公式法(完全平方公式分解因式).doc

15.4. 3公式法

--- 运用完全平方公式分解因式

教学目标

（1）在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用完全平方公式对多项式进行因式分解.

（2）在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.

（3）进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识. 教学重点与难点

重点：运用完全平方公式法进行因式分解.

难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.

教学设计

复习回顾：

完全平方公式：（0+。）2=6?+2沥+屏，（ci—bf-a —2沥+。

2.

两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。

探究思考：

你能将多项式W+2汕+疽与a^-2ab+b2分解因式吗?

这中个多项式有什么特点? （白+》）2=白2+2

a2+2ab+b2=(a+b)2a

—2ab+b2=(a —b)2

中间一 沥+。2,

（。—A ）」。?—2ab+b 1

.

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两 个数的和（或差）的平方.

建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这 两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受， 教师要把重点放在研究公式的特征上来.

形如 a 1 + 2ab*b ，, a 2 -2ab + b 2的式了称为完全平方式.

议一议 完全平方式的特点：

1、必须是二次三项式

2、其中首末两项分别是两个数（或两个整式）的平方,

项是两个数（或两个整式）的积的2倍（或-2倍）

曰诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央

注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式 的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究.然后 交流各自的体会.

例1、分解因式

（1）1 6X 2+24X +9 （2）-x 2+4xy-4y 2 ⑶ ^2+3xy + 9/ 注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说 和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公 式的方向转化.

例2、分解因式

(2) (G+0)2-12 (o+Z?) +36

(1) 3 ax^+6 axy+3 ay2注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公

课堂练习

(1) a 2-

6ab+9b 2(4)8x 2y-

24xy 2

+18/

式的形式和特点上进行比较.(可把心人看作一个整体，设

第2小题注意渗透换整体和换元的思想.

/ 、 r 1 (2) - 9/T72 + 6mn - n 2 ⑶厂+尤 +二 4 (5)(2%+)02 一6(2工 + y) + 9

拓展提高

例3、多项式:3+y)2.2(『y2)+3-y)2能用完全平方公式分解因式吗？ 分析:(x+y)2-2(x 2-y 2)4-(x-y)2=(x+y)2-2(x+y)(x-y)4-(x-y)2

符合完全平方式的形式，所以可以用完全平方公式分解因式。 此题旨在培养学生观察，比较和分析判断的能力。

例4、若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则右。

分析:完全平方式形如：a 2±2ab -^b 2，即两数的平方和与这两个数乘积 的2倍的和(或差).

9x 2+Axy+36y 2=(3x)24-h:>,+(6y)2 kxy- ± 2?3x ?6y= ± 36xy

七±36

注意：k 值有两个，分正负两种情况，培养学生思维的严谨性. 练习：若齐(奸3)工+9是完全平方式，则妇 o

课堂小结：

完全平方公式的特点：

1、 左边是一个二次三项式。

2、其中首末两项分别是两个数(或两个整式)的平方，这两项的符号相同；中间一项是两个数（或两个整式）的积的2倍，符号正负皆可。

3、右边是两个数（或两个整式）的和（或差）的平方。

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

用平方差公式分解因式

教学内容使用平方差公式分解因式 目标知识 技能 1.了解使用公式法分解因式的意义. 2.知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因 式. 3.分解因式要分解到不能再分解为止. 过程 方法 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察水平. 2.训练学生对平方差公式的使用水平． 情感 态度 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了 解换元的思想方法. 教学重点掌握使用平方差公式分解因式. 教学难点灵活使用平方差公式，解决实际问题． 学情分析学生已熟练掌握乘法公式中的平方差公式,为本节课的的教学奠定了良好的基础。学生基本掌握良好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了一定的良好条件。 教学方法启发式教学 教学准备多媒体 教时安排1课时 教学流程学法指导备注一、复习旧知 1．提问：1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为 二、探究新知 1．探索练习 “数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计算器，你能计算出来吗？教师引导学生回顾， 学生积极回答. 教师提出问题,学生 认真思考大胆回答。 学生思考回答问题． 弄懂整式乘法中的 平方差公式与因式 通过复习 上节课所 学的平方 差公式内 容,为探索 用平方差公 式分解因式 做准备。 通过情境， 引出新知 识，激发学

4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=2 1，求x －y 的值。 四、小结归纳 1.明确分解因式的顺序是： 先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止． 2.使用平方差公式分解因式的步骤： ①先写成平方的形式；②再写成和与差的积． 纠正讲解。 学生总结，教师强调。 让学生准确使用平方差公式法实行分解因式，对所学知识心中有数。 板 书 设 计 15.4.2用平方差公式分解因式 1、平方差公式与因式分解中的平方差公式的联系与区别． 3、例题讲解 2、使用平方差公式分解因式的步骤 4、学生练习 教 学 反 思

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)教学内容

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方 差公式)

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.29y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222x y z - 7.2240.019m b - 8.2219a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22(32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.229()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.224()a b c -+

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.224ax ay - 3.322ab ab - 4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2(25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

因式分解——完全平方公式

14.3.2公式法（完全平方公式） 一、内容及内容解析 1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。 2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14. 3.2公式法的内容。主要是利用完全 平方公式进行因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其 是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因 式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。 二、目标及目标解析 1.目标： （1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式； （2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 2.目标解析： 达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式 的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。 达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并 且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。从而培养学生的观察和联想能力。 再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。 三、教学问题诊断分析 在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因 式分解。这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式， 再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。 在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生 尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。另外，平 方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 四、教学过程设计： ●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结 ●教学情景： （一）课前回顾： 1.因式分解的定义: 把一个（）化成几个（）的积的形式。 练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ； 因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底

用平方差公式分解因式

教学内容运用平方差公式分解因式 教学目标知识 技能 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因 式. 3.分解因式要分解到不能再分解为止. 过程 方法 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力． 情感 态度 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了 解换元的思想方法. 教学重点掌握运用平方差公式分解因式. 教学难点灵活运用平方差公式，解决实际问题． 学情分析学生已熟练掌握乘法公式中的平方差公式,为本节课的的教学奠定了良好的基础。学生基本掌握良好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了一定的良好条件。 教学方法启发式教学 教学准备多媒体 教时安排1课时 教学流程学法指导备注一、复习旧知 1．提问：1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为 二、探究新知 1．探索练习 “数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计算器，你能计算出来吗？教师引导学生回顾， 学生积极回答. 教师提出问题,学生 认真思考大胆回答。 学生思考回答问题． 弄懂整式乘法中的 平方差公式与因式 通过复习 上节课所 学的平方 差公式内 容,为探索 用平方差公 式分解因式 做准备。 通过情境， 引出新知 识，激发学

4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=2 1，求x －y 的值。 四、小结归纳 1.明确分解因式的顺序是： 先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止． 2.运用平方差公式分解因式的步骤： ①先写成平方的形式；②再写成和与差的积． 纠正讲解。 学生总结，教师强调。 让学生正确运用平方差公式法进行分解因式，对所学知识心中有数。 板 书 设 计 15.4.2用平方差公式分解因式 1、平方差公式与因式分解中的平方差公式的联系与区别． 3、例题讲解 2、运用平方差公式分解因式的步骤 4、学生练习 教 学 反 思

平方差公式法分解因式(1)

平方差公式法分解因式（1） 一 选择题 1.下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．a 2+b 2 B ．-a 2-b 2 C ．a 2-c 2-2ac D ．-4a 2+b 2 2.-4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A ．（0.3x+2）（0.3x-2） B ．（2+0.3x ）（2-0.3x ） C ．（0.03x+2）（0.03x-2） D ．（2+0.03x ）（2-0.03x ） 3.已知多项式x+81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a+3b ）（3b-2a ），则x 的值是（ ） A ．16a 4 B ．-16a 4 C ．4a 2 D ．-4a 2 4.分解因式2x 2-32的结果是（ ） A ．2（x 2-16） B ．2（x+8）（x-8） C ．2（x+4）（x-4） D ．（2x+8（x-8） 5.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.22b a +- B.22b a -- C.22b a + D.33b a - 6.(x ＋1)2－y 2分解因式应是（ ） A. (x ＋1－y)(x ＋1＋y) B. (x ＋1＋y)(x －1＋y) C. (x ＋1－y)(x －1－y) D. (x ＋1＋y)(x －1－y) 7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．－a 2＋b 2 C ．－a 2－b 2 D ．－(－a 2)＋b 2 8.下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、x 2＋4y 2 B 、－4y 2＋x 2 C 、－x 2－4y 2 D 、x －4y 2 9.平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ） A ．只能是数 B ．只能是单项式 C ．只能是多项式 D ．以上都可以 10.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13 a ） D ．（a 2－ b ）（b 2+a ） 二 填空题 1.已知一个长方形的面积是a 2-b 2（a>b ），其中长边为a+b ，则短边长是_______ 2.代数式-9m 2+4n 2分解因式的结果是_________ 3.25a 2-__________=（5a+3b ）（5a-3b ） 4.已知a+b=8，且a 2-b 2=48，则式子a-3b 的值是__________ 5.分解因式：①29a -= ；②3x x -= ③22 49a b -= ； ④2422516a y b -+= ；⑤3375a a -= ；⑥39a b ab -= ⑦44x y -= ；⑧2224m m n -= ；⑨42(53)x x -+= ； ⑩225(21)n -+= ；○114481x y -= ；○122199 a -+= 6.若1004,2a b a b +=-=，则代数式22 a b -的值是 7.式子851-能被20～30之间的整数 整除 8.已知x 2－y 2=-1， x+y=0.5，则x －y= 9.两个连续偶数的平方差能可以被偶数 整除 10.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 三 解答题 1.分解因式 (1)24x - (2)29y - (3)21a - (4)224x y - (5)2125b - (6)222 x y z - (7) 2240.019m b - (8)2219 a x - (9)2236m n - (10)2249x y - (11)220.8116a b -

利用完全平方公式因式分解(教案)

4.3.2利用完全平方公式因式分解 授课时间：2019.4.11下午第二节指导老师：陈平老 师 授课班级：八年（1）班授课教师：邱振荣老师 授课地点：M1春晖楼阶梯教室级别：区级 一、教学目标： (一)知识与技能： 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.理解并掌握完全平方式的概念、特征，会用完全平方公式分解因式. 3.清楚地知道通常情况下提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用公式法进行因式分解. (二)过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展逆向思维和推理能力. (三)情感态度与价值观： 通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识，体验数学的化归转化思想. 二、教学重点： 掌握用完全平方公式分解因式. 三、教学难点： 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式. 四、教学方法： 问答法、讲授法、练习法、演示法 五、教学用具： PPT 六、教学过程： 第一环节练习引入 1.把下列各式因式分解： （1）x2–2x；（2）x2–1 ；（3）x2–2x+1 . 2.回顾（乘法公式）完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 第二环节探究新知 1、引导学生把上述完全平方公式反过来： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 2、“公式法” 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式（如平方差、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 3、探究：完全平方式 (1)形如a2±2ab＋b2的多项式称为完全平方式. a2 ± 2·a·b ＋ b2 ? ? ? ? ?

利用平方差公式分解因式

利用平方差公式分解因式

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

章节与课题 利用平方差公式分解因式 课时安排 1 课时 主备人 王 丹 审核人 使用人 使用日期或周次 学习目标: 1. 使学生进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法。. 2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 学习重点: 学习难点: 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 学习过程 学习要求 或学法指导 教师 二次备课栏 自学准备与知识导学： 1、情景设置： 问题1：你能很快知道1992-是100的倍数吗？你是怎么想出来的？ 问题2：从上面()()199199+- =1992-容易看出,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式? 2、计算下列各式: ⑴ ()()22-+a a =___________________ ⑵ ()()b a b a +- =___________________ ⑶ ()()b a b a 2323-+ =___________________ 下面请你根据上面的等式填空: ⑴ 42-a =___________________ ⑵ 22b a - =___________________ ⑶ 2249b a - =___________________ 问题：对比以上两题，你有什么发现？ 3、把乘法公式()()b a b a -+=2 2b a -反过来就得到__________________，这个等式就是因式分解中的平方差公式.它有什么特征？ 二、引导自学 初步达标 (约5分钟，独立完成) 自学课本116页——117页思考下面问题：(读书思考：) 1.因式分解中的平方差公式与乘法公式中的平方差公式有什么区别和联系？ 2.能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？分解后的结果是什么？ 3.应用平方差公式分解因式应注意什么问题 三.预习检测： 下列多项式可以用平方差公式分解吗？若能分解，请分解因式： （1）x 2－y 2 ；（2）x 2+y 2 ；（3）－x 2－y 2 ；（4）－x 2+y 2；（5）64－a 2 ； 等式的左边 是两数的平方差，右边是这两个数的 和与这两个数的差的积， 利用它可以 把形式是平方差的多项式分解因式.

平方差公式法因式分解

平方差公式法因式分解教学设计 【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解 第三节公式法第一课时内容。 【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒 等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！ 【学情分析】 学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出 a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式 分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等 能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。 【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为 指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。 【教学目标】 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。 【教学重点】 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分 解因式。

利用完全平方公式因式分解

15.5.２利用完全平方公式因式分解 一、回顾 与 思考 、因式分解的方法有 种，分别是 2、提取公因式法 ma+mb+mc= 3、平方差公式法 a 2-b 2 = 4、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？ 5、分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解. 分解因式 2222 41(1)49 (2)(3)94(4)1625 a x x y x -- --+ 6、 二、新知: (1) a 2＋2ab ＋b 2 (2) a 2－2ab ＋b 2 三、探究： 完全平方公式：()2 22 2a ab b a b ++=+ 公式应用的特征:左边 ： 结果： 四、练一练 1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式分解?若是,请找出相应的a 和b. 22222(4)44 (5)14(6)441(7)a a a b b a ab b -+++-++ 五、例1:把下列各式因式分解 例2：分解因式22(1)363ax axy ay ++ （2）2()12()36a b a b +-++ 六、练一练 1、分解因式 七、灵活运用 1、已知51 =+x x ，那么221x x +=_______。 2、12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。 3、分解因式()()49142 ++-+y x y x =____________________。 八、随堂检测 () 2 __________________ a b +=() 2 __________________ a b -=() 2 222a ab b a b -+=-()211236x x ++()2222y x xy ++-()2 223y x xy +--()211236x x ++2(2)16249 x x ++()22 344x xy y -+-()()22221123622(3)21 y y xy x y a a ++---++()()2223 22 444152(6)363x x ax a x a x xy y -+++-+-()()()2 22 2211236 22(3)21 4441 a a a b a b x x y y ++---++-+

平方差公式在因式分解中的五种表现(1)

平方差公式在因式分解中的五种表现 应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。 公式表述为： a2- b2=（a+b）（a-b）。 应用平方差公式满足的条件： 等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算； 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。 1直接应用 例1、分解因式：24 x-=．（2008年贵阳市） 分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2- 22，这样，就和公式一致了。 解:：x2-4=x2- 22=（x+2）（x-2）。 2、提后用公式 例2、分解因式：3x2-27= ．（08茂名） 分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。 解： 3x2-27 =3（x2-9） =3（x2- 32） =3（x+3）（x-3）。

3、变化指数后用公式 例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？ 分析 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。 解： 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2， 所以，248-1=（224）2-（1）2=（224+1）（224-1） =（224+1）（224-1）=（224+1）【（212）2-（1）2】 =（224+1）【（212+1）（212-1）】 =（224+1）（212+1）【（26）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）【（26+1）（26-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23+1）（23-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）×9×7 =（224+1）（212+1）（26+1）×65×63 因为，整除的两个数在60和70之间， 且60＜63＜70，60＜65＜70， 所以，这两个数分别是63、65。 4、先局部用完全平方公式，后整体用平方差公式 例4、若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a2-2ab- c2+b2的值： A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、与零的大小无关

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

平方差公式因式分解练习题)

因式分解练习题 （平方差公式） 姓名班级 1. x2－16 （2）－x2+y2 > （3）64－a2 （4）4x2－9y2 （5）36－25x2 } （6）16a2－9b2 （7）4 9m2－ " （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 [ （11）4a2－16 （12）a5－a3 （13）x4－y4 ） （14）32a3－50ab2 (15)36 492- c （ 16） 256 9 4 2n m - (17)9 25 .02 2+ -m a \ (18) n x2 4-

(19)1)(2 -+b a 22 94)20(y x - — 2 2 1681.0)21(b a - 22 01.09 4)22(-m (4) 2 3)1(28+-a a a … (5) ()2 2 4a c b +-- （6）44161b a - （ （7）()()2 2 23n m n m --+ (8)()2 24y x z +- (9) ()()2 2 254y x y x +-- ~ (10)()()2 2c b a c b a -+-++ (11)()()b a b a +-+43 36－25x 2 16a 2－9b 2 （ 29a - 3x x - 2249a b - 2422516a y b -+ — 3375a a -

39a b ab - 44x y - （1） 36－x 2 ： （2） a 2－91 b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 ] （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） (x+y)2－(x －y)2 ) （9）22 ()()a b c a b c ++-+- （10）2 2(2)16(1)a a -++- （1）a 2-144b 2 （2）πR 2-πr 2 （3）-x 4+x 2y 2 。 （4） 16x 2-25y 2 （5） (a+m)2-(a+n)2 （6） 75a 3b 5-25a 2b 4 （7）3（a+b ）2-27c 2

初中数学 完全平方公式因式分解 专题复习练习题 含答案

用完全平方公式因式分解 专题复习练习题1．下列各式是完全平方式的是( ) A．x2＋2x－1 B．9＋x2－3x C．x2＋xy＋y2 D．x2－x＋1 4 2．已知x2＋4mx＋16是完全平方式，则m的值为( ) A．2 B．±2 C．6 D．±6 3. 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( ) A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2 C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2 4. 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( ) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 5. 分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 6. 若a＋b＝3，则2a2＋4ab＋2b2－6的值为( ) A．12 B．6 C．3 D．0 7. 计算1002－2×100×99＋992的结果为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 8. 已知a＝2 014x＋2 015，b＝2 014x＋2 016，c＝2 014x＋2 017，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 9. 不论x，y为任何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是( ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 10. 在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单

项式是__________________．(写出一个即可) 11．若x 2－14x ＋m 2是完全平方式，则m ＝__________． 12. 在括号内填上适当的因式： 25x 2＋10x ＋1＝( )2 13. 如图，利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解 的公式为_______________________________ ． 14. 因式分解： －4a 2＋4a －1 15. 把下列各式分解因式： (1)(x ＋y)2－4xy ； (2)a 4－b 4. 16. 因式分解： a 2 b －4ab ＋4b 17. 若ab ＝，a ＋b ＝，求多项式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．3854

因式分解的平方差公式

14.3.2公式法-运用平方差公式分解因式 教学目标 知识与技能 1. 能进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法。. 2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 过程与方法 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观 在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验整体思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 教学重点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。 教学难点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 教学过程 一、复习引入 A、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1）(2x-1)2=4x2-4x 2） 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 3）4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 设计意图：通过判断这几个变形是不是因式分解，进一步了解因式分解的定义，也为这节课要学习的a2 -- b2的多项式应该分解为整式的积的形式做一铺垫 B、把下列各式进行因式分解: 1）a2 --ab 2）a2 -- b2 设计意图：有2个，1、复习提公因式分解因式2、由多线式a2 –ab变为 a2 -- b2没有公因式时又怎么分解呢，即用旧知识解决不了的问题引出学习新知识的必要性 C、 a2 -- b2 教师引导由整式乘法与因式分解的关系，你能想到a2 -- b2应分解为什么吗？说出你是怎么想的 这一问题的提出给了学生思考的方向，同时也是用旧知解决新知 二、合作交流，探索新知 学生相互讨论下列问题： （1）用语言怎样叙述公式？ （2）当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？ （4）、根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？ 【设计意图】引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。） 三指导运用，巩固知识。 1、填空： (1)a6=( )2; (2) 9x2=( )2; (3) m8n10=( )2;

用完全平方公式因式分解练习

用完全平方公式因式分解练习 例1（1）把229124b ab a +-分解因式． （2）把2 2816y x xy +-分解因式． （3）把2 411x x ++分解因式． （4）把xy y x 4422-+分解因式． - 练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t （6）．4 12 r r +- （7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +- ~ 例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n n m m （ 10）．222n m mn -- ! （11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+

练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+- % (15)21 222+-x x (16)161)(21)(2+---y x y x (17)n n m m y y x x 2245105-+- 例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a (19) ．2)(4y x y x -- ] 练习：把下列各式分解因式： (20)．222)41 (+-m m (21) ．222224)(b a b a -+ — (22)．)(42s t s s -+- (23) ．1)3)(2)(1(++++x x x x

例4(24)．已知05422 2=+++-b b a a 求b a ,的值． # 【课堂操练】 一．填空： （25）．-2x （ ）+29y =（x - 2) （26）．+-244x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2) （28）．++22520r r =（ +52 )r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2 （30）．++22 4 1y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a ( （33）．++469n m （34）．+-x x 52 三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +- （37）．49142 ++x x （38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x 7224212+-++ ￥

平方差公式分解因式

第2课时用完全平方公式分解因式 教学目标 （一）知识目标：理解用平方差公式因式分解的概念； （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 （三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 重点与难点 重点因式分解的概念 难点认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 教法与学法及教学手段 教法为让学生体验因式分解概念产生的过程；以及概念的形成和同化相结合，促进学生对用用平方差公式因式分解的理解。我采用对比、类比、尝试教学。 学法针对教法，让学生“动手实践、自主探索、合作交流”。

教学手段利用黑板辅助教学，让学生体验用用平方差公式因式分解的过程，提高学生的学习兴趣，可以很好地体现教师在教学过程中的思路和策略。 一、以旧探新，引出课题 复习：提公因式法因式分解 1.（回顾旧知） a2 + a= a (a + 1) 2.请学生观察、比较以上2题两种代数式变形的例子，它们之间有什么区别和联系？ 整式的乘法多项式转化为几个整式的积(a+b)(a-b)= a2-b2a2-b2 =(a+b)(a-b) 给学生一定的时间思考，在小组中讨论后，得出第（1）小题是整式乘法，第（2）小题是把一个多项式化成几个整式的积的形式，左边是一个多项式，右边是几个整式的积，两者的过变形刚好相反，是因式分解。 马上点题：用平方差公式因式分解 二、初步应用，巩固新知 趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习：（1）x2-y2（2）a3b-ab （3）x4-y4 通过此练习，引导学生归纳自己对用平方差公式因式分解

《运用平方差公式因式分解》教案、导学案、同步练习

《第1课时运用平方差公式因式分解》教学设计 程设计 教学过

（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7）25(a+b)2－4(a －b)2 3.在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积。 4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y= 2 1 ，求x －y 的值。 四、小结归纳 1.明确分解因式的顺序是： 先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止． 2.运用平方差公式分解因式的步骤： ①先写成平方的形式；②再写成和与差的积． 五、作业设计 1计算： ① 22218b a - 学生通过练习巩固刚刚学习的新知 识。在此基础上加深知识的应用. 学生做题，教师纠正讲解。 学生总结，教师强调。 识，分析各项与公式中字母的对应关系，在反复练习中掌握用平方差公式法进行分解因式． 让学生正确运用平方差公式法进行分解因式，对所学知识心中有数。 ② 362-m ③ 464981y x - ④ 125 42 2-y x ⑤ 22)()(y x y x --+ ⑥ 22)(9)(16b a b a --+ 2．见课本习题 板 书 设 计

14.3.2 公式法 《第1课时运用平方差公式因式分解》教案 教学目标 1．知识与技能 会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力． 2．过程与方法 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性． 3．情感、态度与价值观 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：利用平方差公式分解因式． 2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性． 3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 教学过程 一、观察探讨，体验新知

平方差公式法因式分解练习题

课 题： 9.14公式法 [教学目标] 1 掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 2 通过知识的迁移经历逆用乘法公式，运用平方差公式分解因式的过程； 3 在应用平方差公式分解因式的过程中体验换元思想，增强观察能力和归纳总结的能力。 [教学重点] 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 [教学难点] 能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。 [教学过程] 1 复习： A 因式分解的概念是什么？ B 平方差公式用字母怎样表示？ 计算： （1）（a+3）(a-3) （2）(4x-3y)(4x+3y) 2 导入新课： （a+3）(a-3)=a 2-9 (4x —3y)(4x+3y)=16x 2-9y 2 这是我们学习的整式的乘法运算。如果上述等式左右两边互换位置，又经历了什么样的过程呢？ a 2-9=（a+3）(a-3) 16x 2-9y 2 =(4a-3y)(4x+3y) 经历了因式分解的过程。 3 新课讲解： 我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法， 像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。 今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。板书：公式法。 平方差公式反过来可得：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 这个公式叫做因式分解的平方差公式。 当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式分解因式？结果等于什么？ 如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式分解因式。它等于这两个数的和与这两个数的差的积。 例题1 分解因式： (1) 1-25a 2; (2) -9x 2+y 2; (3) a 2b 2-c 2; (4) 94a 2-25 4b 2. 练习：分解因式：242q n m +-.