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高中数学第二章平面向量综合测试卷B卷新人教A版必修4

第二章平面向量

（B 卷）

（测试时间：120分钟满分：150分）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列命题中正确命题个数为（）

①a b b a ?=?v v v v

②0,00a b a b ?=≠?=v v v v v v

③a b b c ?=?v v v v

且0,0,a b ≠≠v v v

则a c =v v

④0,0,0,a b c ≠≠≠v v v v

v v 则(

)

()

a b c a b c ??=??v v v v

v v

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 【答案】B

2.在平行四边形ABCD 中，4,3,3

AB AD DAB π

==∠=

，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r

，

则AE BF ?u u u r u u u r

=（）

A.83-

B. 1-

C. 2

D. 103

【答案】C

【解析】2233AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,1122

BF BC CF BC CD AD AB =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

,所以

222112232233AE BF AB AD AD AB AB AD AB AD ?????=+?-=-++? ? ?????

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r

221221

434322332

=-?+?+???=，故选C.

3.ABC ?是边长为1的等边三角形,已知向量a r ,b r

满足AB a b =+u u u r r r ,AC a b =-u u u r r r ,则下列结论错误的是

（）

A ．32a =r

B ．12b =r

C ．()

a b a +?=-r r r

D ．a b ⊥r r

【答案】C

【解析】;2

,1,2=

∴===-b CB CB b AC AB Θ设边BC 的中点为D b a BC AD a AD AD a AC AB ⊥∴⊥==

==+,;23,22Θ

)(2==?+b b b a ,故选C. 4.在ABC ?中，若AB AC AB AC +=-uu u r uuu r uu u r uuu r

，F E AC AB ,,4,2==分别为BC AB ,的中点，

则=?AF CE （） A ．9 B ．9- C ．7 D ．7- 【答案】D

【解析】∵AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴0=?AC AB ，∴11()()22

CE AF AB AC AB AC ?=-?+u u u r u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r

2211()22AB AC =?-u u u r u u u r 2211

(24)722

=?-=-，故选D.亦可用坐标法. 5.【2018届广东省阳春市第一中学高三上第三次月考】若向量,a b v

v 的夹角为3

π，且2a =v ， 1b =v ，则

向量a v

与向量2a b +v v 的夹角为（）

6π B. 3π C. 23π D. 56

π 【答案】A

6.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →

→

=，则AB AC →

→

?的最小值为（）

A ．14-

B ．12-

C ．3

4- D ．1-

【答案】B

【解析】可在直角坐标系中，以原点为圆心作单位圆，令点)01(，

-A ，点C B ,为动点，由AB AC →→

=可知C B ,的坐标关于横轴对称，所以可假设),(),,(y x C y x B -，其中y x ,满足1122-≠=+x y x 且，则

)1(),1(y x AC y x AB -+=+=，，，所以222211

(1)222()22

AB AC x y x x x ?=+-=+=+-u u u r u u u r ，可见当

1-=x 时，AB AC →→?可以取得最小值21

-，故本题的正确选项为B.

7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使

EF DE 2=，则BC AF ?的值为（）

（A ）8

（B ）

1 （C ）

1 （D ）

811

【答案】B

8.【2018届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】已知点为

内一点，且满足

，

设与的面积分别为，则（）

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】延长OC 到D ，使OD=4OC ，延长CO 交AB 与E ，∵O 为△ABC 内一点，且满足

，

∴O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，

∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，

∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2 所以

故选B

9.【2018届陕西省榆林市第二中学高三上期中】如图，已知平行四边形中，，，为

线段

的中点，

，则

（）

B. 2

D. 1

【答案】D 【解析】由题意得，

∵, ∴

, ∴

∵，

∴，

∴

。选D 。

10.在ABC ?中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =u u u r u u u r

，点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合），若(1)AO xAB x AC =+-u u u r u u u r u u u r

，则x 的取值范围是（）

A ．1(0,)3

B ．1(0,)2

C ．1(,0)3-

D ．1(,0)2

- 【答案】C

【解析】由题意得，AO AC CO =+u u u r u u u r u u u r

，O 在线段CD 上且不与端点重合，所以存在,(01)k k <<，使CO kCD =u u u r u u u r ，又3BC CD =u u u r u u u r ，所以11()33

CD BC AC AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r

,所以

()(1)333k k k AO AC AC AB AB AC =+-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又(1)AO xAB x AC =+-u u u r u u u r u u u r ，所以3

x =-，所以

x -<<，故选C ． 11．已知向量满足，

，

，则与的夹角为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B.

【解析】由题意得，2(2)02a b a a a b -?=?=?r r r r r r ，2(2)02b a b b a b -?=?=?r r r r r r

，

∴22||||a b a b =?=r r r r ，设a r ，b r 夹角为θ，∴221

2||2||||cos cos 2

a a

b a a b θθ=??=???=r r r r r r ，

∴3

θ=

，故选B ．

12.已知菱形ABCD 边长为2，3

B π

∠=，点P 满足AP AB λ=u u u r u u u r ，λ∈R ．若3BD CP ?=-u u u r u u u r ，则λ的值为

（） A ．

12 B ．12- C ．13 D ． 1

【答案】A

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量(1,2),(,1),(3,2)a b m c =-=-=-v v v ，若()a b c -⊥v v v

，则m 的值是________．

【答案】3-

【解析】(1,3),()()0a b m a b c a b c -=---⊥?-?=r r

v v

v v v

,即3(1)(2)30m ?--+-?=，解之得3m =-.

14.【2018届北京市海淀区高三上学期期中】已知向量a ()1,0=， b (),m n =，若b a -与a 平行，则n 的值为______. 【答案】0

【解析】∵a ()1,0=， b (),m n = ∴=1)001b a m n --?==?（ ∵b a -与a 平行 ∴1)01m n -?=?（ ∴0n =，故填0.

15.【2018届江西省抚州市临川区第一中学高三上期中】已知()2sin13,2sin77a =??v

， 1a b -=v

v ， a v

与

a b -v v 的夹角为3

π，则a b ?v

v =__________．

【答案】3

【解析】化简()()2sin13,2sin77213,213a sin cos =??=??v ,可得2a =v ，又因为1

a b -=v

v ，

a v 与a

b -v v

的夹角为3π，所以12a a b a a b

-=-v v v v v v 。（），可得.41a a b a b -=-?=v v v v v ,解得a b ?v v 3=，故答案为3 .

16.在ABC Rt ?中，2,4==AC AB ，点P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，点O 为ABC ?的外心，则

AO AP ?的值为_____.

【答案】6

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题10分）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为

E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r

. （1）试用,,a b c r r r 表示向量,EL FM GN u u u r u u u u r u u u r

、

；（2）证明线段EL FM GN 、、交于一点且互相平分.

【答案】（1）()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-u u u r r u u u r r r u u u r u u u r u u u r r r r ，()

FM a c b =+-u u u u r r r r

，

()

GN a b c =+-u u u r r r r

；

（2）证明见解析. 【解析】

（1） ()()

111,,222

OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-u u u r r u u u r r r u u u r u u u r u u u r r r r ，

()()

11,22

FM a c b GN a b c =+-=+-u u u u r r r r u u u r r r r .

（2）证明：设线段EL 的中点为1P ，则()()

11124

OP OE OL a b c =

+=++u u u r u u u r u u u r r r r

，设FM GN 、中点分别为23,P P ，

同理：()214OP a b c =++u u u r r r r ，()

314

OP a b c =++u u u r r r r

，

∴123=OP OP OP =u u u r u u u r u u u r ，即其交于一点且互相平分.

18．（本小题12分）设两个非零向量1e u r 与2e u u r

不共线.

①如果12AB e e =+u u u r u r u u r ,1228BC e e =+u u u r u r u u r ,()

123CD e e =-u u u r u r u u r

,求证：A 、B 、D 三点共线；

②试确定实数k 的值，使12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r

共线.

【答案】①证明见解析；②1±=k .

19．（本小题12分）如图,在ABC ?中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =， 2BC BE =.

（1）用向量AB u u u r 、AC u u u r 表示DE u u u r ；

（2）设6AB =, 4AC =, 60A =?,求线段DE 的长.

【答案】（1）1162

AB AC +u u u

r u u u r ;（27.

【解析】试题分析:（1）现将DE u u u r 转换为DB BE +u u u r u u u r

，然后利用题目给定的比例，将其转化为以,AB AC u u u r u u u r 为

起点的向量的形式.（2）由（1）将向量DE u u u r

两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得DE u u u r .

试题解析：

（1）由题意可得： 21DE DB BE AB BC 32=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()

21AB AC AB 32=+-u u u r u u u r u u u r 11AB AC 62

=+u u u

r u u u r

（2）由11DE AB AC 62

=+u u u r u u u r u u u r

可得：

2222

211111|DE |DE AB AC AB AB AC AC 623664??==+=+?+ ???u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

22111

664cos60473664

?+????+?=.

故DE =

20.（本小题12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上．

⑴若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r

，求λμ+的值；

1AE BF ?=u u u r u u u r

时，求DF 的长．

【答案】(1) 1

（2

【解析】

⑴EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r

，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，

所以1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r

，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，

所以1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ，即11,32λμ=-=，则111

326

λμ+=-+=；

⑵设m =)0(>m ，则m )1(-=

(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ?=u u u r u u u r

，

221(1)2m AB AD -+u u u r u u u r =3(1)21m -+=

，所以DF

的长为．

21.（本小题12分）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=r r

，其中πθ<<0．

⑴若a r //b r

，求θθcos sin ?的值；

⑵若||||=，求θ的值．【答案】(1) 417 （2）2πθ=或34

πθ=．【解析】

⑴因为//a b r r ，所以2sin cos 2sin θθθ=-，显然cos 0θ≠，所以1

tan 4

θ=．

所以θθcos sin ?=θθθθ22cos sin cos sin +?1

tan tan 2

+=θθ174

= ⑵因为||||a b =r r

，所以22sin (cos 2sin )5θθθ+-=

所以0cos sin cos 2=+θθθ，0cos =θ或θθcos sin -=．又πθ<<0，所以2

θ=或34

θ=

． 22.（本小题12分）在中，设点为其外接圆圆心，

（1）若,求

的值；

（2）若求

的最大值。【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于实数x,y 的方程组，求解方程组可得

；

(2)由题意可得，即的最大值是.

试题解析：（1）因为

所以

得