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现代控制理论第二章

第二章控制系统状态空间表达式的解

建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。

§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）

所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。状态方程为齐次矩阵微分方程：

AX X

= （2－1）

若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。

0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥

（2－2）

若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：

0)(x e t x At =， 0t t ≥

（2－3）

证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：

+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(

（2－4）

对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x

代人式（2-1）得：

A x

= ( +++++k

k t b t b t b b 2210) （2－5）

既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：

01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==

，0323!31

31b A Ab b ==，… 01!

b A k Ab k

b k k k ==

-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：

022)!

!211()(x t A k t A At t x k k ++++

+= （2－6）

括号内的展开式是n n ?矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e

221112!!

At k k

e At A t A t K =++

+++ （2－7）

式（2-6）可表示为：0()At x t e x =

再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。

2-2 矩阵指数函数——状态转移矩阵

一．状态转移矩阵

齐次矩阵微分方程的自由解为：

0)(X e t X At =或0)(0)(X e t X t t A -=

由上式可知，它反映了从初始时刻的状态向量到任意0>t 或0t t >时刻的状态向量 )(t X 的一种向量变换关系。变换矩阵就是At e ，它不是常数矩阵，它的元素一般是时间t 的函数，是一个n n ?时变函数矩阵，这意味着它使状态矢量随着时间的推移，不断地在状态空间中作转移，所以At e 也称为状态转移矩阵，记为)(t φ，)(t φAt e =表示)0(X 到)(t X 的转移矩阵，而)

(0t t -φ表示)(0t X 到)(t X 的转移矩阵。AX X = 的解()()(0)X t t X ?=或00

()()()X t t t X t ?=-，在0=t 时，?

???=2010)0(X X X 以此为初始条件，且已知)(1t φ，那么在1t t =时的状态将为：

???=21111)(X X t X )(1t φ=)0(X （2－8）

状态转移轨线

若已知)(2t φ，那么2t t =时的状态将为 ??

???=22122)(X X t X )(2t φ=)0(X （2－9）

状态从)0(X 开始，按)(1t φ或)(2t φ转移到)(1t X 或)(2t X ，在状态空间中描绘出一条运动轨线。若以1t t =作为初始时刻，则状态)(1t X 是初始状态从1t 转移到2t 的状态将为：

)(2t X ＝)(12t t -φ)(1t X

（2－10）将式（2-8）代入本式：)0()()()(1122x t t t t x φφ-= （2－11）

上式为从)0(x 转移到)(1t x 再转移到)(2t x 的运动规律。

比较式（2-9）和（2-11）可知转移矩阵（或矩阵指数）有以下关系：

)()()(2112t t t t φφφ=-或2112)(At

At t t A e e e =-

（2－12）

这种关系称为组合性质.

利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻的状态矢量)(0t x ，求得任意时刻t 的状态矢量)(t x ,换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取，这是动态系统用状态空间表示法的又一优点。一．状态转移矩阵的基本性质

1.性质1

)()()(τφτφφ+=t t 或)(ττ+=t A A At e e e

（2－13）

这就是组合性质，即从τ-转移到0，再从0转移到t 的组合。

)()]([)](0[)0(τφτφτφφ+=--=---t t t

2．性质2

I t t =-)(φ或I e t t A =-)(

（2－14）

它意味着状态矢量从时刻t 又转移到时刻t ，显然状态矢量是不变的。

3.性质3

)()]([1t t -=-φφ或At At e e --=1][

（2－15）

转移矩阵的逆意味着时间的逆转，利用这个性质，可以在已知)(t x 的情况下求出小于时刻t 的

)(0t x ，（t t <0）。

4.性质4

A t t A t )()()(φφφ== 或A e Ae dt

de At At At == （2－16）

即)(t φ或At e 矩阵与A 矩阵是可以交换的。

5.性质5

对于方阵A 和B （n n ?），当BA AB =时，有t B A Bt

e e

e )(+=，当BA AB ≠时，则

t B A Bt At e e e )(+≠，与标量函数不同。

一．几个特殊的矩阵指数函数.

1.若A 为对角线矩阵，即A ＝∧＝???

????????

?n λλλ0021

，则：

??????

????

??==t t

n e e e t e λλλφ0

0)(21

2.若A 能够通过非奇异变换予以对角线化，λ=-AT T 1，则：

0)(21-??????

????

??==T e e e T t e

t t

n λλλφ

证明如下：

A ＝∧＝?????

????

??n λλλ0

，由前页可知： ++++

+=n n At t A n t A At e !

!21122

1112210012110221122222222111222211

()()()2!!102!0012!

00102!11102!!112!n n n n n n X t t t X t x x t T IT T ATt T A Tt T A Tt n t t I t I t t I t t t t n t t ?λλλλλλλλλλλ----=-++

+++????

??????

????????????=+++??????

????????????

???

++++++= 112

222221!

11012!!00

n n n n

n t

t t t t t n t t t n e e e

e e λλλλλλλλλλ??

????

??++????

++++????????

????????==???????????????

11221111[]00

n n At At

t t

t t T T e T T e e e e e T T T T e e λλλλλλ----=??

?????

???==???????????

3.若A 为约旦矩阵

?????

?????????

????==λλ

λλλ011

J A ，则：

?????

????

--==--10

0000100)!

2(110

1(1!211)(212

t t

n t t n t t e t e n n t Jt λφ

根据定义直接计算： +++

+=32)(!

)(!21At At At I e

2321200010

000101001000010010100000110001012!3!1000001000000012!(1)!1(2)!101n n t t

A t t t t n t

t n t --??????????????

????????????????????=+++???

?????????????????

????????????

????????

??-??

??=-??????

? ?????

? ????

????????????????+????????????????????=????????????????????=00101010010000000011101 λλλλλλλλλλA

设：

212

2122231112!(1)!2!(1)!2!(1)!0111(2)!e (2)!(2)!111(3)!0

010101n n n t

n n n t

t n t t t t t t t t t t n n n e t t t t t t n e e n n t n e t t t λλλλ-------??

?????-????--????????????

-?????

?===--?????????????

?-???????????????????

???

?????????????????

例1：应用在AB BA =的条件下()A B t

At Bt e

e e +=?，求状态方程的状态转移矩阵：

x X σωωσ??=??-??

解：00A+B 00σωσωωσσω??????=+=??????

--??????

而0000

0000σωσωσσωσωωσσσω??????????==??????????---??????????

，即满足AB BA =的条件。又知，0e 0

t At t e e σσ??=?

???，注：00A σσ??

=????

3423423422443333224412!

1000001110102!3!4!0001111cos sin 2!4!3!11113!2!4!Bt e I Bt B t t t t t t t t t t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωω=++

+?????????--????=+++++?????????????--??????????

-+-???--?????==????-+-???-+-???

????

sin cos t t ωω???

?-?? 注：级数357

246

sin 3!5!7!

cos 12!4!6!x x x x x x x x x ?=-+-+???????=-+-+?????

cos sin 0()sin cos 0

cos sin cos sin sin cos sin cos t At

Bt t t

t t t

t t e t e e t t e t t e t e t e t t e t e t σσσσσσσωωφωωωωωωωωωω????=?=?

???-??

??????==????--????

例2：已知x X σωωσ??=??-?? ，应用拉氏变换法求状态转移矩阵。解： 0s 0s s I A s s σωσ

ωωσω

σ--??????

-=-=????

??--??????

[]

221

2222()()1

()()()s s s s sI A s s s s s σωσωσωσωωσωσσωσωσω--?

???

--+-+????-=

=??-----+???

???-+-+??

由拉氏变换得：22

sin ()cos ()at

at k e kt s a k s a e kt s a k

--???++?

?+???++?

cos sin cos sin ()()sin cos sin cos t t t t t t t e t e t t sI A e t t e t e t σσσσσωωωωφωωωω--????

??=-==??????--????

一.)(t φ或At e 的计算（状态转移矩阵的计算） 1．根据)(t φ或At e 的定义直接计算

++++

+=n n At t A n t A At e !

!21122 例1：已知?

????--=3210

A 求At e 解： 211

e 12!!

At k k At A t A t k =++

+???++???

233

210010101012323232!3!1001010101012323232323!10012323010

1236767232At

t t e t t t t t t ????????=++++????????------??????????????????=++++??????????--------??????????----?????????=+++????????----???????? 3

2323

232323671

100123601236775232371267752313322t t t t t t t t t t t t t t t ?+????

????--??????=++++????????--????????

--????

??-++-++??=??

-+-+-+-+????

此方法步骤简便，编程容易，不易获得闭合解析形式。 2．变换A 为约旦标准型（1）特征根互异

AT T 1-=λ，T 是使A 变换为对角线矩阵的变换阵。At e 1-=T Te t λ

例2：?

????--=3210

A 解：()()21233

2++=++=+-=

-λλλλλλλA I ，解得：11-=λ，22-=λ

[]11

121

221

22P

P T P P P P ??

==????

，1110AP P λ==，

11111212110123P P P P λ=--??????=????

??---??????，211111212123P P P P P =-??--=-?，取112122P P =??=-?，则122P ??=??-??， 2

121222222

201223P P P P λ=--??????=??????---??????，22121222222232P P P P P =-??--=-?取122212P P =??=-?，则212P ??=??-?? []1

22122T P P ??==??--??，12111222det 4211adjT T T ---??

????????===??-+--??

11012121101122232222021122λ???

?---????????????===????????????-------????????--???? 即：1

200

T AT λλ-??=?

???

，11λ=-，22λ=-

121

222222*********

00e e 22222200

111111222222211t t

At t t t t

t t t

t t t t t t t t e e T T e e e e e e e e e

e e e e e λλλ---------------???

?????????????===????????????----????????----??

??????

--??==????

?---+-+????

--??

关于重根例题见书中P56。（2）特征值有重根

AT T J 1-=，根据式（2-18）有：At e 1-=T Te Jt

例3：??

?????-=452100010A ；求At e 解：()()212544

210

23--=-+-=----=-λλλλλλλ

λA I

即：121==λλ，23=λ，???

?????=200010011J

11λ=，求1P ：??????????-452100010??????

???312111p p p ＝???

?????312111p p p 1121p p =，2131p p =，31312111452p p p p =+-

取111P =，有11211P P ==；3131254P P =-+，311P =，所以：1111P ??

??=??

????

12=λ,求2P ：1221P AP P -=-λ

??????????322212p p p －??????????-452100010??????????322212p p p ＝??????????312111p p p ＝????

?????---111 12212-=-p p ，13222-=-p p ，145232221232-=-+-p p p p

取012=p ，122=p ，232

=p ，所以：????

?????=2102P 23=λ，求2P ：333AP P =λ

??????????3323132p p p ＝??????????-452100010????

?????332313p p p 23132p p =，33232p p =，33231333452p p p p +-=

113=p ，223=p ，433

=p ，所以：????

?????=4213P ??????????=421211101T ，=????

?????421211101det 4＋0＋2－1－0－4＝1，????

?????----=12113212

adjT 1

1det 1==-T adjT T ??????????----121132120

＝????

??????----121132120

AT T J 1

-=＝??????????----121132120

??????????-452100010??????

???421211101 ＝??????????------242132252??????????421211101＝????

??????200010011 ∴????

?????

?=t t t t Jt

e e te e e 20

000

0 注：11

e ()At sI A --??=-?? ，0011011

00001001000002002s s sI A s s s s --????????????-=-=-??????

??????-??????

[]1

22211

00100021

(1)

(1)(1)(2)

20110(1)(2)000(1)(2)(1)00(1)100

(2)s sI A s s s s s s s s s s s s s s ----????-=-??

??-??

????--??---??????=--=??

??---????-???

??-?

[]11200

000

t t t t e te sI A e e --???

?-=?????

注：与J 阵选取时要有差异，变中间一列。为了求出 At e 还需求出变换矩阵T 和1-T ，如果取：

1-=T Te e Jt At

1221P AP P -=-λ，121212222222323232010100112541p p p p p p p p p -????????????????????-=-=-????????????????????--??????????

1222223232

12223211

2541

p p p p p p p p -=-??

-=-??-+-=-? 当112-=p 时，022=p ，132

=p ，即????

?????-=1012P ????

??????-=411201111T ，1-T

＝?????

?????-----121132252 22222222211102522521020023122311140

1214121223222()354t

t t

t t t At t t t t t t t t

t t

t t t t t e

te e te e e e e e te e e e te e e te e

te e e

e e te te e e ????------??????

??????????=--=--?

???????????????????-+-??????

????-++---+=--+-22222224438834t t t t t t t t t t

t t t te e e te e e te e e te e e ???

--+????--++---+?

3．利用拉氏反变换法求At e

])[()(11---==A sI L t e At φ

证明：齐次微分方程： )()(t AX t X = ；0

)0(X X =，两边取拉氏变换得： )()0()(s AX X s sX =-，0)0()()(X X s X A sI ==-，左乘1)(--A sI 有：

01)()(X A sI s X --= ，两边取拉氏反变换得：011])[()(X A sI L t X ---=

上式与式 0)(X e t X At = ,0≥t 比较有：])[(11---=A sI L e At ，证毕。

例2-4：?

????--=3210

A 试用拉氏反变换法求At e 解： )2)(1(2)3(321++=++=?

???+-=-s s s s s s A sI

13111

()()2(1)(2)312111(1)(2)(1)(2)121222212(1)(2)(1)(2)1212s sI A adj sI A s sI A s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s -+??-=

-=??--++??

+????--???

?++++++++??==??

---????++????

++++++++????

11][---=A sI L e At ??

???+-+---=--------t t t

t t t t

t e e e

e e e e e 22222222

4．应用凯莱-哈密顿定理求At e

（1）0)(011

1=++++=--I a A a A a A A f n n n

121210n n n n n A a A a A a A a I ----=----- 是1-n A ，2-n A …，A ，I 的线性组合。

同理 =?=+n n A A A 1)(02

1121A a A a A a A a n n n n --------

)(0122111I a A a A a A a a n n n n n ------=----- )(02112A a A a A a n n +++---

I a a A a a a A a a a A

a a n n n n n n n n n 0101123211221)()()(--------------+-= 以此类推1+n A ，2+n A 都可以用 1-n A ，2-n A …，A ，I 表示。（2）在定义式（2-7）中 ++++

+=k k At t A k t A At e !

!21122，用（1）的方法可以消去A 的n 次及n 以上的幂次项，即：

111122)!

1(1

!1)!1(1!211++--+++-+++

+=n n n n n n At t A n t A n t A n t A At e I t a A t a A t a A t a n n n n )()()()(012211++++=----

（2－22）

由状态转移矩阵求系统矩阵：

已知状态转移矩阵()t φ的情况下，如何确定系统矩阵A ，方法有：

1. ()()A t t φ

φ=- 证明：因为()()t A t φ

φ= ，1()()()()A t t t t φφφφ-=-= ，11()()t t φφ--=，故有：()()A t t φ

φ=- 2. (0)A φ

= 证明：因为()At t e φ=，当0t =时，0

()(0)t A t φφ=== 3. 拉氏变换法

证明：11()()t L sI A φ--??=-??，[]1()()L t sI A φ-=-，1

()sI A sI A --??-=-??

由上式可以求出矩阵A 。

注：11

()At e L sI A --??=-??

例：已知系统的状态转移矩阵，试求系统矩阵A 。

222200

()0

(12)40(12)t

t t

t e t t e te te t e φ-----????

=-????-+?

解法1.

2222222200

100()()0(44)(48)0

(12)40440(12)40

(12)010t

t t t

t t

t e e A t t t e t e t e te t e te te t e φφ-----????--??

???

???=-=-+-+-=-?

???????????-+---??

??? 注：2222(12)22(12)4(1)t t t t

t e e t e t e ----'??-=---=--??

解法2.

220

22000

100()0(44)(48)0440(12)4010t t t t t

t t e A t t e t e t e te φ

---=--=??--??????==-+-=-???????

?-+--???

? 解法3.

211

000011124

4()()0

2(2)(2)(2)(2)1121400(2)2(2)(2)(2)s s s sI A L t s s s s s s s s s s s φ-???????

++?????

???

-==-

=????+++++???

?????

--++????

+++++?

2221

001100001004()004400044(2)(2)010*******(2)(2)s s s s

sI A s s s s s s s s s -??

+??+-??????????????-==+-=--????????++?

??????-??????

-+?

++?

100044010A -????=-??

??-??

例2-5：已知?

????--=3210

A 求At e 表示式中的)(t a i 。解：A 的特征方程233

2++=+-=

-λλλλλA I

按凯莱-哈密顿定理有：

0232=++I A A I A A 232

--=

I A A I A A A I A A AA A 672)23(323)23(223+=----=--=--==

I A A I A A A I A A AA A 14156)23(767)67(234--=+--=+=+==

…

以此代入下式中的相应项中，可消去A 的2次及2次以上各次幂。

223344

2342342341011112!3!4!111

1(32)(76)(1514)2!3!4!

371514

()(1)2!3!4!4!()()At e At A t A t A t At A I t A I t A I t t t t t A t t t I

a t A a t I

=++

+++=++--+++--+=-+-++-+-+=+

∴)(1t a ＝ +-+-

432!415!37!23t t t t ，)(0t a ＝ +-+-432!

414

1t t t （3）)(t a i 的计算公式

上例求)(t a i 只是对（2-22）加深理解，并说明i a 是时间t 的函数，实际上不宜计算)(t a i ，一则是得不到)(t a i 的解析表达式，二则是当维数较高时，将造成计算上的繁琐。下面给出计算)(t a i 的一般公式。

A 的特征值互异时：

????

??????????????????????=????????????-----t t t n n n

n n n n n e e e t a t a t a λλλλλλλλλλλλ

1212222

211

1101

)()()(

（2－23）

证明：根据A 满足其自身特征方程的定理，可知特征值λ和A 是可以互换的，因此λ也必须满足式（2-23），从而有：

1011111

0121210

11()()()()()()()()()n t

n n t n n t

n n n n a t a t a t e a t a t a t e a t a t a t e λλλλλλλλλ------?+++=?+++=??

??+++=?

上式对[]T

n t a t a t a )()()(120- 求解，即得式（2-23）。

A 的特征值均相同，为1λ时，则：

????????????????--)()()()(1210t a t a t a t a n n ＝?????????

?????????????--??

????

???????-----------t t t

t n t n n n n n e te e t e t n e t n n n n n 111112211

112

211311

!21)!2(1)!

1(11)1(210!2)2)(1(1

00)1(10001

000

0λλλλλλλλλλλλλ

（2－24）证明：同上（见P60）有：

t n n e t a t a t a t a 11

1112110)()()()(λλλλ=+++--

上式对1λ求导数，有：

t n n te t a n t a t a 1211121)()1()(2)(λλλ=-+++--

再对1λ求导数有：

t n n e t t a n n t a t a 12311132)()2)(1()(6)(2λλλ=--+++--

重复以上步骤，最后有：

t n n e t t a n 111)()!1(λ--=-

由上面的n 个方程对)(t a i 求解，即得式（2-24）。

例2-6：??

????--=3210A ，求At

e 。解：已知1λ=-1，2λ=-2，为互异根。

121

2012221211121211211t t t t t t t t t t a e e e e e a e e e e e λλλλ------------????????

-????????====????????????????---?

??????????????? 所以：

0122222222222()()1001(2)()01232000222332222At t

t t t t

t t t t t t

t t t t

t t t t t t e a t I a t A

e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

e e ----------------------=+????=-+-????--????

????-+=+?

--+-+?

???

--=??

-+-+??

注：

()At At t e Ae A ='==，2222222()2t t

t t t t

t t e e e e t e e e e φ--------??--=??--??，0224202()124113t A t φ=-+-+-????===????-+-+-????

对上题：0

221201()241423t A t φ

=-+-+????

===????----????

例2-7：???

??????-=452100010A ,求At e 。

解： ()()212544

23--=-+-=----=-λλλλλλλ

λA I

即：121==λλ，23=λ。

重根部分按式（2－24）处理，非重根部分按式（2－23）处理。

?????

???????????????----=????????????????????=????

??????????

???=??????????--t t t t t t t t t e e te e e te e e te a a a 221

233211121011122310242111121011210311λλλλλλλ

11121

0det 23321

1-=????

?????λλλλλ， =-=????

?????-11121

233

2111adjA λλλλ

λ??????????----11122310

2????

??????+---++-=??????????t t t t t t t t e e te e e te e te a a a 2222102232 所以：

0122

22222()()()10001

001

020

1032200100100125

425

410001

020

103220010

01254At t t t t t t t t t t t t t e a t I a t A a t A te e te e e te e e te e te e e =++??????

????????????=-+++-+--+???

?????????????--?????????????????=-+++-???

???????-???222222222200

1254818

1123222()3542224438834t t t t t

t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

t t t te e e te e te e e te e e e e te te e e te e e te e e te e e te e e ???????+--+-?

???????-???

-++---+?

=--+---+????--++---+??

注：202t t a te e =-+，21322t t t a te e e =+-，22t t t a te e e =--+ 作业：2-4，2-5（1）

§2－3线性定常系统非齐次方程的解

一．状态方程为非齐次矩阵微分方程：

()()

AX Bu Y t CX t ?=+?

=? （2－25）

现在要确定系统在控制输入作用下的状态。

Bu AX X

=- ，Bu e AX X e At At --=-)( 即：

)()]([t Bu e t X e dt

d At At

--= 注：

)()(AX X e AX e dt dX e X dt de dt dX e dt X e d At At At At At At -=-=+=------ 对上式从0到t 积分：

??--=t t

A A d Bu e d X e dt d 00

)()]([τττττ

=-t A X e 0)(τττττ

d Bu

e t

A ?-0

)(

=--)0()(X t X e At τττ

d Bu

e t

A ?

-0

)(

+=-)0()(X t X e At τττ

d Bu

e t

A ?-0

)(

两边同乘At e ，即At

1=-At

，有：+=)0()(X e t X At τττd Bu e

t A ?-0

)

()(，而)(t e At Φ=，

+Φ=)0()()(X t t X τττd Bu t t

?-Φ0

)()(

如果从t t →0间积分，则：

+-Φ=)()()(00t X t t t X τττd Bu t t

t ?-Φ0

)()( （2－26）

例：在单位阶跃函数作用下的解：

u x x x x

????+???????

?????--=??????1032102121 ，[]10x Y = 注：+

=0)(X e t X At

τττd Bu e

t A ?-0

)

()(，积分公式：C a

e dx e ax

+=?

先求)(t Φ，已知：??

???+-+---==Φ--------t t t

t t t t t At

e e e e e e e e e

t 22222222)( 输入为阶跃函数：)(1)(t t u =，??

????=10B ，?

???=)0()0()0(21x x X 0

2212220

22()2(122212()()(0)()()(0)2()()(0)222(2)(0)()(0)2(22)(0)(2)(0)t

t t

t t t t t t t t t t t t t t t t X t t X t Bu d x e e e e t Bu d x e e e e e e x e e x e e e e x e e x τττττ

τττ--------------------=Φ+Φ-??--??=+Φ-????-+-+??????-+--=+??-++-+????)

()2()()2()

()2()022()2()1222()2()12001()1222(2)(0)()(0)(22)(0)(2)(0)2t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e t d e e e e e e x e e x e e d e e x e e x e e ττττττττττττ----------------------------??-??

????-+-+??

??????-+--=+????-++-+-+??????当0)0(=x 时，前项等于0,

()2()22001022()2()2000111()222()2()t t

t t t t t t t t t t t t t t t t e d e d e e x t e e x t e e e d e d e e ττττττττ----------------??????-????-+??-+????????????===??????????-??-+??

??+-?????

?????????

[]01)()(==t CX t y ==??

????)()()(121t x t x t x t

t e e 22121--+- 在不同的输入函数作用下，系统响应为：

1.脉冲响应时；当0)0(),()(X X t K t u ==δ时，BK e X e t X At

At +=0)(

2.阶跃响应时；当0)0(),(1)(X X t K t u ==时，BK e A X e t X At

At )1()(10-+=-

3.斜坡响应时；当0)0(),(1)(X X t Kt t u ==时，BK t A e A X e t X At At ])1([)(120----+= 式中K ——与)(t u 同维的常数矢量例：输入改为单位斜坡函数，求系统的状态

???≥<=0

;0;0)(t t t t u 0)0(=X

=)(t X τττd B t t

?-Φ0

)(ττττττd e e e e t

t t t t ????

???+--=--------0)(2)()(2)(2 ＝???

???????+----------????ττττττττττττd e d e

d e d e

t t

t t t t

t t )(20)

(0)

(20)(02 ＝????

???????+--????-----τττττττττττ

τd e e d e e d e e d e e t

t t t t

t t t 202020202 注： C ax a e dx xe ax ax +-=?)1(2 ＝????????????-+---------t t t t t

t t t e e e e e e e e 0

2200220)12(42)1()12(4)1(τττττ

τττ ττττττd e e d e t t t t ??---=0

)(0 ＝??

???????---+-+------+------)]10(41)12(4[2)1()1()]10(41)12(4[)1(2222t e e e t t e e e t e e t t t t t t t t

现代控制理论第一章答案1

习题解答 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18

2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出量。试列写状态空间模型。题图2-1 解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()() 1 ()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0 时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221211 11 i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110110x x L U L x x C RC ??-??????????=+???? ???? -???????????? (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221110C x y U x x R R R ????===?? ?????? (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式 11i 221211011010 x x L U L x x C RC x y x R ??-?????????? =+????????-? ??????????? ??? ?=????? ???

习题解答_现控理论_第6章

6-1 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作状态反馈v x u +-=K ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。解将反馈律代入状态空间模型，则有 ()()()()A B K A BK B C D K C DK D =+-+=-+=+-+=-+x x x v x v y x x v x v 因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1()()()()()K A BK B C DK D G s C DK sI A BK B D -=-+?? =-+?=--++x x v y x v 6-2 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作输出反馈u =-H y +v ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。解将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有 () C D H C DH D =+-+=-+y x y v x y v 即 ()I DH C D +=+y x v 因此，当()I DH +可逆时，闭环系统输出方程为 11()()I DH C I DH D --=+++y x v 将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有 11() [()][()]A B A B H A BH I DH C BH I DH D B --=+=+-+=-++++x x u x y v x v 当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1111 11111[()][()]()()()()[()][()]()H A BH I DH C BH I DH D B I DH C I DH D G s I DH C sI A BH I DH C BH I DH D B I DH D ---------?=-++++?=+++?=+-++++++x x v y x v

现代控制理论习题解答(第四章)

1 v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 32 2x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3 a 1 x T 1 1 b 1 2 (1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x) x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2 2 2 2 (3) v(x) 10x 1 4x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3 【解】： (1) 二次型函数不定。 ⑵ 二次型函数为负定。 ⑶ 二次型函数正定。 3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。【解】： 3-4-1 第四章控制系统的稳定性试确定下列二次型是否正定。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 , 1 0, 3 0, 1 4 3 1 1 1 1 4 1 3 1 1 1 3 1 P 4 10 0, 3 10 0, 10 10 P 1 2 1 , 10 1 1 10 1 2 10 1 39 0 1 4 1 1 4 2 1 1 0, 17

a 1 0 a 1 b 1 1 a 1b 1 c 1 4 b 1 4a 1 c 1 【解】： (1) 设 2 2 v(x) 0.5x 1 0.5X 2 V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2 x/ ° " °)为半负定。 0 (x 0) 又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (2) 设 2 2 v(x) 0.5X 1 0.5X 2 v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1 X 2) X 2(2X 1 3X 2) X 12 3X 22 3X 1X 2 T 1 1.5 1 1 1 1.5 X x 1 0, 1.5 3 1 1 1 1.5 3 T … X Px P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (3) 0 1 1 1 (1) X X (2) x X ； 1 1 2 3 1 1 1 0 (3) x X (4) x X 1 1 0 1 3-4-3 满足正定的条件为: a i | of 1 1 b i a i 0, 1 1 1 1 b 1 2 0 2 C 1 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

现代控制理论第4章教学要求(第四章)

现代控制理论第4章教学要求按章节，打*号的部分为本科不要求的内容，另外在一些未打*的部分有些内容也不要求，请按下面要求的内容组织本科教学。第4 章动态系统的结构分析 4.1 引言 4.1.1 能控性与能观性物理现象——从例子谈起从物理角度理解能控性与能观性的重要性。 4.1.2 能控性与能观性的数学描述从数学角度理解能控性与能观性的状态方程特点。 4.2 连续线性系统能控性与能观性定义 4.2.1 能控性定义理解能控性的定义包含的丰富内涵。能利用定义解决与系统能控性相关的问题。 4.2.2 能观性定义理解能观性的定义包含的丰富内涵。能利用定义解决与系统能观性相关的问题。 4.3 连续线性系统能控性与能观性判据 4.3.1 定常系统的能控性判据与能控性指数掌握定常系统的Gram矩阵能控性判据。掌握Jordan标准型的能控性判据，并能依此进行相应计算。掌握能控性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。了解能控性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。了解定常系统的能控性指数，并基此减小能控性矩阵的规模。 4.3.2 定常系统的能观性判据与能观性指数掌握定常系统的Gram矩阵能观性判据。掌握Jordan标准型的能观性判据，并能依此进行相应计算。。掌握能观性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。了解能观性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。。了解定常系统的能观性指数，并基此减小能观性矩阵的规模。 4.3.3 时变系统的能控性判据了解时变系统的 Gram矩阵能控性判据。了解时变系统的能控性秩判据。 4.3.4 时变系统的能观性判据了解时变系统的 Gram矩阵能观性判据。了解时变系统的能观性秩判据。 4.3.5 时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系理解时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系。 4.4 连续线性系统输出能控性和输出函数能控性及判据 4.4.1 输出能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.4.2 输出函数能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.5 连续线性系统的对偶关系 4.5.1 定常情况下的对偶关系理解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.5.2 时变情况下的对偶关系了解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.6 定常连续线性系统的能控型与能观型 4.6.1 SISO 系统的能控标准型与能观标准型掌握SISO系统的能控标准型与能观标型以及变换方法，能计算标准型。 4.6.2 MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型了解MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型。 4.6.3 MIMO 系统的Wonham 规范型与Luenberger 规范型* 本科不要求此节内容。 4.7 连续线性系统的结构分解

现代控制理论-第7章

第六次课小结一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念平衡状态的概念 Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性二次型，复二次型（Hermite 型）二、 Lyapunov 稳定性理论第一方法第二方法三、线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析应用Lyapunov 方程 Q PA P A H -=+ 来进行判别稳定性四、线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。计算min η的关系式五、离散时间系统的状态运动稳定性及其判据离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用

六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题问题的提法性能指标的类型研究的主要内容七、极点配置问题问题的提出可配置条件极点配置算法

爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（）给出的系统，重写为 Bu Ax x +=& 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21Λ。利用线性状态反馈控制律 Kx u -= 将系统状态方程改写为 x BK A x )(-=& 定义 BK A A -=~ 则所期望的特征方程为 ) ())((~ 11121=++++=---=-=+-* *--*n n n n n a s a s a s s s s A sI BK A sI ΛΛμμμ 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~ 应满足其自身的特征方程，所以

王金城现代控制理论第一章知识题目解析

王金城化工出版社第1章习题参考答案： 1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()1 1112121 dv M g K y K y y M dt ---= 对2M ，有()()2 22123232dv M g K y y K y y M dt +---= 对3M ，有()3 3323433dv M g K y y K y M dt +--= 令312112233415263,,,,,dy dy dy x y x y x y x v x v x v dt dt dt ===== ====，整理得 ()()()122214253641 11 23342332 51262322233 ,,,, ,K K K x x x x x x x x x g M M K K K K K x K K x x x g x x x g M M M M M +====-++++= -++=-+ () ()() 122 11 23222 22 3433 3 000100000010000000100000 01100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ? ????? ??????? ? ??+??-????=+??????+?? ??- ? ? ???? ??? ? +- ?? ??? ? 100000010000001000y x ?? ??=?? ???? （b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()1 1121111 dv M g B v v K y M dt +--= 对2M ，有()2 2221212dv f M g B v B v v M dt +---= 令1211223142,,,dy dy x y x y x v x v dt dt === ===，整理得 11113243134111 ,,K B B x x x x x x x x g M M M ===--++， 112434222 B B B f x x x g M M M +=-++

现代控制理论试题与答案

现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控

现代控制理论第4章答案

现代控制理论第四章习题答案 4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222 123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：（1）由已知得 []1123 123 1232311 2 3231 1()3112 2111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?? ? ???=-+------???? ? ????? ? ? ??--??? ?????=--???????????? ---?? 110?=-<，211 2013 -?= =>-，31111711 3 024 1 1112 --?=--=-<-- - 因此()Q x 是负定的（2）由已知得 [][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ????=---+---+?????? --???? ????=--???? ????--???? 110?=>，211 3014 -?= =>-，3111 143160131 --?=--=-<-- 因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：

11122122a a x x a a ??= ??? 试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。即： 11 12 2122 2112211221221()0 a a I A a a a a a a a a λλλλλ---= --=-++-= 有解，且解具有负实部。即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。取Q I =，令11 121222P P P P P ??=???? ，则带入T A P PA Q +=-，得到 11 2111121122 211212 2222220100 221a a P a a a a P a a P -???? ????????+=????????????-?????? 若 112112 1122 2111221122122112 22 220 4()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠，则此方程组有唯一解。即 22 21221222211122 1222211111121122()1 ()2()A a a a a a a P a a a a A a a a a A ??++-+=-??-++++?? 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定，则要求 22 2122 111112202()A a a P a a A ++?== >-+ 22 1122122121122()()0 4() a a a a P a a ++-?==>-+

现代控制理论试题与答案

第七章---现场控制盘

第七章现场控制盘在海上平台，一个大的处理系统，经常包含有多个子系统，如注水系统、分子筛干燥再生系统、热油炉供热系统、丙烷制冷系统、三甘醇脱水及再生系统等。这些子系统规模较小，控制简单且相对独立，这些子系统的控制因此也常常采用现场控制PLC来实现子系统的控制，子控制系统PLC经过通讯方式与主控制系统相连，把它的数据信息传递给主控制系统，主控制系统又可将ESD信号通过硬线送到就地控制盘，实施对就地盘的关断，从而实现整个控制系统的集中管理与监视。也实现了平台控制系统的控制分散和危险分散的概念。一、现场控制盘所用的控制系统许多子系统都采用了性能好、可靠性高的A-B公司P LC的S LC500系列控制器，下面主要介绍由SLC500系列控制器组成的现场控制系统。 1. 结构 SLC500系列控制器是为小规模应用而设计的可编程控制器，该系列有两种硬件结构：一种是用于固定式控制器，电源、CPU,I/O卡等都连为一体，不能随意配置；另一种用于模块式控制器，由于该系列可提供各种各样I/O模块，可以随意地、很经济地配置其控制系统。一个SLC500系列的现场控制系统包括S LC硬件、显示终端、寻址、软件等。模块式现场控制系统的结构如图4－1所示。图7－1 模块式现场控制系统结构图 2. 硬件 SLC硬件包括安装框架、处理器模块、I／O模块、电源块等。 SLC安装框架均需要电源向处理器CPU及每个I／O槽供电。处理器模块是现场控制系统的核心部分，它负责整个控制系统的数据处理、通讯、工作方式等。在处理器模块上有一个钥匙开关，使用钥匙开关可以改变处理器的操作方式。在处理器上有三种操作模式：运行（RUN）、编程（PROG）、远程（REM）。如表7-1 162

《现代控制理论》第3版课后习题答案45682

《现代控制理论参考答案》第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 222213********* 1x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++= s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下： u K x K x K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ?

令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ??????????????? ????????????? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：

上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章线性系统的能控性和能观性4

4.4 时变系统的能控性和能观性一、能控性判据 1、有关线性系统能控性的几点说明 1）允许控制u(t)，其元在时间[t 0,t f ]上绝对平方可积。 2）能控状态和控制作用的关系式 τ ττττ τττττττd )(u )(B ),t (d )(u )(B ),t ()t ,t (X 0 d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X f f f t t 0t t f 0f 1 0t t f 00f f ???-=-==+=-ΦΦΦΦΦ ) 8.3.4(d )(u )(B ),t (X f t t 00τ τττ?-=∴Φ 3）非奇异变换不改变系统的能控性设系统在变换前是能控的，它必满足（4.3.8）即 ττττd )(u )(B ),t (X f t t 00?-=Φ 若取变换矩阵P ，对X 进行线性变换 X P X = 则有 B P B AP P A 11 --== 即 B P B P A P A 1 ==- 将上述关系式代入（4.3.8）式，有

τ τττφ-=τ τττφ-=τ τττφ-=???-d )(u )(B ),t (X d )(u )(B P ),t (P X d )(u )(B P ),t (X P f f f t t 00t t 010t t 00 上式表明非奇异变换不改变系统的能控性 4）如果0X 是能控状态，则0X α也是能控状态，α是任意非零实数。 5）如果01X 和02X 是能控状态，则0201X X +也是能控状态。 6）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为c X 。例：u 11x x 1001x x 2121??????+????????????=?????? 解：系统的能控状态为21x x =的状态，为两维状态空间中的一条450斜线。 2、线性连续时变系统的能控性判据 1）【定理】时变系统的状态方程为 )t (U )t (B )t (X )t (A )t (X += 系统在[t 0,t f ]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵 ?φφ=f t t 0T T 0f 0c dt )t ,t ()t (B )t (B )t ,t ()t ,t (W

现代控制理论习题解答(第五章)

第五章状态反馈和状态观测器 3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。 (1)写出系统状态空间表达式； (2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。 ) (t y 题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式： []x y u x x 10112101=??? ???-+??????--= 2 31 11=?? ????--=c c U rank U 系统能控，可以设计状态反馈阵。设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式： 34 625)3()(*2 2 ++=++=s s s s f 求加入反馈后的系统特征多项式： ) 22()3()(1212 k s k k s bK A sI s f ++-++=+-= 依据极点配置的定义求反馈矩阵： ]1316 [13 1634 )22(6)3(21112=?? ?==? ?? ?=+=+-K k k k k k 方法二： [][][]1316)346(311110 )(*10 2 1 1 =++?? ????--==--I A A A f U K c 方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：

2 32 1) 11 1( ) ()(2 ++-=+-+=s s s s s s U s Y []x y u x x 10 103210-=??????+??????--= 求系统希望特征多项式： 34 625)3()(*2 2 ++=++=s s s s f 求状态反馈矩阵K ~ ： [][][]332 362 34~ 21 =--==k k K [][] [][]5.05.0311110 10 1 1 1=?? ????--==--Ab b P ?? ? ? ??-=??????=105.05.011A P P P []1316 ~ ==P K K 【解】：依据系统传递函数写出能控标准型 s s s s s s s U s Y 2310) 2)(1(10) ()(2 3 ++= ++= []x y u x x 00 10 100320100010 =?? ??? ?????+??????????--= 求系统希望特征多项式： 464]1)1)[(2()(*2 3 2 +++=+++=s s s s s s f 求状态反馈矩阵： [][][]14 4 342 60 432 1 =---==k k k K 。

现代控制理论基础第四章

现代控制理论基础
Elements of Modern Control Theory
主讲：董霞西安交通大学机械工程学院

第四章控制系统的李亚普诺夫稳定性分析
控制系统的稳定性分析是系统分析的重要组成部分。系统稳定是控制系统正常工作的前提条件。对单输入－单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为其数学模型，采用劳斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和乃奎斯特（Nyquist）判据等来判别系统的稳定性是比较简便的。
对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间表达式为数学模型，分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫（A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论。
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本章主要内容
4.1 引言 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 4.3 判别系统稳定的李亚普诺夫方法 4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析
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4.1 引言
对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线性、时变、MIMO系统延伸，其稳定性分析无法利用经典控制理论解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。 1892年，李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》论文，建立了运动稳定性的一般理论和方法。他把稳定性分析方法归纳为两种:
3

一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一种间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息，是一种直接方法。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫函数）即可判断系统的稳定性。由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而更具重要性。
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现代控制理论讲义

第一章系统描述 1.1 引言一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n 个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan 、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB 进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3节讨论用MA TLAB 进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。 1.2 状态空间表达式为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与Jordan 标准形，在例1.17~1.21中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。 1.2.1 状态空间表达式的标准形式考虑由下式定义的系统： )1.1(1)1(1)(1)1(1)(u b u b u b u b y a y a y a y n n n n o n n n n ++++=++++---- 式中u 为输入，y 为输出。该式也可写为 )2.1()()(1111110n n n n n n n n a s a s a s b s b s b s b s U s Y +++++++= --- －下面给出由式（1.1）或式（1.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan 形）标准形。

现代控制理论试题与答案

现代控制理论试题与答案 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.

现代控制理论 1.经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程. 2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的. 3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式 1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解 1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控 2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b 3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的. 第五章线性定常系统综合

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