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经典的数学建模例子1

经典的数学建模例子

一、摘要

SARS

SARS就是传染性非典型肺炎,全称严重急性呼吸综合症(Severe Acute Respiratory Syndromes),简称SARS,是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状,严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭,是一种新的呼吸道传染病,传染性极强、病情进展快速。

当一种传染病流行的时候,会给人们的工作学习带来很大的不变,能有效地进行隔离、预防,会大大减少人员的得病率,当一种传染病开始流行时,在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线,如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期,及时的隔离预防。那会给社会人力带来很大的方便,当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失,因此本论文就以SARS为例,来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。

二、正文

1、模型的背景问题描述

SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

要求:(1)建立传染病传播的指数模型,评价其合理性和实用性。

(2)建立一个适合的模型,说明为什么优于问题1中的模型;特别要说明怎样才能

建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里?对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:提前或延后5天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计。表中提供的数据供参考。

(3)说明建立传染病数学模型的重要性。

2、模型假设

(一)答;

从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋势5月20到6月1日增长缓慢,6月1日到6月12日总数几乎不变。其形式与生物学中真菌繁殖总数相似。

从表格和准备中,作如下假设。

1、不考虑SARS在人体中的潜伏期,也就是说当人一旦传染就表现出来立即就具有传染

性。

2、当健康者满足一地条件时,健康者才被传染。

3、整个发病期间为自然状态也就是无人为外界干扰,政府等其它形式进行隔离预防。

4、忽略特殊情况,如个别人体质弱或强的。

假定初始时刻得病例数为M0。平均每位病人每天可传染N个人,可传染他人的时间为T 天。则在T天内,病例数目的增长随着时间t(单位天)的关系是;

M(t)=M0(1+N)t

如果不考虑对传染期的限制则病例数将按照指数规律增长考虑,当传染期T的作用后,变化将显著偏离指数规律,增长速度会放慢。把达到T天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉,为了方便,从开始到高峰期间,均采用同样的N值,(从拟合这一阶段的数据库定出),到达高峰之后在10天的范围内逐步调整N值,到比较小,然后保持不变,拟合后在控制阶段的全部数据。

评价及其合理性和实用性;

本模型主要有三个参数M0、N、T,且都具有实际意义。T可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限,在此期限后失去传染能力,可能原因是被隔离、病愈或死去等等。N表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数(但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率)。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征:传染期T和传染率N,反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。

模型灵活

通过调整M0、N、T值,就可以描述不同地区,不同环境下SARS的初期传播规律预测准确

通过模型对表格的调查结果进行了分析,得到的预测值与实际统计数据较接近。可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。

预期模型的缺点:

1、对于如何确定对于三个参数M0、N、T,未给出一般的原则或算法,只能通过对

于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述,N值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率,虽然简化了运算,但是在现实情况下,不同地区的N 值是不同的。在实际应用中,如果没有一定量的数据,是无法得出N值的。在我们对该模型

进行拟合事发现,对于M0 、N 、 T 作者未给出调整的标准和相关理论,所以我们很难重复该求解过程。

2、当需要对某一地区进行疫情分析时,还需考虑到该地区相对于表格所给的人群这类人口密集,人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的N 值不同(如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病,初期的N 值会比人口密度和人口流动小的城市大,等等),而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可能导致预测结果相差较大。

综上所述,该模型能较好的反映SARS 传染的特征性,具有一定的实际意义。但是,参数的取值包含有一定的主观因素,且需要大量的数据进行拟合,且未给出调整的标准和相关理论,在实际应用中实用价值不大。

(二)答:

模型假设

1、在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变,既不考虑生死,,也不考虑迁移。人群分为易感染者和已感染者两类,时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记为s (t )和i (t )。

2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ,k 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染为病人。

问题分析

根据假设,可知,人群分为两类,一是健康者,二是病人,只要一类人群随时间的变化规律知道,这另一类人群也可马上求解。由于传染病过程中通常取病人为研究对象,所以决定求解病人随时间的变化规律。

3、模型分析、建立

对于t 时刻,病人的增加率为kNsi ,即

N kNsi dt

= (1) 又因为

S (t )+i (t )=1 (2) 再令初始时刻的病人比例为i0,这 (1),(0)0di

ki i i i dt

=-= (3) 显然此为logistic 模型,它的解为 1

()1(1/01)kt

i t i e -=

+- (4)

参数的确定

通过对图表的累计病例数用spss 进行曲线拟合,结果如下

可得拟合的函数关系式为

1/25250.001(0.865)t

y =

+,y=N*i

通过取一系列t 来估计出相应的k 值,结果如下时间 20 30 40 50 60 k 值大小 0.1919 0.1763 0.1685 0.1638

0.1607

由图像可知,当t 较大时,曲线拟合的数据与实际测量值越接近,所以就取t=60时所对应的k 值,即0.1607。此值可以近似看做当政府没有采取措施,即传染病的自然传染能力大小。但同时根据附件1的求解方法,我们计算了4月20日到4月29日期间每日的k 值大小,再求平均,得k =0.169346。对于k 和k 之间的差异,这是由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后k 值将改变,且k1>k2。所以由于k 只考虑控制前,所以比k 要略大,我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时,取值为k =0.169346。但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者,所以在模型1的基础上进行改进,建立了模型2。模型2

在模型1的假设条件下增加的条件为,

1,每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p 。病人治愈后由于获得了免疫能力,同时也由于心理作用,更加保护自己,所以可以假设治

愈后再次感染的几率为0,且该种人群在总人群中所占有的比例为u (t )。不难看出,考虑到假设3,模型1中的(1)式应修改为

,(0)0di

N kNsi pNi i i dt

=-= (5)

而且对于健康者,其增加率为

,(0)0ds

ksi s s dt

=-= (6) 对于移出者而言,其增加率为

N pNi dt

= (7) 由于人群只由健康者,病人和移出者组成,所以

S(t)+i(t)+u(t)=1 (8)

4、模型求解

查资料,得到2003年北京市市区总人口数目为698.8万人

从而可以得到初始条件i0= 339/(698.8*10^(-4))=4.851*10^(-5 ) ,s0= 0.99995149(取4月20号为初始条件)

同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计,求得每日的移出率p ,在求平均值得到p =0.05121。在模型一中求得k =0.169346;将上述参数代入(5)式和(6))式,求得数值解和绘制的图像

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

0.050.10.150.20.250.30.35

050

100150200

0.5

1.5

2.5

时间

能感染的病人数

由图像可得i (t )随时间的推移先逐渐变大,之后变小,趋向于0,s(t)随时间的推移而逐渐减小,根据常识,一种传染病中的病人比例最终是为0,由此模型2还是比较符合客观事实的,但从图像中大致可以判断i (t )=0时大约要经过225多天。这与实际过程中大约经过100多天北京的SARS 就平息存在较大误差,仔细分析,我们发现该模型忽略了SARS 的潜伏期,实际上健康人与SARS 患者接触后虽然被感染了,但还处于潜伏期,没有传染能力。所以将模型2进行改进,得到模型3。模型3 模型假设

1,将人群分为四类,分别为健康人群,能感染的病人SARS ,SARS 潜伏者和移出者(包括SARS 的死亡者和治愈者),他们在人群中的比重分别为 s(t),i(t),w(t),u(t);其中已确诊病人和SARS 潜伏者统称为SARS 病毒携带者,记为x1(t ),表示其t 时刻的人数,人口总人数为N 。

2 ,每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ,k 称为日接触率。当病人与

健康者有效接触时,使健康者受感染为病人。

3, SARS 潜伏者无传染能力,但最终会成为病人,具有传染能力。

问题分析

该模型比起模型2更为复杂,在该模型中还必须将SARS 病毒携带者分为两类,显然增加了计算难度,在此中还应该考虑潜伏周期T 。模型求解

在t 时刻SARS 病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t) (9) SARS 病毒携带者的增长率为

1()

()()()dx t Ni t ks t Ni t p dt

=- (10) 健康人的增长率为

()()ds

i t ks t dt

=- (11) 移出者的增长率为

ip dt

= (12) 潜伏者的增长率为

()

()()()()dw t i t ks t i t T ks t T dt

=--- (13) 确诊病人的增长率为

()()

()di t dw t T i t p dt dt

-=- (14) 除此之外,还有一条公式,为

S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1 (15) 由(9)到(16)式联立,可得到()

()()()di t i t T ks t T i t p dt

=--- (16) 将(14)和(17)式联立,可得

()

()()dw t T i t T ks t T dt

-=-- (17) 将t-T 用t 代替,可得

()

()()dw t i t ks t dt

= (18) 在对(16)式两边对t 进行求导,可得

()()()()0d s t d i t d w t d u t

d t d t d t d t

+++= (19) 结合(11),(12),(18)可求得

()

()di t i t p dt

=- (20) 最终对(11),(18),(20)联立的方程组进行数值求解,可得图像如下

数学建模

-0.20

0.20.4

0.6

0.8

1.2

00.05

0.1

0.15

0.20.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

SARS 疫情传播的数学模型与预测

00.5

1.52

2.53

3.5

时间能感染的病人数

从图像中我们可以观察到在300多天时i (t )会接近于0,这比模型2还要久,,因此,我们还把政府的干预考虑进来,也就得到了模型4。

由于时间限制,模型4中考虑的因素更多,所以一时没能解决,也就导致了第二问实际上还不能完全解决,但是我们已经有了思路,即再引入一类人群,就是隔离人群,通过引入该人群,实际上是改变了病人的有效接触人数k ,我们根据4月29日之后的实际数据,求得每日的k 值,再求平均,得2k =0.019413;我们想采用分段函数,即确定一个时刻t ,k 值

改变的时刻,在这个时刻前与后都可以适用模型3。只是在考虑t 时刻后,它的初始条件为4月29日的数据。通过t 的改变,可以解决第二问中政府早五天调控和晚五天调控的差别。

5、模型的应用与推广

模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。

数学建模就是指对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。其意义在于用数学方法解决实际问题。

能够合理有效地建立数学模型不仅在工业,商业,医疗卫生都有很大帮助。就拿SARS 而言,它可以使人们有效地采取方案措施进行解决。可以高效,高质的完成事务。它是从一个定量的角度分析解决问题,去解决人类的实际问题。对人类的生活带来很大方便,能够很好的利用数学建模去解决生活生产,在科技方面也有很大的帮助。用它去解决人们的生活生产会给人力带来很大的帮助,有效地解决实际问题。感谢老师给了我们这次机会,通过这次学习对建模也有很大的乐趣 ,我会继续学习去解决更多实际问题为学习和生活带来方便。

数学建模