2017届上海春季高考数学试卷

2017年上海市春季高考数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A B =U ；

2. 不等式|1|3x -<的解集为 ；

3. 若复数z 满足2136z i -=+（i 是虚数单位），则z = ；

4. 若1cos 3α=，则sin()2

πα-= ； 5. 若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=??+=?

无解，则实数a = ； 6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a += ；

7. 若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 ；

8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n n

a a a a a →∞+++???+= ； 9. 若2()n x x

+的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ；

10. 设椭圆2

212

x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是

等腰三角形的点P 的个数是 ；

11. 设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足1234||||a a a a -+-+ 56||3a a -=的不同排列的个数为 ；

12. 设a 、b R ∈，若函数()a f x x b x

=++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取

值范围为 ； 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（ ）

A. [0,)+∞

B. [1,)+∞

C. (,0]-∞

D. (,1]-∞

14. 设a R ∈，“0a >”是“10a

>”的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既非充分也非必要

15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）

A. 三角形

B. 长方形

C. 对角线不相等的菱形

D. 六边形

16. 如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，

则131A A A P ?u u u u r u u u r 的取值范围为（ ）

A. [0,8+

B. [-+

C. [8--

D. [8--+

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =；

（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；

（2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小；

18. 设a R ∈，函数2()21

x x a f x +=+； （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；

（2）若2()2

a f x +<对任意x R ∈成立，求a 的取值范围； 19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知

AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于

点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；

（1）若60BAD ?∠=，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到米）

（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米千元与每米千元，如何设计圆1M 、

2M 的大小，使总造价最低最低总造价是多少（结果精确到千元）

20. 已知双曲线2

2

2:1y x b

Γ-=(0)b >，直线:l y kx m =+(0)km ≠，l 与Γ交于P 、 Q 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点(0,)N n ；

（1）若点(2,0)是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；

（2）若1b =，点P 的坐标为(1,0)-，且32

NP P Q ''=u u u u r u u u u r ，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式.

21. 已知函数2

1()log 1x f x x +=-； （1）解方程()1f x =；

（2）设(1,1)x ∈-，(1,)a ∈+∞，证明：

1(1,1)ax a x -∈--，且11()()()ax f f x f a x a

--=--； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ∈-，1131(1)3n n n n x x x ++-=--，*n N ∈，求1x 的取值范围，使

得3n x x ≥对任意*n N ∈成立.

参考答案

一. 填空题

1. {1,2,3,4}

2. (2,4)-

3. 23i -

4. 13

- 5. 6 6. 10 7. 2 8. 32

9. 160 10. 6 11. 48 12. (0,3-

二. 选择题

13. D 14. C 15. A 16. B

三. 解答题

17.（1）4；（2

）arctan 3

； 18.（1）1a =-；（2）[0,2]；

19.（1）1M 半径34.6，2M 半径16.1；（2）1M 半径30，2M 半径20，造价42.0千元；

20.（1

）y =；（2）12

k =±；（3）略；

21.（1）13x ；（2）略；（3）略；