利用均值不等式证明不等式
1，利用均值不等式证明不等式
（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记
12111n n
n H a a a =
++???+
n G =
12n
n a a a A n ++???=
n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：
n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。
先证n n A G ≥
证法一：.n n A G ≥用数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
1.k
k k k
A G ≥≥假设：n=k 2时成立,即有：
11111
111k k k k k k k k k k k k k k k k
A A A G G G A G ++++++++≥?≥n=k+1时：只需证：
12n a a a ≤≤≤ 不妨设：0<
1
1
1
1
1
1111
1=11
k k k k k k
i i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+??
??
?? ? ?
? ? ?
?=+-++ ? ? ? ? ?
???????
∑∑∑∑1
1
01
1
111
11
1
k k
k
k
k k
i
i i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++?????? ? ? ? ? ? ?≥+-+ ? ? ? ? ? ??
?
??
??
∑∑∑∑ 1111
111(1)(11).1k
k
k
k k
k
i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++???
??? ?
? ?
? ? ?=+-+-==+ ?
? ? ? ? ??
?
????
∑∑∑∑ 111
11.1k k k k k k k k k
A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。
.
n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈k
k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：
++++1
+1
1
++
=
=.i
i
i i i
i a
a
a A G ===≥
≥=∑∑∑k 1
k
k 1
k k 1k 12222k
k
2k 1
222
2
2
2
+,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。 +t N ≥∈假设n=t+13（）时成立。则n=t 时有：
1
t t
t tA G G t +=≥=
+
t t A G n t ≥=化简即得：，即时亦成立。所以原不等式成立。 证法三：12n a a a ≤≤≤ 不妨设：0<
1
1,0.k
i
i k k k a
b b b k
=-=
≥>∑令：则有：
1211
111111()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b kb -----------=-+++≥-
11
1111
[(1)](1).k
k k k k
k k k k k k k b b b kb k b kb k b b ------≥--≥--即：，亦即：
111(1).(2),.k k k kb k b a n k b a ---=≥≥=且：
11112211[(1)]k n
n n
n
n n
k n
n
k k k n
k k k k k b A b b b kb k b a G b --===-==≥--==∏∏∏ 12n ===.n n G A a a a ∴≤ 等号成立当且仅当:
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：
（1）
()1
3a a b b
+
≥-，(0)a b >>
（2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z >
证明（1）()1a a b b +
-()()
1
a b b a b b =-++
-
3≥=
当且仅当()1
0a b b a b b
-==
>-，即2,1a b ==取等号。
证明（2()()
log 1log 12n n n n -++<
()2211
log 1log 122
n n n n =
-<= ∴()()log 1log 11,2
n n n n n -+<>
证明（3）4422
2x y x y +≥=，同理44222z y z y +≥
44222z x z x +≥，三式相加得444222222x y y x y y z z x ++≥++
另一方面22222
2x y y z xy z +≥=，
同理222222x y x z yx z +≥=，222222x z y z yz x +≥= 三式相加得222222x y y z z x ++()xyz x y z ≥++
说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。（3）中累加的方法是常用的处理手段。
例2：若,,a b c R +∈且1a b c ++=
证明：左边3≤==例3：已知12,,n a a a ???是正数，满足121n a a a ????= 求证：()()()122223n
n a a a ++???+≥（89年联赛试题）
证明：11211a a +=++≥22a +≥
2n a +≥，将以上式子相乘即得证。
例4：n N ∈，求证：
11111231
n n n ++???+>+++ 证明：由2121n n A H ++≥有
1111231
n n n ++???++++ ()()()()()()22
2
21211123121n n n n n n ++≥=
=++++???++
显然上式不可能取等号，故原不等式成立。
说明：注意到n H 的表达式的结构特点，当一些正数的倒数和易于化简时，应考虑含n H 的均值不等式。
例5：若,,m n N m n ∈<，求证：1111m n
m n ????
+<+ ? ?????
证明：由n n G A ≤有1111111m
m
n m m m -???
?+=+????? ? ????? 个1
1111n
n
m n m m n n ??
??+?+- ??????
???≤=+ ???
??????
∵ 1
11m
+
≠，∴上式不可能取等号。 故原不等式得证。
例6：设12,,n a a a ???是1，2，…n 的一个排列，求证：
12123n n -++???+≤11223n n
a a a a a a -++???+ 证明：∵12,,n a a a ???是1，2，…n 的一个排列
∴()()()()()()121111112111n a a a n -++???+≥++???-+
12n a a a =???
于是
112
23n n
a a a a a a -++???++11112n ++???+
=
11223n n a a a a a a -++???+12111
n a a a +++???+ 112123111n n
a a a a a a a -++=
+++???+
n
≥
而1112n n ?
?=+
+???+ ???12123n n -??+++???+ ???
所以
12123n n -++???+≤11223n n
a a a a a a -++???+ 说明：由于不等式的左边值的估计较为不便，且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了，所以本题采用在两边均加上111
12n
+
+???+的变形处理。 例7：设a,b,c
为正实数，求证：(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+
证明：(1)(1)(1)2a b c a b c a b c
b c a b c a c a b
+++=+
+++++
()()()1a a a b b b c c c
b c a b c a b c a
=++++++++-
1≥
1312(1=
-≥+-=
，构造均值定理是本题的关键。
例8： ,,a b c R +
∈,求证: 2223()()()
a bc
b ca
c ab a b c b c a c a b +++++≥+++
证明 左边=222(1)(1)(1)3()()()
a bc
b ca
c ab
a b c b c a c a b ++++++++-+++
()()()()()()3()()()
a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ++++++=
++-+++
3≥
3=
3≥
3233=?-=.
注:本题多次利用了均值不等式
本题也可以由2()a bc c ca
a b c a b ab bc +=++++∑∑∑
,再处理. 例9：已知,,,+∈R c b a 求证：
.4
3
)()()(33223223
22≥+++++b a c a c b c b a
分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。
证明：
3
)
()(22)
)((22)(22)
(3
3
3
3
2
33
2
2
c b c b a a
c b c b a a
c b a a
c b a ++++≥
++?=
+=+
c
b a a ++?=
3
43 ① 同理可得
c b a b
a c
b ++?≥+3
3
224
3)( ② c
b a c
b a
c ++?≥+33
2243)( ③
将①、②、③三个零件不等式相加，得
33223223
224
3
)()()(≥+++++b a c a c b c b a
注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”
①、②、③。
例10：如图△ABC 及其内接△DEF 分原三角形所得△AEF 、△BDF 、△CDE 中，至少有一个三角形的面
积不大于原△ABC 面积的（这里所指△ABC 的内接三角形DEF ，是顶点D 、E 、F 分别在△ABC 三条边上的三角形）
证明：如图，设△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，且AE=e ，AF=f ，BD=m ，BF=n ，DC=p ，EC=q ，逆用公式
，并注意到
,于是有
，
，
， 更注意到
若S △CDE 、S △AEF 、S △BDF 皆大于S △ABC 的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少
有一个不大于
类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。
例11：已知0,1,2,i m i n >=???，1p ≥，11
11n
p
i i
m ==+∑， 求证：()121n p
n m m m n ???≥-
证明：令11i p
i x m =+，则1p
i i i x m x -=，且1
1n
i i x ==∑ ∴12111i i i n x x x x x x -+-=++???+++???+
(
)1n ≥-∴()()()121212111n p
p
p
n n
x x x m m m x x x --???-???=
???
()121n
n
n ≥
=-
∴()121n p
n m m m n ???≥-
说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,,a b c R +
∈，求证：n
n
n
p q r
q r
p
r
p q
a b c a b c a b c a b c ++≥++，其中,,,n N p q r ∈都
是非负整数，且p q r n ++=
分析与解：欲证的不等式涉及到的量较多，为此先考察特殊情形：2,1,0p q r ===，即先证明
()3332221a b c a b b c c a ++≥++ ，该不等式关于,,a b c 轮换对称，不妨设a b c ≥≥，则左－右()()()322a a b b b c c c a =-+-+-
()()()2
2
2a
a b b b c c
c b b a =-+-+-+-
()()()()22
2
20a c
a b b c b c =--+--≥，故()1式成立
进一步分析发现，()1式本身无助于原不等式的证明，其证明方法也不能推广到原不等式，故需重新考虑()1式的具有启发原不等式证明的其它证法。
考虑常用不等式证明的方法发现，()1式可以利用“均值不等式”或证，即
33333
2
2
33
a a
b a b
a b a a b
+++
==≤=
同理：
3333
22
22
,
33
b c c a
b c c a
++
≤≤以上三个式相加即得()1式。
运用此法再考虑原一般问题就简单多了，仿上，
n n n
p q r
pa qb rc
a b c
n
++
=
n n n
q r p
qa rb pc
a b c
n
++
=≤
n n n
r p q
ra pb qc
a b c
n
++
=≤
以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角,,
αβγ满足222
cos cos cos1
αβγ
++=
，求证：tan tan tan
αβγ≥
分析与解：由已知222
cos cos cos1
αβγ
++=，立即联想到长方体得对角线公式：
2222
a b c l
++=，令cos,cos,cos
a b c
l l l
αβγ
===
，l=
以,,
a b c
为棱构造长方体，则易知：tanα=≥，
同理：tanβ=≥
，tanγ=≥
tan tan tan
abc
αβγ
∴≥=
上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径，那么，从结论不等式中观察到什么呢？由
3
tan tan tan
αβγ≥=，即是三个不等式相乘的结果，就可以再变化为
：
3
sin sin sin cos cos cos
αβγαβγ
≥，这样也无需构造长方体模型，而采用下面的证法：由222
cos cos cos1
αβγ
++=，知
2222
sin1cos cos cos2cos cos
ααβγβγ
=-=+≥
,,αβγ 都是锐角，sin α∴≥
同理：sin β∴sin γ 将上面三个不等式两边分别相乘，即得待证不等式 通过上例的求解分析过程，我们可以看到问题的本质.
例14： 设x R ∈，求证：2
223()(23)(23) 6.x x f x x x x x +=+++++≥ 证明 令1t x =+，则22(1)22()()(2)(2).t t g t f x t t -+==+++ 分两种情形：
（1）2t ≤-时，2(1)9t -≥. ∴2
2(1)9()(2)26;t g t t -≥+≥> （2）2t >-时，20t +>.
2
21
2()22t
t t g t -++∴≥+
12222t t -+≥+2211222222t t t t t t
=++++
+
≥ 6.= 点评 注意到(1)6f -=，故先作代换1t x =+，使()f x 的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意0t =时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。
例15：设,,,a b c d 为正实数，且满足ab bc cd da +++=1
求证：
3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++1
3
证明：由均值不等式得：
311812a b c d b c d ++++≥++2a = 从而
31
21812a a b c d b c d ++≥--++ 同理
31
21812b b a c d a c d ++≥--++ 31
21812
c c a b
d a b d ++≥--++
31
21812
d d a b c a b c ++≥--++
各式相加得3333a b c d b c d a c d b a d b c a
+++≥++++++++1
3a b c d +++-
又由题设ab bc cd da +++=()()1a c b d ++=得
1
2a b c d a c a c
+++=++
≥+代入上式即得。 说明：本题充分利用了等号成立的条件是“12
a b c d ====
” 进行代数式的变形，借助ab bc cd da +++=1进行消元，使问题得以解决。 所以,不等式得证.
例16： 设,+∈R c b a 、、且=++222c b a 1.
求证：3)
(2111333222+++≥
++abc c b a c b a 证明：3)
(2111333222+++≥
++abc c b a c b a abc c b a c c b b a a )
(211133322222
2++≥-+-+-? +-+++-++?22
22222222)()(b b c b a a a c b a
abc c b a c c c b a )
(2)(3332
2222++≥-++ 2
2
2222222c b a b c a a c b +++++?
abc
c b a )(2333++≥ ①
++++?)()(22222222c a c a c b c b ).(2)(3332222c b a abc b a b a ++≥+ 由均值不等式得
c ab a b c b a b c b 42424242422=?≥+， 44242424222abc c a c b c a c b =?≥+， bc a b a c a b a c a 42424242422=?≥+. 将以上三个不等式相加得
)(2)()()(333222222222222c b a abc b a b a c a c a c b c b ++≥+++++
因此，所证不等式成立。
注：本题待证的不等式为非齐次不等式，先利用条件“2221c b a ++=”，将其转化为齐次不等式①，再利用均值不等式使问题获解。
例:17： 设a 、b 、c 、d 为正数，且1))()()((=++++a d d c c b b a
求证：.16
1
))(2)(2)(2)(2(2≤
++++++++abcd b a d a d c d c b c b a 分析：本题属于非齐次不等式，且次数较高，处理此题的切入点，还是利用已知等式将其齐次化。
证明：由均值不等式
∏∑???
???++≤++4
)2(41)2(c b a c b a
4)(d c b a +++=，
故只须证,16
1
)()(24≤
+++abcd d c b a 即须证 24)()(abcd d c b a +++
3)])()()([(16
1
a d d c c
b b a ++++≤
3
11111111??
??????? ??+??? ??+??? ??+??? ??+?a d d c c b b a .1111
164
??? ??+++≥dab cda bcd abc ①
令
,1
,1,1,1v d
z c y b x a ==== 于是， 式①3)])()()([(x v v z z y y x ++++?
.)(164zxv yzv xyv xyz +++≥ ② 下面证明式②.
2)(4xzv yzv xyv xyz +++ 2)]()([4y z zv v z xy +++=
2)](2
)(2[4y x v
z zv v z y x xy ++?+++?
≤ ).2()()(22xyzv zv xy y z y x ++++=
).)(()()(22x v z y v z y x ++++≤ ③ 同理，2)(4xyz xyv xzv yzv +++
).)(()()(22v z y x x v z y ++++≤ ④ 将式③，④相乘得
4)(16xyz xyv xzv yzv +++ .)])()()([(3v z y x x v z y ++++≤ 因此，所证不等式成立。
例18：设a,b,c 为正实数，求证：.
21217382423+-≥++-
++++++c b a c
c b a b c b a c a
分析 本题的难点是分母较复杂，可以尝试用代换的办法化简分母。
证 令??
?
??++=++=++=,3,2,2c b a z c b a y c b a x
则,,c y z c b y x =--=-由此可得
??
?
??-=-+=-=+y z c y x z b x y c a ,2,23 从而
c b a c
c b a c b a c a 3824623++-++++++
2
121732
28217844217)(8)2(42+-=++-≥++++-=--
-++-=z
y
y z y x x y z
y z y y x z x x y
不难算出，对任何正实数a ，只要
,)234(,)21(a c a b +=+=
就可取到上述的等号。
注 代换法（换元法）是常用的化简分母、去分母、去根号的一种方法。
19：对任意a,b,c ∈R +，证明：
（a 2+2）（b 2+2）（c 2+2）≥ 9（ab+bc+ca ）.
证明 原不等式?a 2 b 2 c 2 +2
22
a b
∑+4
2
a
∑+8 ≥ 9
ab ∑.
由抽屉原理，不妨设a 和b 同时大于等于1，或同时小于等于1。
则
c 2（a 2-1）（b 2-1）≥ 0
即
a 2
b 2
c 2+ c 2≥a 2 c 2+ b 2 c 2 ①
由均值不等式，有
22
32a b
ab +≥∑∑以及2a ∑≥ab ∑.
∴2
22
a b
∑+ 3
2
a
∑+ 6 ≥ 7
ab ∑. ②
又由①知2+ a 2 b 2 c 2+
2
a
∑=2+(a 2 b 2 c 2+2)c +2
2
a b +
≥ a 2 + b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 +2
= (a 2 + b 2 )+ (a 2c 2 +1)+( b 2c 2 +1) ≥2a b+2ac+2bc
∴2+ a 2 b 2 c 2+
2a ∑≥2a b+2ac+2bc . ③
①+③得a 2 b 2 c 2 +2
22
a b
∑+4
2
a
∑+8 ≥ 9
ab ∑.
即原不等式成立。
评注 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式，结合算术－几何平均值不等式给出了一个很精巧的证明，本题也可以利用柯西不等式与算术－几何平均值来证明。
练习题
1 ，若,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：
()()()
111
111a b b c c a ++
+++ 274≥,
证明：()()()()()()11131113111a b b c c a a b b c c a +++++????≤
++
+++
()()()111111a b b c c a ++
+++9
(1)(1)(1)
a b b c c a ≥+++++ ()()9a b c ab bc ca =
+++++()
9
1ab bc ca =+++
又()()
()2
2
2
2
32221ab bc ca a b c ab bc ca a b c ++≤+++++=++=
13ab bc ca ∴++≤
，故有()9927
11413
ab bc ca ≥=
++++ 所以不等式
()()()111
111a b b c c a ++
+++274
≥成立 2，若,0n N x +
∈>，求证：221
121
n n
x x x x n ≤+++++ 证明：2211112,2,,2n n n n n n n x x x x x x x x --++≥+≥+≥ ()2
2121n
n x x x
n x ∴++++≥+ ，
故有()221
12121
n n n n x x x x x n x n ≤=
++++++
3．设△ABC 内切圆半径为r ，
,求证：
证明：由于“形似”，我们联想到公式 a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ， 于是有
继续“联想”三角形面积公式及内切圆半径公式：
，及，
就有
21
()()()p p a p b p c r
=---
从而证明了本题。
4：证明△ABC 中，有以下关系成立：
证明：注意到余弦定理：
，
，
，
于是
即原命题成立
5：如图，P 是正△ABC 内一点，A ′、B ′、C ′分别是它在对应边上的射影。
求证：
证明：设PA′=x ，PB′=y ，PC′=z ，△ABC 底边上的高为h ，则x+y+z=h ，且
命题成立
6： 已知2
π
αβγ++=
，且,,αβγ均为锐角，求证：
证明
：
≤ = 又()tan tan tan tan 21tan tan παβγαβαβ+??
-=+=
?-??
， 即()tan tan cot 1tan tan αβγαβ+=-
那么()tan tan tan tan tan αβγαβ++
()tan tan tan cot 1tan tan 1αβγγα
β=+-=?
???
所以
==
≤成立 7：若
,,0a b c >，求证：()()()abc a b c b c a c a b ≥+-+-+-
证明：∵,,a b c b c a c a b +-+-+-中任意二数之和为正，
∴,,a b c b c a c a b +-+-+-中至多有一个非正，若,,a b c b c a c a b +-+-+-有一个数非正，结论显然成立。
若,,a b c b c a c a b +-+-+-均为正，则
()()
2
a b c c a b
a
+-++-
≤=
b
c
≤
三式相乘即得证。
说明：应用基本不等式和不等式的基本性质推证不等式时应注意这些结论成立的条件。8：已知*
,,
a b c R
∈，求证：
333333
1111
a b abc c b abc a c abc abc
++≤
++++++
（1997年第26届美国数学奥林匹克竞赛试题）
证明()()
3322
a b abc a b a b ab abc
++=++-+，又∵222
a b ab
+≥
∴22
a b ab ab
+-≥，∴()
33
a b abc a b ab abc
++≥++()
ab a b c
=++
同理()
33
b c abc bc a b c
++≥++，()
33
a c abc ac a
b c
++≥++
333333
111
a b abc c b abc a c abc
++
++++++
()
1
ab a b c
≤
++()
1
bc a b c
+
++()
1
ac a b c
+
++
11111
a b c ab bc ca abc
??
=++=
?
++??
例1：已知：,,
a b c是三角形的三边，求证：3
a b c
b c a c a b a b c
++≥
+-+-+-
证明：令,
b c a x c a b y
+-=+-=，a b c z
+-=，则0,0,0
x y z
>>>
且,,
222
y z z x x y
a b c
+++
===，则原不等式等价于
3
222
y z z x x y
x y z
+++
++≥，左边拆开为六项，由均值不等式即证得。
9：若,,
a b c为?ABC的三边，1
k≥，求证：
()()()
3
21
a b c
k b c a k c a b k a b c k
++≥
+-+-+--
证明：令
()
()
()
x k b c a
y k c a b
z k a b c
=+-
?
?
=+-
?
?
=+-
?
则
()()()()()()()()()121112111211k x ky kz a k k k y kx kz b k k k z ky kx c k k ?-++=
?-+??-++?=?
-+?
?-++?=-+??
则所证不等式的左边为
()()()()()()()()()111211211211k x ky kz k y kx kz k z ky kx k k x k k y k k z
-++-++-++++-+-+-+
()()()1
31211y z z x x y k k k k x x y y z z ????=-++++++?? ?-+????
3
21
k ≥- 说明：换元法是常用的化简分母，去分母，去根号的一种方法。
10：已知,,x y z R +∈，1xyz =，且()11x z +>，()11y x +>，()11z y +> 求证：()11123x y z x y z
++≥
+++ 证明：令a x b =
，b y c =，c z a
=(),,a b c R +∈ 则()11x z +>，()11y x +>，()11z y +>变为
a c
b +>，a b
c +>，c b a +>，要证的不等式边为
23a b c b c a
b c a a b c
??++≥+++ ??? 等价于()
222222
23a c b a c b b c c a a b abc ++≥+++ （※）
注意到以,,a b c 为边长可以构成三角形，我们令
a m n
b n l
c l m =+??=+??=+?
(),,m n l R +
∈将其代入（※）即得： 333222222222l m n m n n l l m m l n m l n +++++≥++
由均值不等式得：3
2
2
2l n l l n +≥，3
2
2
2n m n n m +≥，3
2
2
2m l m m l +≥ 上述三式相加即得证不等式。 说明：对于条件1xyz =，常作代换a x b =
，b y c =，c z a
=
从而使非奇次不等式变为奇次不等式，另外，三角形三边常用的代换为：a m n b n l c l m =+??
=+??=+?
。
11：已知,,x y z R +∈，1xyz =，求证1111111x y z y z x ??????
-+
-+-+≤ ?????????
?? （IMO ，2000） 证明：令a x b =
，b y c =，c z a
=(),,a b c R +
∈则原不等式变为 ()()()a b c b c a c a b abc -+-+-+≤，这样就变为我们熟悉的不等式题了。
12：设,,x y z 为正数，1xyz =求证：
()()3
11x y z +++()()311y x z +++
()()3
11z x y ++34
≥（第39届IMO 预选题） 证明：由均值不等式()()3
11x y z +++18
y ++18z
+34x ≥=
同理：()()3
11y x z +++18z ++
18x +34y ≥ ()()3
11z x y +++18
x ++18y +34z ≥ 所以()()3
11x y z +++()()311y x z +++()()
3
11z x y ++
()1324x y z ≥
++
-133244
≥?= 说明：根据等号成立的条件1x y z ===，进行了上述变形。 13：设,,a b c R +
∈，求证
1+
≥ （IMO ，2001）
证法1
434443
3
3
a
a b c
≥
++，
4
34443
3
3
a
a b c
≥
++
()
444112
3333
28a b c a a bc ?++≥+
()2
4442
2333
38a b c a a bc ???++≥+ ???
()()()8844433
333
222b c ab ac bc ?++++23
8a bc ≥
由平均值不等式可知，上式显然成立，同理可知：
4
34443
3
3
b
a b c
≥
++
434443
3
3
c
a b c
≥
++
把以上三式相加，就可得所证不等式成立。 说明：对于形如
()
()1212,,,,n n
f a a a A
g a a a ???≥???∑()A ≤或的轮换不等式，根据不等式的特征，可够造如下不等式：
()1212,,t
i i n t
t t
n
a h a a a A a a a ???≥++???或 ()1212,,t
i i n t
t t
n
a h a a a A a a a ???≤++???的一系列不等式，1,2,i n =???，其中的t 可以用待定系数法求出。 证法2
：令
x =
y =
z =
则(),,0,1x y z ∈，
22181bc x a -=，22
181ac y b -=，22181ab z c -= 故211x ??-
???211y ??- ???211z
??
- ???=512 如果1x y z ++<，则
211x ??- ???211y ??- ???211z
??- ???=()()()
222
222
111x y z
x y z --- ()()()222222222
x y z x x y z y x y z z x y z
??????
++-++-++-??????>
()()()()()()222
222y z x y z x z x y z x y x y z x y z +++++++++=
≥=512 矛盾，故1x y z ++≥，即原命题成立。
14： 已知正数()1,2,3,,,2i m R i n p +∈=≥ 且p N *∈，并满足
12111
1111p p p
n
m m m +++=+++ ，求证：()121n
p n m m m n ≥- 证明：令2tan ,0,
2p i i i m παα??=∈ ???
，由已知条件应有：222
12cos cos cos 1n ααα+++= 于是22222121cos cos cos 1cos sin n n n ααααα-+++=-=
22222212211cos cos cos cos 1cos sin n n n n αααααα---++++=-=
222222311cos cos cos 1cos sin n ααααα+++=-=
把以上诸式利用均值不等式，得：
(
)21sin n n α-
(
)2
11sin n n α--≤
(
)2
11sin n α-
再把上述n 个不等式两边相乘，得：
()2222222
1211cos cos cos sin sin sin n
n n n αααααα??-≤?? 即()222
12tan tan tan 1n
n n ααα≥- ，由于2tan ,1,2,,p i i m i n α==
故有()121n p
n m m m n ≥-
单调性与几个重要不等式
单调性与几个重要不等式 [摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。 [关键词] 单调性詹生(Jensen)不等式杨氏不等式Holder不等式不等式 [Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality, andInequality. [Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder InequalityInequality 在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。 引理1:设在区间有可导,且,,则。 引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立 (1) 证无妨设, 对任意取定的,令 则 当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即 。 在引理2的条件下,假设 ,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即 且等号仅在时成立。 证明:由引理2有
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
考研数学：如何用单调性与凹凸性证明不等式
考研数学：如何用单调性和凹凸性证明不等式 纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面分析高等数学中如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题。 用单调性和凹凸性证明不等式的基本思路： 大部分不等式的证明题，往往需要根据条件作辅助函数，然后由导数判断函数的单调性、凹凸性，再由单调性、凹凸性得出要证的不等式。 根据单调性证明： 若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()(),()()f a g a f x g x ''≥≥，则在(,)a b 上，()()f x g x ≥；若将上面的“≥”都改成“>”（或“≤”，或“<”），则不等式亦成立。 根据凹凸性证明： 若在区间I 上()<0f x ''，则()f x 是凸函数，12,x x I ?∈，恒有1212()()( )22x x f x f x f ++> ；对凹函数则相反，若()0f x ''>，则1212()()( )<22x x f x f x f ++ 。 典型例题： 例1.设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''>，证明：对于(,)a b 内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 证：不妨设12x x <，令11()(1)()()[(1)]g x t f x tf x f t x tx =-+--+，12x x x ≤≤，记1(1)u t x t x =-+，则 1()0g x =，()()()()()0,g x tf x tf u tf x u u x ξξ'''''=-=-≥<<，故()g x 单调不减，于是1()()0g x g x ≥=，取2x x =，得2()0g x ≥，1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 注：1）此题是用单调性证明凹函数的一个重要特性。 2）此题结论的几何意义：凹函数图形上任意两点之间的连线都在其图形之上。
利用均值不等式证明不等式
1，利用均值不等式证明不等式 （1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记 12111n n n H a a a = ++???+ n G = 12n n a a a A n ++???= n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系： n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n A n =当n=k+1n a ≤≤ 1 111= i k i k a A +==+ +∑∑ 111 111(1)(11).1k i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k ====++? ? ? ? ? ? ?=+-+-==+ ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ∑ 1111 1.1k k k k k k k k k A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。 . n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。 ++k N ∈k k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时： ++++1 +1 1 ++ = =.i i i i i i a a a A G ===≥ ≥=∑∑∑k 1 k k 1 k k 1k 12222k k 2k 1 222 2 2 2 +,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。 假设1 t t tA G t ++证法三：0.k b = >令： 111)k k k k k k b b b ----+ +≥11 k k k k b b --即：k kb 且：11112211[(1)]n n n k n n k k k n k k k k k A b b b kb k b a G b --===-==≥--== 12n ===.n n G A a a a ∴≤等号成立当且仅当: 上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。 例1：求证下列不等式： （1） ()1 3a a b b + ≥-，(0)a b >>
利用函数单调性证明积分不等式(修改)
利用函数单调性证明积分不等式 黄道增 浙江省台州学院 （浙江 317000） 摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 关键词：函数单调性 积分不等式 辅助函数 中图分类号 O172.2 积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 1 利用被积函数的单调性 证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f b a b a ??≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数， 证明：对于10<<<βα，有?? >βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得： 若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥ 所以)()()(00αααα αf dx f dx x f =≥?? （1） 同理有 )()()()(ααβαβαβ αf dx f dx x f -=≤?? （2） 由（1）（2）得： dx x f f dx x f ??-≥≥β αα αβαα)(1)()(10 （3） 将（3）式两边同乘以β αβα)(-，有 dx x f dx x f ??≥-βαα βαβα β)()(0 因为1<-β αβ，所以??>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x ??-≥-1021021sin 1cos . 分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换x t arccos =与
证明n元均值不等式
学习好资料 欢迎下载 证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明： 首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。 显然，12122a a a a +≥， 又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?， 同理可以证明得到n 2也成立。 再证明，当k k+1n 22∈（，） 也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
常用均值不等式及证明证明
常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤≤n + ∈R n a a a 21、、、Λ，当且仅当n a a a 21===Λ时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有ab 2b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)， ab 20b ,a 22>> (4)对实数a,b ，有 ()()b a b b a --a ≥ (5)对非负实数a,b ，有 02a 22≥≥+ab b
(8)对实数a,b,c ，有 ac bc ab c b a 222++≥++ (10)对实数a,b,c ，有 3 3 a abc c b ≥++ 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、 柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A ≥0，B ≥0，则()()B n n nA A B A 1-n +≥+ 注：引理的正确性较明显，条件A ≥0，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0 当n=2时易证； 假设当n=k 时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设 1 a +k 是 1 21a ,,a ,a +k Λ中最大者，则 1211k ka +++++≥k a a a Λ 设 k a a a +++=Λ21s 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数()n x x x x f ,,,,21Λ是函数()x f 在区间(a,b) 内的任意n 个点，
均值不等式的证明方法
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
均值不等式的证明(精选多篇)
均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有
a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f
?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4
利用单调性解不等式
运用函数单调性与奇偶性解不等式 1．已知奇函数)(x f 在[-1，1]上为减函数，解不等式0 12 >-+）（）（x f x f 2、已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在区间[2,0]-内单调递减，求满足 2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围． 解：∵()f x 的定义域为[2,2]-，∴有2 212 212 m m -≤-≤?? -≤-≤?，解得1m -≤≤① 由2 (1)(1)0f m f m -+-<∴2 (1)(1)f m f m -<-- 又由()f x 为奇函数，得2 2 (1)(1)f m f m --=- ∴2 (1)(1)f m f m -<-，又()f x 为奇函数，且在[2,0]-上单调递减， ∴()f x 在[2,2]-上单调递减． ∴2 11m m ->-. 即21m -<< ② 综合①②，可知11m -≤<. 3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是 4、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是. )3,1(-. 5、函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求不等式 102f x ? ?-< ?? ?的解集。 6、设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0 的解集是______ 7、设f （x ）设为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （-3）=0，则不等式xf （x ）＜0 的解集为______．
(完整版)常用均值不等式及证明证明
2 常用均值不等式及证明证明 Hn n 概念： 1、调和平均数： 1 1 1 a 1 a 2 a n 2、几何平均数： Gn a 1 a 2 1 a n n 3 、算术平均数： An a 〔 a ? a n n 4 、平方平均数： Qn 2 2 a 1 a 2 2 a n n 这四种平均数满足 Hn Gn An Qn 1 r 0 时)； D x a i a ； a n n (当 r 0 时)(即 i D 0 a i a ； a n n 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情 形，即 D(-1) w D(0) w D(1) w D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 2 、ab 1 1 a b 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab 对非负实数a,b ，有a a 1> a 2、 、a n R ，当且仅当 a 1 a 2 a n 时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数 D x a i r a ； a n a b a 2 b 2 2 \ 2
⑶ 对负实数a,b ，有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ，有 a a - b b a - b 2 2 ⑸ 对非负实数a,b ，有 a b 2ab 0 均值不等式的证明: 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳） 、拉格朗日乘数 法、琴生不等式 法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注：引理的正确性较明显，条件 A > 0, B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0 （用数学归纳法）。 当n=2时易证; 假设当n=k 时命题成立，即 ⑹ 2 . 2 对实数a,b ，有a b a b 2 2 ⑺ 2 对实数a,b,c ，有a b 2 2 c (8) 2 对实数a,b,c ，有 a b 2 c 2 (9) 2 对非负数a,b ，有a ab b 2 a b c (i0) 对实数a,b,c ，有 3 2ab abc 2 ab bc ac 3a b 2 3 abc 原题等价于: n a n a i a 2 a n k a k a i a 2 a k 那么当n=k+i 时，不妨设 a k i 是a i , a 2, ,a k i 中最大者， 则 ka k i a k 1 设 s a i a 2 a k
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
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