初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式
形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1
3,
,0.02,02
等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）
；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2
a =（0a ≥），
如2
2211
22);
);)33
x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .
（3
a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4
2
的异同
a
可以取任何实数，而2
中的a 必须取非负数；
a
，2=a （0a ≥）.
相同点：被开方数都是非负数，当a
2
.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.
显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法
（1）乘除法法则： 类型 法则
逆用法则
二次根式的乘法
0,0)
a b =≥≥
积的算术平方根化简公式：
0,0)a b =≥≥
二次根式的除法
0,0)a b ≥>
商的算术平方根化简公式：
0,0)a b =≥>
要点诠释：
（1
）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
≠. 2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.
【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三
【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②
22
33x x x x
--=
--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴Q
≤0.)
② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴Q ≥2≤3x <)
2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.
【答案】 1.
【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，
所以21x x +-=x +1-x =1.
【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三
【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.
A.a ab --
B. a ab -
C. a ab
D.a ab -
【答案】A.
3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.
1448a
b
44a +
【答案】A.
【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；
（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算
4．下列计算错误的是（ ）.
A. 14772?=
B. 60523÷=
C. 9258a a a +=
D. 3223-= 【答案】 D.
【解析】选项A ： 14714727772?=?=??= 故正确；
选项B ：605605123423÷=÷==?=，故正确；
选项C
925358a a a a a +=+=故正确；
选项D ：32222-= 故错误.
【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48
(
54453)833
-+? 【答案】243610-.
5.化简20102011(32)(32)?. 【答案与解析】
201020102010
=(32)32)(32)(32)32)32)
132)3 2.
????=????=?=原式
【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.
6 已知2
2
31,12x x x x
=-+求.
【答案与解析】
2231,1=30,(1)13133
31=
3
x x x x
x x x =∴->∴=
--++==
Q 原式当时，原式
【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三
【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求
a
b b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b
11+=
=-(+)=-=3--ab ab a b
b a b a ab
∴+原式.