · 狓２＝１３＋槡１３＝１

２

（２）狓，狓２＝３－槡１３２，狓１

＋狓２５．由题意得狓＝５．

１０－

狓２（１０）

＝２５％，解得＝３，狓１ ·

狓２

＝－１

６．提示：设金边宽为狓ｃｍ，则（６０＋

（３）狓１＝１，狓

２

＝－

７

３，狓１＋狓２

＝－４３，２狓）（４０＋２狓）－６０ × ４０１３７５ × ６０ × ４０．

＝

狓１ · 狓

２

＝

－

７

３

７．设垂直

墙面的边长为狓ｍ，则另一边长为（３３－２狓）ｍ，

猜想：

犪狓２

＋犫狓＋犮＝０的两根为狓

１与列方程得狓（３３－２狓）＝１３０，解得

狓２，则狓１＋狓２＝－犫犪

，狓１ · 狓２

＝犮犪，狓１＝６．５，狓２＝１０．当狓＝６．５时，３３－２狓＝２０＞１８不符应用：另一根为２－槡３，

犮＝１合要求，舍去；２３．依题意有：

当狓＝１０时，３３－２狓＝１３＜１８符合

狓１＋狓２＝－２（犿＋２） ①

烄

要求．

狓１狓２＝犿２－５ ② 烅狓１２＋狓２＝狓

１狓２＋１６

③ ２

故花坛的长为１３ｍ，宽为１０ｍ．８．（１）∵ 四月份用电１８０度，交电费， Δ ＝４（犿＋２）２－４（犿２－５）≥ ０

恰好为每度０．２

元， ∴ 四月份用电没超过犪

烆 ④

由 ① ② ③ 解得：犿＝－１或犿＝－１５，又度，五月份用电２５０度，交电费５６元，每度超

９

４

由 ④ 可知犿 ≥ －， ∴ 犿＝－１５（舍去），故犿＝－１．

过０．２元． ∴ 五月份用电超过了犪度．（２）由题意得，（２５０－犪）· 犪６２

５＋０．２

犪２４．由一元二次方程根与系数关系＝５６整理得，犪２－

３７５犪＋５６ × ６２５＝０即（犪可知：

－２００）（犪－１７５）＝０，∴ 犪

１＝２００，犪

２

＝１７５

狓１＋狓２＝２犽－３，

狓１ ·

狓２＝２犽－４．又 ∵ 犪 ≥ １８０， ∴

犪＝２００．

９．（１）１８０

００千克；

（１）１＋狓２＞０，狓１ · 狓

（

２）在果园出售，毛收入为

狓２＞０１８０００×１．１

即２犽－３＞０，２犽－４＞０

＝１９８００元；

在市场出售，毛收入为１８０００×１．３－

所以犽＞２；

（２）狓１＋狓２＞０，狓１·狓

２＜

０

１８×８×２５＝１９

８００元；

虽然，两个收入相同，但市场

出售还要

即２犽－３＞０，２犽－４＜０

所以３

２＜犽＜２；

费人力、物力，所以选择在果园

出售方式好；

（３）设增长率为狓，则（１９

８００－７８００）

（３）不妨设狓１＞３，狓２＜３，则狓１－

３＞０，［１＋（１＋狓）＋（１＋狓）２］＝５７０００，解

狓２－３＜０，得狓＝０．５＝

５０％．

３

人教版 · 数学 · 九年级（上）

１０．（１）狔＝（３０－２狓）狓；（２）１０，８；连２８条不同

的直线，求空间共有多少个点

（３）不是；狓＝７．５时，最大为１１２．５ｍ２．（５）平面上有２８条直线，若任意两条不练习二平行，任意三条不共点，则有多少个交点

１．设甬路宽度为狓ｍ，根据题意得（４０－

和这个问题列方程的思想一样的实际

２狓）（２６－狓）＝１４４ × ６，解得狓１＝２，狓２＝４４问题很多，如：（不合题意，舍去），所以甬路宽为２ｍ．（１）春节前后，几个人互打电话问候，

２．根据题意可得方程若共打了２０次电话，问共有几人

（５０－２－狓） × （３０－２狓）＝５０ × ３０

２，

（２）元旦前后，几个同学互相赠送贺年卡，若共赠送了２０张贺年

卡，问共有几人

化简可得狓２

－６３狓＋３４５＝０，

（３）在某两地的铁路线上，共有２０个不

解得：狓１ ≈ ６．０６，狓２＝５６．９４，同的火车站，问这条铁路共需设计多少个不经检验，狓２不合题意舍去，所以狓的值

同的火车

票约取６．０６ｍ．

５．（１）由题意设２月，３月每月增长的

３．设狓ｓ后两只蚂百分率为狓，则蚁与犗点组成的三角形

２５［１＋（１＋狓）＋（１＋

狓）２

］＝９１，

面积等于４５０ｃｍ２．解得狓＝０．２＝２０％．即２月、３月份每

（１）若这只蚂蚁在

月平均增长的百分率

为２０％．犗犃上，根据题意得

（２）显然，３月份的生产收入为

１２（５０－２狓）· ３狓＝

（）· ，解得，２狓－５０３狓＝４５０狋＝３０１

图２

４５０，解得狋１＝１０，狋２＝１５．（２）若这只蚂蚁在犗犅上，根

据题意得

１２

狋２＝－５（不合题意，舍去）．

所以分别在１０ｓ，１５ｓ，３０

ｓ时两只蚂蚁

与犗点组成的三角形面积等于４

５０ｃｍ

２．

４．设有状个人参加聚会，则

在这状个人

中任何１个人，他（她）都要与除自己以外的（状－１）个人握手；又因为甲与乙握手与乙

与甲握手是同一次握手，所以握手总次数为

１２状（状－１）．所以，状（状－１）＝５６．

２５ × （１＋０．２）２＝２５ ×

１．４４＝３６（万元）

设治理状个月后所投资金开始见效，

则有９１＋３６（状－３）－１１１ ≥ ２０状，状 ≥ ８．

即治理８个月后所投资金

开始见效．６．设商品降低了狓个１００元，则优惠价是（３５００－１００狓）元，每个商品的利润是

［（３５００－１００狓）－２５０

０］元，销售量为（８

＋２狓）个，由题意得

［（３５００－１００狓）－２５

００］（８＋２狓）＝

８ × （３５００－２５００）（１＋１

２．５％），

解得狓１＝１，狓２＝５．

所以，优惠价应定为３０００元或３４００

元．到底定为多钱，要视具体情况而定．７．（１）７０，４，２００７．（２）设２００９年和２０１０

年两年绿地面积和这个问题所列方程相同的实际问题的年平均增长率为狓，很多，如：

根据题意，得７０（１＋

狓）２

＝８４．７．（１）状个村庄，每两个之间都有一条公

整理后，得（１＋狓）

２

＝１．２１．路，若有人统计共有２８条公路，问共有多少

个村庄解这个方程，得狓１＝０．

１，狓２

＝－２．１

（不合题意，

舍去）．（２）在某两地的铁路线上，共有２８个不同

故所求平均增长率为１０％．的火车站，问这条铁路共有多少个不同的票价

（３）一次乒乓球循环赛，每个队都

要见

面，共举行了２８场比赛，问共有多少个代表第二十三章

旋转

第１节图形

的旋转队参加

（４）空间状个点，任意三点不共线，可以

１．Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ａ４

参考答案与提

示

５．相同相等旋转中心（３）分别以这两组图形为平移的“基

本图形”，各平移两次，即可得到最终的

６．４５°９０°７．犅犆犇犆６０°

８．底角是６０°，腰与底相等的等腰梯形图形．

９．图略１０．五角星

１１．（１）不正确．例如

图（１）的情况下不正确，但

图（２）的情况下正确．

（２）犅犈＝犇犌

成

立．如图３，连结犅

犈．

∵四边形犃犅犆犇

和

犃犈犉犌都是正方形，∴犃犇＝犃犅，犃

犌图３

图５图６

１０．如图７所示，△

犃″犅″犆″与

△犃′犅′犆′是关于原点犗成

中心对称的．

＝犃犈，∠犇犃犅＝∠犌犃犈＝９０°．

∴∠犇犃犌＋∠犌犃犅＝９０°＝∠犅犃犈＋

∠犌犃犅．

∴∠犇犃犌＝∠犅犃犈．

∴△犇犃犌≌△犅犃犈．∴犅犈＝犇犌．

１２．（１）犃犅＝２ｍ，犃犆＝槡３ｍ．

（２）画出犃点经过的路径，如图４

所示．

图７

１１．两个全等的正方形犃

犅犆犇和

犆犇犈犉组成矩形犃犅犉犈，它是

中心对称图

形，对称中心就是对角线犃犉

与犅犈的交

点犗，四边形犆犇犈犉绕犗顺时

针（或逆时

针）旋转１８０°后，能与四边形

犃犅犆犇重

合．注意到四边形犆犇犈犉绕

点犇顺时针旋图４

转９０°后或绕点犆逆时针旋转

９０°后能与

∵∠犃犅犃１＝１８０°－６０°＝１２０°，

正方形犃犅犆犇重合，所以可以

作为旋转中

犃１犃２＝犃犆＝槡３ｍ，心（不是对称中心但包含对

称中心）的点

∴犃点所经过的路径长＝１

２

０

１

８

０

×π×

有３个，即犇、犗、犆．

１２．（１）以犅犆为对称轴

作对称变换（如

２＋槡３＝４

３

π＋槡３≈５．９（ｍ）．图８）．（或以犅犆的中点犗把

△犃犅犆绕犗点

旋转１８０°）

第２节中心对称

１．Ｂ２．Ｃ３．Ｃ４．Ｃ

５．关于原点对称

６．３７．４

８．（１）①④，（２）③④，（３）④，（４）④

９．（１）以一个三角形的一条边为对称轴

作与它轴对称的图形．（图５）

图８

（２）将得到的这组图形以一条边的中点（２）把△犃犅犆绕犃犆的中点犗旋转

为旋转中心旋转．（图６）１８０°即可（如图９）．

５

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（２）如图１２所示，点犃′ 与

点犃关于直

线犔成轴对称，连接犃′ 犅交直线犔于点犘，则点犘为所求．

图９四边形是菱形，平行四边形．

１０．答案不唯一，下面举出两例（如图

１３所示）．１３．答案不唯一，下面举出三例，如图１０所示．

图１３

１１．略

图１０

第３节课题学习图案设计第二十四章

圆

１．左右，上下

第１节圆

２．圆心逆时针９０°

练习

一

３．４５° （答案不唯一）

１．Ａ２．Ｂ

３．Ａ

４．３犗９０° 矩形犃犅犉犎犉犎５．旋转变换，平移变换（答案不唯一）

６．平移变换，旋转变换（答案不唯一）

４．６槡３５．３０６．５０° ７．８８．２００°

７．提示：（１）犃犉＝犆犈；（２）两次旋转变换（答案不唯一）

９．５０° １０．１５° ︵

１１．６４° １２．３０° １３．

犅犇的中点

８．图案如图１１所示，四边形犈犗犆犎的１４．以犕为圆心，以大于犕到 ⊙ 犗的最

面积是４ｃｍ

２．小距离且小于犕到 ⊙ 犗的最

大距离为半径画圆，与 ⊙ 犗的交点即分别为犃、犅．

１５．１ｃｍ或７ｃｍ１６．２５

ｃｍ

８

１７．３槡５ｃｍ

１８．７５°

练习二

１．Ｂ２．Ｃ３．Ｂ４．Ａ

５．９

图１１

６．２

．５ｍ９．（１）平移后的小船如图１２所

示．

７．５０°８．１３０°９．５槡３ｃ

ｍ

１０．证明：如图１４

所示，作犗犌⊥犆犇于犌，

则犆犌＝犇犌．

∵犈犆⊥犆犇，犇犉⊥

犆犇，犗犌⊥犆犇，

∴犈犆∥犇犉∥犗犌．

图１４

∴犗犈＝犗犉．

又∵犗犃＝犗犅，∴犃犈＝犅

犉．

１１．连结犃犆．由勾股定理

得，犃犆＝

图１２

６

参考答案与提示

１４．（１）如图１６所示，

槡犃犅

２

＋犅犆

槡２＝

３２＋４２＝５．证明：连结犗犇．

当狉＝犃犅＝３时，⊙ 犃经过点犅，点犆、 ∵ 犃犅是直径，犃犅犇在 ⊙ 犃外；当

狉＝犃犇＝４时，⊙ 犃经过点犇，点犅在 ⊙ 犃内，点犆在 ⊙ 犃外；当狉＝犃犆

＝５时，⊙ 犃经过点犆，点犅、犇在 ⊙ 犃内．

⊥ 犆犇，

︵ ∴ 犅犆＝︵

犅

犇．所以，（１）当狉＜３时，点犅、犆、犇均在圆外；（２）当３ ≤ 狉＜４时，点犅、犆、犇中有两点

在圆外；（３）当４ ≤ 狉＜５时，点犅、犆、犇中只

＝１

２ ∴ ∠ 犆犗犅＝ ∠ 犇犗犅 ∠ 犆犗犇．图１６

有一点在圆外．

１２．如图１５所示，（１）连结犅犈，则 ∠ 犅犈犆＝９０° ．

∵ 犃犅＝犅犆，犅犈平分 ∠ 犃犅犆， ∴ ∠ 犃犅犈＝ ∠ 犆犅犈．

又 ∵ ∠ 犆犘犇＝１

∠ 犆犗犇，２ ∴ ∠ 犆犘犇＝ ∠ 犆犗犅．（２）∠ 犆犘′ 犇与 ∠ 犆犗犅的数量关系是：

∠ 犆犘′ 犇＋ ∠ 犆犗犅＝１８０ ° ．

∵ ∠ 犆犘′ 犇＋ ∠ 犆犘犇＝１８０ ° ，∠ 犆犘犇

＝ ∠ 犆犗犅，

∴ ∠ 犆犘′ 犇＋ ∠ 犆犗犅＝１８０ ° ．

第２节点、直线、圆和圆的位置关系

练习一

图１５︵︵ ∴ 犇犈＝

犆犈，∴ ∠ 犈犇犆＝ ∠ 犈犆犇．

（２）∵ 犇

︵犈＝犆︵犈， ∴ 犇犈＝犆１．Ｃ２．Ｃ３．Ｃ４．Ｄ５．３

６．∠ 犅＝ ∠ 犆

７．∵ 犃犆＝犅犆，∴ ∠ 犃＝ ∠ 犅．∵ 直线犇犈切 ⊙ 犗于点犆，∴ ∠ 犃

犈．犆犇＝∠犅．

∵犃犅＝犅犆，犅犈⊥犃犆，∴犃犈＝犆犈．

∴犃犈＝犆犈＝犇犈＝３ｃｍ，∴∠犃犆犇＝∠犃．∴犇犈∥犃犅．

８．（１）如图１７

所示，连结犗犆．

犃犆＝６ｃｍ．

在Ｒｔ△犃犅犈中，犅犈＝犃

犅

２－犃犈

２

又，，∠犃＝∠犃∴△犃犅犈∽

△犃犆犇

（）为的平分

线，

１３．１∵犃犇∠犈犃犆

槡

＝槡５２－３２＝４，

２

－３２＝４，

∵犅犆为⊙犗直径，

∴∠犃犈犅＝∠犃犇犆＝９

０°．

∴犃犅

犃

犆＝

犅

犈

犆

犇

，即

５

６

＝

４

犆

犇

．

∴犆犇＝４．８ｃｍ．

∴∠犈犃犇＝∠犇犃犆．

∵犘犆切⊙犗

于点犆，∴∠犘犆犗

＝９０°．

图１７

∵∠犘犆犅＝

３０°，∴∠犅犆犗＝６０°．

∵犗犅＝犗犆，∴△犅犗犆是

等边三角形．

∴∠犆犅犃＝∠犅犗犆＝６

０°．

（２）在Ｒｔ△犗犆犘

中，∵犗犆

＝

犗犘

ｃｏｓ∠犅

犗犆＝

１

２

，∴犗犘＝２犗

犆＝６．

∵四边形犃犅犆犇是圆内接四边形，

∴犘犃＝犗犘＋犗犃＝６＋３＝９．

∴∠犈犃犇＝∠犅犆犇．９．证明：如图１８所示，连结犗犆．

又∵∠犇犃犆＝∠犇犅犆，

∵犅犆∥犗犘，

∴∠犅犆犇＝∠犇犅犆．∴犅犇＝犇犆．∴∠犘犗犆＝∠犅犆犗，

（２）补充下列条件中的任意一个，都能

∠犘犗犃＝∠犅．

使直线犇犉经过圆心．∵犗犅＝犗犆，

①犅犉＝犆犉；②犇犉⊥犅犆；③犇犉平分

∴∠犅犆犗＝∠犅．

∠犅犇犆．（理由略）

∴∠犘犗犆＝∠犘犗犃．

７

人教版·数学·九年级（上）

又∵犗犆＝犗犃，犗犘

∴∠犗犆犇＝９０°．

＝犗犘，

∴∠犇犆犙＋∴△犘犗犆∠犗犆犃＝９０°．

≌△犘犗犃，

∴∠犇犆犙＋∴∠犘犆犗∠犘犃犙＝９０°．

在Ｒｔ△犙犘犃中，＝∠犘犃犗．

∵犘犃⊥犃犅，

∴∠犘犃犗＝９０°，图１８∠犙犘犃＝９０°，

∴∠犘犃犙＋∠

犙

图

２１

∴∠犘犆犗＝９０°＝９０°．

∴犘犆是⊙犗的切线．

∴∠犇犆犙＝∠犙．∴犇犙＝

犇犆．

１０．（１）如图１９即△犆犇犙是等腰三角形．

所示，证明：连练习二

结犗犕．１．Ｂ２．Ａ３．２或６４．３０°

∵犗犕＝犗犃，

∴∠犃＝∠犗犕犃．

∵犅犃＝犅犆，

图１９∴∠犃＝∠犆．

∴∠犗犕犃＝∠犆．∴

犗犕∥犅犆．

切于点，∵犕荦⊙犗犕

１

５．

π犪

２６．７５°７．６

４

８．提示：连结三个圆的圆

心构成等边三

角形．最高点到地面的距离是２＋槡３．

９．证明：如图

２２所示，延长犆犗

２

交⊙犗２于点犉，交

∴∠犗犕荦＝９０°．

∵∠犕荦犆＝∠犗犕荦＝９０°，犇犈于点犌，连结

∴犕荦⊥犅犆．

（２）当犗犃＜犗犅时，上述结论成立．

当犗犃＞犗犅时，上述结论也成立．犃犅、犅犉．

在⊙犗

中，

２

∠犅犉犆＝∠犅犃

犆．

图

２２

如图２０所示，以∵四边形犃犅犈犇是

⊙犗

１的内接四

犗犃＜犗犅为例证明如下：边

形，

∴∠犅犃犆＝∠犈．∴∠犅犉犆

＝∠犈．

证明：连结犗犕．∵犆犉是⊙犗２的直

径，∴∠犉犅犆＝９０°．∵犗犕＝犗犃，

∴∠犅犆犉＋∠犅犉犆＝９０°．∴∠犃＝∠犗犕犃．∴∠犅犆犉＋∠犈＝９０°．

图２０

∵犅犃＝犅犆，∴∠犆犌犈＝９０°，∴犗

２犆⊥犇犈．

１０．证

明：∴∠犃＝∠犆．

如图２３所

示，连∴∠犗犕犃＝∠犆．

接犕荦、荦犃，连

∴犗犕∥犅犆．

∵犕荦切⊙犗于点犕，接犅犕并延长交∴∠犗犕荦＝９０°．犆犇于点犈．

∵∠犕荦犆＝∠犗犕荦＝９０°，∵⊙犕与

图２３

∴犕荦⊥犅犆．

１１．“△犆犇犙是等腰三角形”还成立．⊙荦外切于

犘

点，∴犕荦经过点犘．

证明：如图２１所示，连结犗犆．∴∠犅犘犕＝∠犃犘荦．

∵犗犃＝犗犆，∴∠犗犃犆＝∠犗犆犃．∵犕犅＝犕犘，∴∠犅犘犕＝∠犅．

∵∠犗犃犆＝∠犘犃犙，∵荦犃＝荦犘，∴∠犃犘荦＝∠犘犃荦．

∴∠犗犆犃＝∠犘犃犙．∵犆犇切⊙犗于犆点，∴∠犅＝∠犘犃荦．∴犅犈∥荦犃．

∵犃犇切⊙荦于点犃，∴荦犃⊥犃犇．

８

九年级下册人教版数学知识点归纳

九年级下册人教版数学知识点归纳 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

第二十二单元二次函数一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数， a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标() h k ，； ⑵保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到() h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y+ + =2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，c bx ax y+ + =2 变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或 c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 ()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =- 时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =- 时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()() y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

浙教版九年级上册数学书答案

浙教版九年级上册数学书答案篇一：九年级上册数学作业本答案篇二：浙教版九年级数学上册期末试卷及答案九年级数学（上）期末模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在题后括号内） 1．如果□+2=0，那么“□”内应填的实数是（） A．－2 B．－ 12 C． 12 D． 2 2．在Rt⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（） A．都扩大2倍B．都缩小2倍 C．都不变D．正弦值扩大2倍, 余弦值缩小2倍 3．路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（） A． B．C． D． 4．小明与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心、手背”游戏确定出场

顺序. 设每人每次出手心、手背的可能性相同. 若有一人与另外两人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次, 小明最后出场比赛的概率为（） A． 12 B． 5．如图, 在 ?ABCD中, AB=10, AD=6, E是AD的中点, 在AB?上取一点F,? 使 F 11 C．34 D． 1 5 AED △CBF∽△CDE, 则BF的长是() A.5 B.8.2 C.6.4 D.1.8 6. 从1到9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率为() 12A．B． 992 C．

3 D． 5 9 7．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（） A B C D 8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( ) ①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC 与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与△DEF的面积比为4:1． A．1B．2C．3D．4 9．已知二次函数y?ax?bx?c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y?ax?bx?c 的图象上，则下列结论正确的是( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 2 2 10．在一次1500米比赛中，有如下的判断: 甲说: 丙第一 , 我第三; 乙

北师大版,初三,九年级数学数学上册,课后习题答案

北师大版，初三，九年级数学数学上册，课后习题答案第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°. 在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）. 因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm. 1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB， ∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）. 2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6= 3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO2+DO2)=√(42+32)=5.∴菱形ABCD的周长为 4AD=4×5=20. 3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD. 同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC. 4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形. 第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm. 1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.

∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF, ∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点， ∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH, ∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. ∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 3.解：四边形CDC′E是菱形. 证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 第9页练习答案 1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.

人教版初中数学九年级知识点总结

反比例函数一.知识框架二．知识概念 1.反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1-=kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。对称中心是：原点 3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

一元二次方程二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。

（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（3）一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时， ?将a、b、c代入式子x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

人教版九年级数学下册：全套教案

第二十六章二次函数 [本章知识要点] 1．探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ．解若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些

九年级上册数学寒假作业答案沪教版

九年级上册数学寒假作业答案沪教版（2021最新版）作者：______ 编写日期：2021年__月__日练习一:CCACCBDB30，3或44和616：25：088052号练习二:ACDCCB4，等边三角形8210560°110° 练习三:CBDCCABB⑷⑹⑺⑴⑵⑶⑸±2/30.69.75×10i或√7直角10 练习四;BCDDDADB-1/2±3-√5√3-√22.0310035;815(√就是根号。)

练习五:CBCDDCCCC90一、口、王、田经过□ABCD的对角线交点AC=BD且AC⊥BD22cm与20cm6345°8 练习六:BCABDACD线段、平行四边形、正方形、园线段、角、正方形、等腰梯形、圆、等边三角形线段、正方形、圆90AB=CD80228 练习七：BCAAAA有序实数对133(-3，-1)=3≠-2(1，2)(1，-3)(-3，-7) 练习八:BCACBC(3，0)(0，1)(-6/7，9/7)y=x+3s=264-24t-2-1y=x-3y=1/3x-1/358240 练习九:CBBDCC-19/2y=3x+51433三y=-x-1一、二、四减小xy8x=2，y=7(自己用大括号)512021 练习十：ADDB9520310188.1993m+73n+7 练习十一:ADBBCDCB2-2325/84(4，-3)y=-5/2xx=-1，y=2(自己用大括号)9±64 【篇二】

一.帮你学习 (1)-1(2)B 二.双基导航 1-5CCDAB (6)1;-6;7(7)k≤2(8)①③(9)3/4(10) (11)解：设应降价x元. (40-x)(20+2x)=1200 解得x1=10(舍去) x2=20 ∵为了尽快减少库存

人教版九年级上册数学公式

第二十一章二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0,b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章一元二次方程 1、等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、解一元二次方程的方法：（1）直接开方法：如果方程能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ±或mx+n=p ± （2）配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2=h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。（3）公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相

人教版初中九年级下数学知识点总结

初中数学知识点总结（精华）第一章有理数 1、有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 . 4、.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???

初三九年级数学上册数学压轴题试题(WORD版含答案)

初三九年级数学上册数学压轴题试题（WORD版含答案）一、压轴题 1．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值． 2．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；（2）求证：BA⊥AC；（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由． 3．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长． 4．已知：如图1，在 O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点 E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）． ①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣ 1 3 x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值．（2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

人教版数学九年级下册知识点

人教版数学九年级下册第二十六章二次函数 (1) 26．1二次函数及其图像 (1) 26．2用函数观点看一元二次方程 (6) 26．3实际问题与二次函数 (6) 第二十七章相似 (6) 27．1图形的相似 (6) 27．2相似三角形 (7) 27．3位似 (7) 第二十八章锐角三角函数 (8) 28．1锐角三角函数 (8) 28．2解直角三角形 (10) 第二十九章投影与视图 (12) 29．1 投影 (12) 29．2 三视图 (12) 第二十六章二次函数 26．1二次函数及其图像二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式

y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图）求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

数学人教版九年级上册初中数学

新人教版初中数学九上圆周角教学设计一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。三、问题诊断分析教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。四、教学支持条件设计教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。

人教版初中九年级数学模拟试题(含答案) (30)

中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列图形为正多边形的是（） A．B．C．D． 2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A．+3B．﹣3C．﹣D．+ 3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（） A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（） A．+x≤5B．+x≥5C．≤5D．+x＝5 5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（） A．30°B．25°C．20°D．15° 6．（3分）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（） A．1B．2C．3D．4

7．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB 8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣5 9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（） A．10B．6C．3D．2 10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B． C．D． 11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类

新人教版九年级下册数学全册教案

第25章：概率统计 25.1.1随机事件(第一课时) 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。重点：随机事件的特点难点：对生活中的随机事件作出准确判断教学程序设计一、创设情境，引入课题 1．问题情境下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】

二、引导两个活动，自主探索新知活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件，它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？【设计意图：随机事件对学生来说是陌生的，它不同于其他数学概念，因此要理解随机事件的含义，由学生来描述随机事件的概念，进行活动2很有必要，便于学生透过随机事件的表象，概括出随机事件的本质特性，从而自主描述随机事件这一概念】提出问题，探索概念（1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？（2）怎样的事件称为随机事件呢？【设计意图：教师让学生充分发表意见，相互补充，相互交流，然后引导学生建构随机事件的定义，充分发挥学生的主观能动性。】三、应用练习，巩固新知练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。（1）两直线平行，内错角相等；（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录；（3）打靶命中靶心；（4）掷一次骰子，向上一面是3点；（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球

数学人教版九年级上册课后练习答案

参考答案 1.已知二次函数y=x 2－6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．解：∵4 364-m =1,∴m=10. 答案：10 2.抛物线y=2 1x 2－6x+21，当x=_________，y 最大=____________．解析：由公式求得顶点坐标来解决．y= 21x 2－6x+21，得x=aa b -=6，y=a b a c 442 -=3.故当x=6时，y 最大=3．答案：6 3 3.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t －2 1gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h 与t 的函数图象. （1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？图26－3－1－1 解：（1）由图象知抛物线顶点为（3，45）且经过（0，0）、（6，0），

把（6，0）、（3，45）代入h=v 0t －21gt 2得，??? ????=?-=?-,459213,03621600g v g v 解得?? ?==.10,300g v ∴h=－5t 2+30t ．（2）当h=25时，－5t 2+30t=25， ∴t 2－6t+5=0． ∴t 1=1，t 2=5，即经过1秒和5秒后，物体在离抛出点25米高处 4.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．解：设应提高售价x 元，利润为y 元．依题意得 y=(10－8+x)(100－10×5 .0x )，即y=－20(x －2 3)2+245，a=－20<0，所以 y 有最大值．当x=1.5，即售价为10+1．5=11.5时，y 有最大值为245元． 5.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y （吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2. （1）求出销售量y （吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W （万元），请写出W 与x 之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？解：（1）设所求的一次函数为y=kx+b,由题意得

人教版初中数学九年级(全册)教案

22.1一元二次方程(教案）教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理，得 350752=+-x x

问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？分析:全部比赛共4×7=28场设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 ______________场. 得方程____________________________ 整理，得【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面两个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【设计意图】 0350752 =+-x x 56 2 =-x x 562=- x x

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