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【典型题】高中必修二数学下期中模拟试题(及答案)

一、选择题

1．设曲线3

x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（） A ．-4

B ．14

C ．

D ．4

2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，

26AD AB ==，则该球的体积为（）

A ．48π

B ．24π

C ．16π

D ．323π

3．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（）．

A ．满足条件的截面不存在

B ．截面是一个梯形

C ．截面是一个菱形

D ．截面是一个三角形

4．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--?+ C ．[]1,1- D ．][()

,11,∞∞--?+ 5．已知圆截直线

所得线段的长度是

，则圆与

圆的位置关系是（） A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

6．已知圆O ：2

24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和

BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（）

A ．42

B ．24

C ．21

D ．6

7．椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中

心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（） A 31+ B 31

C 2

D 51

- 8．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说

法正确的是（）

A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b

B ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α

C ．若a ∥α，α∥β，则a ∥β

D ．若α∥β，a α?，则a ∥β

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )

A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立

B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立

C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面AC

D 成立

D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥

平面ABD 成立

11．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）

A ．20＋3π

B ．24＋3π

C ．20＋4π

D ．24＋4π

12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=

．则下列结论中正确的个数为

①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；

③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ?的面积与BEF ?的面积相等， A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

二、填空题

13．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________． 14．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ?是边长为2的等边三角形，且三棱锥

D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.

15．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，

①AB 与平面BCD 所成角的大小为60 ②ACD ?是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60 ④AC BD ⊥

⑤二面角B AC D --为120? 则上面结论正确的为_______．

16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面

ADE 的距离为__________.

17．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 18．已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________. 19．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得

2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.

20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.

三、解答题

21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．

（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；

（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，

45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．

22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且

DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿

DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平

面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积

23．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，

33DE AF ==.

（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；

（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由. 24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面

ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．

（1）求证：//AB 平面DEF ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；（3）求三棱锥1E ACB -的体积.

25．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;

(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ?而积最小时，求AOB ?的周长;

(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程. 26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-；（1）求直线AB 方程的一般式；（2）证明△ABC 为直角三角形；（3）求△ABC 外接圆方程．

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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】

求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】

解：由31

x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=，

∴2'|4x y ==-，又曲线3

x y x +=

-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，

∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．

2．D

解析：D 【解析】【分析】

根据球的性质可知球心O 与ABC ?外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ?和

Rt OO A ?'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】

设O '为ABC ?的外心，如下图所示：

由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=

ABC ?为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥ OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ?和Rt OO A ?'中，由勾股定理得：

22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()2

363x x R +-=+=

解得：3x =，3R =∴球的体积为：34

3233

V R ππ==

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.

3．C

解析：C 【解析】【分析】

取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】

取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =

，EF ∥VB 且1

EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =，所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ?平面PDEF ，PD ?平面PDEF ,由线面平行的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又

22DE AC VB PD =

==，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.

4．D

解析：D 【解析】

分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，

∵PA 的斜率为

4031--- =﹣1，PB 的斜率为20

--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．

点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.

5．B

解析：B 【解析】化简圆

到直线

的距离

，

又

两圆相交. 选B

6．B

解析：B 【解析】【分析】

设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222

128d d MO +==，

22121

216162S AC BD d d =

?=--，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2

1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.

()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.

222222121211

222161622

S AC BD r d r d d d =

?=?--=--2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.

故选：B . 【点睛】

本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.

7．B

解析：B 【解析】【分析】

根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】

由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ?中，2

(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2

220,(0,1)e e e +-=∈，

解得212

312

e -+=

=-，故选：B 【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.

8．D

解析：D 【解析】【分析】

利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】

A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；

B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α?，所以该选项不正确；

C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β?，所以该选项不正确；

D. 若α∥β，a α?，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D 【点睛】

本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．D

解析：D 【解析】

该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为

,选D.

10．C

解析：C

【解析】

【分析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．

【详解】

正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，

P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，

⊥成立，故A错误；

在A中，不存在点G，使PG EF

⊥成立，故B错误；

在B中，不存在点G，使FG EP

在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；

在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．

11．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，

下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，

故该几何体的表面积是20＋3π，

故选A.

考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.

12．B

解析：B

【解析】

试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质

二、填空题

13．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=

【解析】【分析】

因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】

因为直线2x-3y+9=0的斜率为

23 ，所以直线l 的斜率为3

2- ，则直线l 的方程为：3212

y x -=-+（），化简得3210x y +-=.

即答案为3210x y +-=．【点睛】

本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．

14．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心

解析：

523

【解析】【分析】如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解. 【详解】如图所示：

设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==??=，解得3d =

作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ?的外心，所以123

CO =

，所以2

23133)33R ??=+= ? ???

，

所以球O 的表面积为2

5243

R π

π=. 故答案为：523

【点睛】

本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

15．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD

解析：②③④ 【解析】【分析】

作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】

作出如图的图象，E 是BD 的中点，易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角

对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；

对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；

对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；

对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；

对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D

--的平面

角，又BH=DH=

AC,BD=2,

AC cos∠BHD=-

故二面角B AC D

--不是120?

综上知②③④是正确的

故答案为②③④

【点睛】

本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．

16．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角

解析：

5 【解析】【分析】

点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于

F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平

面ADE 的距离. 【详解】

由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ?=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，15

1,,22

AB BE AE ==

，所以1122AB BE AE BF ??=??,解得5

BF =

【点睛】

本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.

17．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故解析：()4,2-

【解析】【分析】

先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得

()4,2-的对称点，由此得出结论.

【详解】

已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则81

6102

AB k =

=---.

∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-，化为20x y -=.

设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，

则2214422022b

a b -??=-??--?-++??-=??

，解得42a b =??

=-?. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】

本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.

18．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【

解析：3π. 【解析】【分析】

当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】

解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3

，||OE = 当过点E 的平面与OE

垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=?=，故答案为：3π．【点睛】

本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．

19．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直

解析：????

【解析】【分析】

先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】

解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；

设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=，

∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=

化简得：2200020x y x +-=，

因此点p 为2

20x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．

所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径

∴

解得：[k ∈

故答案为[k ∈ 【点睛】

本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．

20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面解析：

【解析】【分析】

作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】

设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ?中

2EF =，3BE ==，所以2

sin 3

EF EBF BE ∠=

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.

三、解答题

21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60 【解析】

试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ?=，连接OH ，先证明

//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .

（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ?=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解. 试题解析：

（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ?=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，

2,AB DE G =为AC 的中点

可得//,DF GC DF GC = 所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点

所以//OH BD

又OH ?平面,FGH BD ?平面,FGH 所以//BD 平面FGH ．

证法二：

在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF = 所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF

在ABC ?中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以//GH AB

又GH HF H ?=，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ?平面ABED 所以//BD 平面FGH （Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF = 在三棱台DEF ABC -中，

G 为AC 的中点

由1

DF AC GC =

=，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此//DG CF 又FC ⊥平面ABC 所以DG ⊥平面ABC

在ABC ?中，由,45AB BC BAC ⊥∠=，G 是AC 中点，所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直,

以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -

所以())()

()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G B

C D

可得()

22,0,2,122H F ?? ? ???

故()

22,,0,0,2,1GH GF ??== ? ???

设(),,n x y z =是平面FGH 的一个法向量，则

由0,

{0,

n GH n GF ?=?=可得0{20x y z +=+=

可得平面FGH 的一个法向量(1,1,2n =- 因为GB 是平面ACFD 的一个法向量，(

)

2,0,0GB =

所以21

cos ,2

22GB n GB n GB n

=? 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60 解法二：

作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥ 又FC AC C ?= 所以HM ⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥

所以MNH ∠即为所求的角

在BGC ?中,12//,,22

MH BG MH BG == 由GNM ?∽GCF ? 可得

,MN GM

FC GF

= 从而66

MN =

由MH ⊥平面,ACFD MN ?平面ACFD 得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM

MNH MN

∠=

=所以60MNH ∠=

所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60.

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.

22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16 【解析】【分析】【详解】

（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，42,4GC CF ==

得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=，所以5EF =，在EFG 中，

有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，

得CF ⊥平面EFG ，所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面

CFG ;

（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则12

EG GF GH EF ?=