阿贝尔和伽罗瓦的比较(精制甲类)

阿贝尔和伽罗瓦的比较

今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦

1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点

1．1 两人的个人基本情况比较

1．2 数学研究的成就不同

阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．

伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．

1．3 运气不同

“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”

但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．

1．4 成果的广泛性不同

阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．

但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同

“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”

“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”

1．6 心理状况不同

阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿

代数史

代数史 代数是慷慨的，它提供给人们的常常比人们要求的还要多。 达朗贝尔 过去的三个世纪中，代数在两条轨道上延续：一条是走向更高层的抽象理论，另一条是走向具象的计算方法。 约翰.塔巴克 前言 1．重视难点。 数学的难点表现在什么地方？表现在如下三个方面： 其一是概念，数学概念是从实际事物中抽象出来的，含义精确。正确地学好概念是学好数学的关键。 另一个难点是符号。可以说，数学是符号的科学。其深远意义还在于，它为其他科学，如物理学、化学等科学提供了简明语言。数学符号的作用在于它们给出了抽象概念的简单的具体化身，而且还给出了非常简单的实现各种运算的可能性。 第三难点是抽象。数学的抽象远远超过其他科学，数学的抽象度是逐步提高的。 在教学中，我们应当突出重点，分散难点，或化解难点，以利学生的理解。 2．传授理解。 对代数学来说，理解什么？我们认为，有两件事情是重要的：一件是理解代数的基本思想，一件是掌握代数的基本方法。 我们知道，代数是研究“运算”的科学。运算有两层含义：一是运算对象，一是运算或变换的规则。但是，运算对象在不断扩充，运算的含义也在变化和加深。 §1. 中学代数的主要内容 中学代数主要完成了那些成果呢？ 1．从数值运算过渡到符号运算。算术的特点是数值运算，代数的特点是符号运算。中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。 2．二元、三元一次线性方程组的解。三元一次线性方程组的一般形式是333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa=++=++=++ 为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程组，这就是实施了下面的变换： 1）互换两个方程的位置； 2）把某一方程两边同乘一常数； 3）某一方程加上另一方程的常数倍。 这些变换称为初等变换。这样，在代数里第一次出现了变换的概念。一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。 由线性方程组的理论自然地引出了2、3阶矩阵和2、3阶行列式的概念，这2

伽罗瓦理论的理解

要点： Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。（1）存在性证明与数的计算相分离；如极限值、代数学基本定理、方程的根；

（2）三次方程根的置换群和五次方程根的置换群有什么不同？3个根共有3!=6个可能的置换，5个根共有5!=120个可能的置换。为什么说方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映？ （3）方程的对称性质与有无求根公式有关系吗？ （4）GALOIS定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.问题是怎样求一个多项式方程的GALOIS群？怎样判断GALOIS群是否可解？为什么一般的五次以上方程GALOIS群不可解，但是某些特殊的五次以上方程有根式解？x^n-1=0可用根式解，它的n个根是？ （5）假设一个多项式方程有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足一定关系.五次以上的方程这个关系不一定满足.那么这个关系是什么呢？ （6）阿贝尔定理：如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数． （7）怎样构造任意次数的代数可解的方程？怎样判定已知方程是否可用根式求解？怎样全部刻画可用根式求解的方程的特性？ （8）一个方程究竟有多少个根？如何预知方程的正、负、复根的个数？方程的根与系数的关系如何？方程是否一定有根式解存在？ （9）方程本身蕴涵的代数结构： 方程根的置换群中某些置换组成的子群被伽罗瓦称之为方程的群（伽罗瓦群），伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群。那么某些置换是哪些置换呢？ 四次方程x^4+p*x^2+q=0的四个根的系数在方程的基本域F中有两个关系成立：x1+x2=0,x3+x4=0.在方程根的所有24=4!个可能置换中，下面8个置换 E=(1),E1=(12),E2=(34),E3=(12)(34),E4=(13)(24),E5=(1423),E6=(1324),E7= (14)(23)都能使上述两个关系在F中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方

阿贝尔

阿贝尔 河北师范学院邓明立 阿贝尔，N．H．(Abel，Niels Henrik)1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6月卒于挪威弗鲁兰．数学． 阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲S．G．阿贝尔(Abel)是个牧师．幼时，他就显露出数学上的才能．阿贝尔的启蒙教育得自于他的父亲．但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育．1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习．起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣．15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师 B．M．霍尔姆博(Holmbo ё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．阿贝尔迅速学完了初等数学课程．然后，他在霍尔姆博的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是L．欧拉(Euler)、J．L．拉格朗日(Lagran-ge)和C．F．高斯(Gauss)的著作． 阿贝尔在学校最后两年时间里，以“初生牛犊不伯虎”的姿态猛攻一些尚未解决的最深奥的数学问题，尤其是如何求解五次方程问题吸引着他．他注意博采众家之长，在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方程已获成功．霍尔姆博与奥斯陆大学教授C·汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽．而在奥斯陆没有一个科学刊物可以发表它．后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家F·德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版． 德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去．阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子．但结果失望地发现，他的方法是错误的．另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论． 1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学．大学期间，他的数学几乎全是自学的，并把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文．1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题” 中首次 给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但较长时期没有引起人们的重视．1822—1823年冬，他还写了一篇关于函数表达式积分的长篇论文，提交给大学委员会．后来，竟被学校当局弄丢了． 1823年初夏，阿贝尔在热心的S．拉斯穆森(Rasmussen)教授资助下，有幸去哥本哈根拜见德根及其他数学家．德根对他很赏识，并对他的研究给予指导．他返回奥斯陆后，又重新考虑了五次方程解的问题．这次他采取了相反的观点，终

论证阿贝尔定理错误

论证阿贝尔定理的错误 作者：江西临川江国泉 阿贝尔，伽罗瓦之所以会错，是因为他始终没有走出一个怪圈，而我找到了坚锐无比的法宝既二个数学定理，将这个怪圈捅破了。 阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数根式求解公式。这是一个错误的结论。首先，他论证的方法是错误的。是片面的。阿贝尔，伽罗瓦都是通过预解式的这种方法来论证的，这个出发点就是一个重大错误。 阿贝尔定理错误的主要原因是： 1、阿贝尔定理证明者伽罗瓦，证明过程中使用了模糊未知的一系列预解式作证据，就连预解式个数都不知道多少。请问法律上能随便指定一个不清楚事情真相的人来作证吗？ 2、伽罗瓦人为地将所有预解式系数主观判定为已知，而他却根本不知道高于五次的一元方程预解式系数究竟是多少，是多解性还是唯一性，结果造成所有预解式组成的方程组中未知数不够，使其它未知数取值范围缩小，造成只有特殊方程才能有解的假像。 3、群论有自身的适用范围。比如卡丹公式中，如果平方根式里开方根得出的是虚数，结果却反而说明这个方程有三个实数解。用群论如何解释呢？相反，我的换元配方法却能说明这个问题。 利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法 1、二个数学新定理介绍 定理A、同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，则相同解方程式必可求出。 利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。 定理B、同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。 利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。因此，我们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式等于零，这个方程必与原方程有同解。 2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。这个应用在此不作详细介绍。 2、同解方程式必可求定理论证过程 同解方程式必可求出定理 定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。 论证过程

伽罗瓦对数学的贡献

SHANGHAI UNIVERSITY 上海大学第一学年春季学期 （新生研讨课） 课程名称：数学进展中的几个案例和启示 课程号：0100Y035 授课教师：郭秀云 学号：_____13122070____ 姓名：_____曹颖_______ 所属：____理工二组____ 成绩：_______________ 评语：

论伽罗瓦对数学的贡献 曹颖（13122070） 摘要：埃瓦里斯特·伽罗瓦法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人，被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。他在21年的人生中为数学领域做出了杰出的贡献，可惜他的一生只能被称为“天才的悲剧”，令人惋惜悲叹。 关键词：伽罗瓦、群论、贡献、体会 一、引言 在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。很早就会解1次和2次方程，16世纪也成功解决了3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。而5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。 二、正文 1.伽罗瓦理论的产生背景 用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。 伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式△1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程=0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群

伽罗瓦理论

伽罗瓦理论 用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为阿贝尔方程。阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。 在伽罗瓦死去14年后的1846年，法国数学家刘维尔整理出版了伽罗瓦的手稿，人们才逐渐理解了伽罗瓦的思想。 伽罗瓦运用他的理论彻底解决了方程的根式可解问题，他的主要结论可以归结为：一个方程根式可解当且仅当他的伽罗瓦群是可解群。 诚然，对于伽罗瓦的时代来说，群论无疑太过于超前了，当时的数学家们要么完全不能理解，以至于在几十年之后，当一位大数学家看到了他的理论后，苦苦思索了3个月，才能够理解其含义；当时的数学家们要么出于某种偏见，不给予他正确的评价，短视蒙蔽了他们，使得英才早逝。伽罗瓦的生命永远的停留在了21岁，我们不敢去想象，如果他的生命再

阿贝尔和伽罗瓦的比较(精制甲类)

阿贝尔和伽罗瓦的比较 今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦 1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点 1．1 两人的个人基本情况比较 1．2 数学研究的成就不同 阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解． 伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件． 1．3 运气不同 “阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．” 但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表． 1．4 成果的广泛性不同

阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的． 但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同 “阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．” “伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．” 1．6 心理状况不同 阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿

数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一伽罗华

数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一伽罗华 伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1 832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学 家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这 些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（So lution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abe l）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可 解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于 1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西 （Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（École Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。 Galois小传： 1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。 天才的童年 1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗华街的第54号房屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特?伽罗华生于此，卒年20岁，1811～1832年”。纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗华表示敬意，于1909年6月设置的。 伽罗华的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗华童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。其父尼古拉?加布里埃尔?伽罗华参与政界活动属自由党人，是拿破仑的积极支持者。主持过供少年就学的学校，任该校校长。又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗华曾向同监的难友勒斯拜——法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”。可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗华的成长和处事有较大的影响。 伽罗华的母亲玛利亚?阿代累达?伽罗华曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗华的传记中，特别谈到“伽罗华的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。这就为伽罗华在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。

数学史上20大数学家(直播,排名) Word 文档

这里我们主要简绍从古希腊到19世纪末的20世纪初大数学家，去看看那些天才和大师们对数学的贡献和与之相关的故事。 20欧多克索斯： 最有名的希腊数学家之一。欧几里得《几何原本》中的许多命题都是他提出的，他的等比定义是现代无理数概念的主要来源。事实上欧多克索斯关于比例论的论述在现代数学家看来是很难站住脚的，但就是这样一个似乎不那么正确的理论却在很大程度上化解了第一次数学危机，使古希腊的数学得以发展，直到19世纪末人们才发现它的精妙之处。不得不说这真是数学史上的一件奇事了。 19毕达哥拉斯： 想必凡是上过初中的朋友都学过毕达哥拉斯定理（又称勾股定理），虽然这个定理的发现跟毕达格拉斯没有半毛钱关系（据说毕氏是从埃及人那里学到的），但关键是毕氏创建的毕达哥拉斯学派影响了数学的发展。毕氏学派学说认为“万物皆数”，他们崇拜数字10，遵守灵魂转世的信仰和严格的素食主义，并对音乐进行了数值的分析。但是，学派的继承者们害怕那些他们无法解释的问题，竟无情的残害了一个发现了无理数根号2的学派弟子，阻碍了无理数的发展。 18埃尔米特： 如果您厌恶考试，且不屈服于命运，那么埃尔米特一定能成为您的榜样。学生时代他曾多次因为糟糕的考试成绩被大学拒之门外；天生的残疾使他只在大学就读一年便被赶出了学校；愚蠢的官僚制度差点毁掉他最具创造力的5年时光。尽管他作为一个有独创性的数学家举世闻名，却直到他47岁才得到一个合适的职位：巴黎师范学校教授。埃尔米特的一生训练了整整一代卓越的法国数学家（其中包括庞加莱、伯雷尔）。在他的经历中，有一些事情，有可能会使那些把考试作为衡量人智力高低的可靠尺码的人们扪心自问，他们在得出结论时，是用他们的脑子，还是用他们的脚。 17笛卡尔： 与其说笛卡尔是个数学家倒不如说他是个哲学家来得贴切，cogito ergo sum(我思故我在) 便是他的名言，但这依然无法掩盖他在数学上的伟大。1619年11月10日，笛卡尔做了三个改变他人生的梦，在第二个梦中他发现自己正用科学的眼光观察着凶猛的风暴，他注意到一旦看出风暴是怎么回事，它就不能伤害他了。梦境向他揭示了一把钥匙，而这神奇的钥匙就是解析几何，这一天便是解析几何的诞生日，也是现代数学的诞生日。晚年的笛卡尔已是世界闻名了，年轻的瑞典女王克里斯蒂娜盛情邀请他给自己当私人教师，然而女王要求的每天十几个小时的授课时间，使笛卡儿的身心疲惫（呵呵…）。1650年的冬天，笛卡尔得肺炎去世，享年54岁，作了一个刚愎自用的丫头过分虚荣心的牺牲品。 16路易斯.柯西： 柯西是属于现代的第一个伟大的法国数学家，他的著作范围包括函数论，定积分，微分方程等种种题目，他在数学发现方面有特别丰富的多产能力，只被超过两次—被欧拉和凯莱超过。柯西的生活和性格像可怜的唐.吉柯德那样影响着我们—有时我们不知是该笑还是该哭，只好用咒骂来折中一下。1857年5月23日，柯西63岁时出呼意料的去世了。他在乡间修养，原指望对他的支气管病有好处，不料却发烧了，这证明是致命的。他去世前几个小时还跟巴黎大主教谈论慈善工作，他最后的话是对大主教说的：“人们走了，但他们的功绩留下了”。 15亨里克.阿贝尔： 1801年在开创数学史上最伟大的世纪的一群数学天才新星中，没有比亨里克.阿贝尔更明亮的了。埃尔米特在谈到阿贝尔时说：“他给数学家们留下了够他们忙500年的东西”。阿贝尔从他母亲那里继承了惊人的漂亮外貌，18岁时，父亲不幸去世，照顾母亲和6个弟妹的

伽罗瓦群论的诞生

伽罗瓦群论的诞生 方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根（n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1x n，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程x p-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理

伽罗瓦理论之美

伽罗瓦理论之美 伽罗瓦（évaristeGalois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。 可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。 首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify themaccording to their complexities rather than their appearance; this, I believe,is the mission of future mathematicians; this is the road I'm

embarking in thiswork.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。） 当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑 中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年，都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么，他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的？看看这些霸气的名字吧，高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……，这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论，从这个意义上讲，伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。 让我们先来看一些对比： （1）1824年，挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文，用了50多页的篇幅和大量的计算，论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来，充满着智慧和复杂的计算，但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5，而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根

谈伽罗瓦理论的漏洞

论伽罗华理论中的漏洞 在百度文库里,仔细阅读了伽罗华理论关于一元五次以上高次方程不能建立一般代数公式的论术,我发现了字里行间隐藏了不少漏洞,总结起来有以下几点 1、用猜想代替证明。 2、错误地理解牛顿对称性多项式定理。 3、站在实数的角度解释问题。 4、忽视方程换元配方可漏解的情况。 首先我们来看看第一个问题 为什么说他是用猜想代替证明,因为他所论术中的预解式根本就是猜想,他用预解式来说明问题,他必须应当说明如果能推导出公式.第一个预解式应当是什么样的结构,并且要证明只能是这样的结构。可是他什么也不清楚.更谈不上是否清楚其他预解是何种结构。就好比皇帝的新装,骗子把新衣说得如何如何美丽一样,可是大家都看不到的。 再谈第二个问题 伽罗华说所有预解式都应当符合牛顿多项式对称性定理。那么我们要问,如果有一种方法可以使方程漏解,变成不再包含所有解的方程,他还会是原来那种对称关系吗?如果你事先就认定所有预解式都必须保持对称性,说明,你未经证明就肯定了方程不会漏解。这也叫证明吗? 接下来谈第三个问题 复数的出现是由于二次及二以上方程出现而出现,可是伽罗华很少分析复数问题。阿贝尔的收剑和发散完全是站在实数角度来分析的,超越实数范围的就认为做不到。如果站在实数范围,一元三次方程也没有一般代数公式呀。因为有很多一元三次方程套用卡丹公式,结果套出了复数. 最后谈第四个问题 我们在解低次方程的时候,常要分析方程漏解的问题。可是到了高次方程伽罗华却只字未提,因为他根本就没有更好的降次方法。那么有人会问高次方程也能做到配方漏解吗?回答是肯定的,但过程是非常复杂的哟。而且是换元进行的哟。现在用事实说明高次方程在扩展到复数范围同样可以做到配方漏解。为简便说明问题, 那么一元五次方程是否也能做到换元配方的办法实现漏解吗?回答是肯定的,现在论证它的可行性。 假设X5＋a X4＋b X3＋c X2＋d X＋e =0的五个根分别为X１；X２；X３；X４；X５、分别代入方程X11＋g X10＋hX9＋jX8＋kX7＋m X6＋nX5＋rX4＋sX3＋tX2＋wX＋z=0的左边，每个根代入情况做一个因式，共５个因式相乘，即： （X１11＋g X１10＋h X１9＋j X１8＋k X１7＋m X１6＋n X１5＋r X１4＋s X１3＋t X１2＋w X１＋z）（X２11＋g X２10＋h X２9＋j X２8＋k X２7＋m X２6＋n X２5＋r X２4＋s X２3＋t X２2＋w X２＋z）（X３11＋g X３10＋h X３9＋j X３8＋k X３7＋m X３6＋n X３5＋r X３4＋s X３3＋t X３2＋w X３＋z）（X４11＋g X４ 10＋h X ４9＋j X ４ 8＋k X ４ 7＋m X ４ 6＋n X ４ 5＋r X ４ 4＋s X ４ 3＋t X ４ 2＋w X ４ ＋z）（X５11＋g X５10＋h X ５9＋j X ５ 8＋k X ５ 7＋m X ５ 6＋n X ５ 5＋r X ５ 4＋s X ５ 3＋t X ５ 2＋w X ５ ＋z）

数学家小传

数学家小传 1.欧拉小传 欧拉（L.Euler），瑞士数学家、物理学家、天文学家。他于1707年4月15日生于瑞士巴赛尔。1722年在巴赛尔获学士学位，第二年又获硕士学位。对数学有浓厚德兴趣，18岁起开始发表论文。大量的写作使他在1735年右眼因眼疾而失明。1771年的一场大病使他的左眼也完全失明。然而他仍凭着惊人的记忆力和心算技巧进行研究，通过口授完成了大量论著。他的全集有74卷之多，他的《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》已成为数学中的经典著作。他的研究几乎涉及到数学的每个分支。数学中有许多定理和公式都是以欧拉的名字命名的，如：关于多面体的欧拉定理、数论中的欧拉函数、复变函数中的欧拉公式以及微分方程中的欧拉方程等。欧拉早在1761年就给出了群U(n)的例子。他最突出的数学贡献是扩展了微积分的领域，为分析学的一些重要分支与微分几何的产生和发展奠定了基础，他还在代数、数论、组合数学等许多领域中有所建树，如发现了实系数多项式的分解定理；给出费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数；解决了著名的哥尼斯堡七桥问题等。现在的许多数学符号也起源与欧拉，如用Σ来表示求和（1755年），用i 表示虚数单位（1777年），用e 表示自然对数的底数（1736年）等。法国天文学家、物理学家阿拉戈（D.F.J.Arago)称赞欧拉道：“欧拉计算起来轻松自如，就像人们呼吸，鹰在空中飞翔。” 欧拉于1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。

2.高斯小传 高斯（C.F.Gauss), 德国数学家、物理学家和天文学家。1777年4月30日出生于不伦瑞克。1855年卒于格丁根。高斯是近代数学的奠基者之一，被人们誉为“数学王子”。高斯19岁时发现了正十七边形的尺规作图法，这是欧几里得以来悬而未决得问题。1799年高斯在他得博士论文中证明了代数基本定理；他后来又先后给出了3个证明，而且当他给出第四个证明时已年逾古稀了。 1801年，高斯发表了他数论方面的不朽巨著《算术探究》，该书系统总结了以前的工作，并引入了许多他自己的一些基础性的思想，包含模算术的概念。此书奠定了近代数论的基础，被称为是“加七道封漆的著作”。 1801年，高斯还经过几个星期的努力创立了行星椭圆轨道法，利用有限的几个观测数据计算出了一颗当时未知行星的轨道，以后天文学家在预测的位置上重新找到了这颗星（谷神星）。高斯后来总结了这种方法，写成《天体沿圆锥曲线绕日运动的论，在该书中他还阐述了最小二乘法原理。 1807年，高斯成为天文学教授，并担任了格丁根大学新天文台的台长。在以后的几十年中，高斯不仅继续在几乎所有的数学分支中作出重要贡献，而且在天文学、力学、电磁学、光学、测地学等领域也有很大贡献。他与别人共同发明了电磁电报。现在磁通密度的单位就是以高斯命名的。由于高斯的使用，才使许多数学家接受了复数。高斯还培养了许多著名数学家，如：黎曼

数学史心得

数学史学习心得 通过一学期的学习，使我对数学史与数学文化有了进一步的了解。 学习了东方初等数学简介、西方初等数学简介和高等数学简介，使我对数学发展有了更多的了解。人类从非洲出来，沿河流走向世界。四大古国，埃及有尼罗河，巴比伦位于两河流域，印度位于印度河流域，中国有长江、黄河两大河流。在高等数学中，数学分为初等数学、变量数学和现代数学。 关于几何学发展，对欧式几何的产生、发展和翻译以及《原本》进行了了解与学习。数学思想有递推思想、数形结合思想和拓扑思想。 代数学分为古典代数和抽象代数，也可分为初等代数和近世代数。初等代数，也就是代数方程或方程组，经过方程论转向近世代数。在代数学转向的过程中，出现了许多杰出的数学家，其中阿贝尔和伽罗瓦给我留下了深刻的印象。 很难否认，在所有学科家里，数学家里有着更多的天才，比如我们常说的高斯和拉普拉斯。但由于成就和经历的相似，最灿烂也最常被人一起提起的是十九世纪的两位数学神童：阿贝尔和伽罗瓦。 尼尔斯·亨利克·阿贝尔，1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。阿贝尔生活的平淡无奇，而他在纯数学上贡献又只存在于极少的专业人士的心中。相比而言，另一位和他处于同一时代、经历、际遇、才华以及在数学上的贡献都很相似的法国数学天才伽罗瓦，则因其成为一宗谜案的传奇性死亡而广为人知。他的最主要成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。对伽罗瓦来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界。也正因如此，他才受到了冷遇。但伽罗瓦理论对近代数学的发展产生了深远影响，它已渗透到数学的很多分支中。 伽罗瓦和阿贝尔两人实在是非常相似。都生活在一个不幸的年代，少年天才，怀才不遇，英年早逝，甚至是被法国科学院同样的一批权威们所排斥。那些权威沉醉于古典数学的严谨和优美的，对一切新的理论持不信任的态度，根本没有那些另类天才们存活的空间。这不禁让人感到一种来自智慧的孤独与悲哀。然而，有时候会奇怪地觉得这两人的命运未必是最坏的。做数学，尤其是纯数学的，往往需要更多的天赋。而数学之路又总是充满着孤独和寂寞，于是也才有了那么多的怪人，并且每每不得善终。他们的伟大也只存活于行内人的心中。 在这里，我们后人感受到的是一种孤独与悲哀，一种来自智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉。由伽罗瓦开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。

阿贝尔

尼尔斯·阿贝尔 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。 生于挪威芬岛附近的Nedstrand，就读于奥斯陆大学。1825年得到政府资助，游学柏林和巴黎。生前不得志，无法获得教席俾专心研究,最后因肺结核 在挪威的弗鲁兰逝世。死后两天，来自柏林的聘书才寄到 家中。跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。现代 有以他名字命名的阿贝尔奖。 数学成就 阿贝尔证明了二项式定理对所有的数字成立，扩展了欧拉 的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代 数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明 （和伽罗瓦各自独立发明）极其重要的理论：群论。除 此之外，亚伯写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数 的巨著。阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格，“他是像狐 狸用尾巴抹去它的踪迹”，就如高斯自己说的：“建筑完成就要拆除脚手架。[1] 死因 在巴黎期间，阿贝尔曾染上肺结核。1828圣诞节，他跑遍雪橇到Froland再次访问他的未婚妻。夫妇一起享受假期使其病情稍有缓解。同时，克雷勒已为亚伯在柏林寻找新的工作，一个大学的教授职位。克雷勒4月8日写信给阿贝尔1829年告诉他这个好消息，但它来得太晚了，在这之前两天，阿贝尔病逝。 主要贡献和研究成果 ?椭圆函数论 ?阿贝尔积分理论 ?阿贝尔定理 ?阿贝尔群 ?阿贝尔判别法 阿贝尔群 阿贝尔群也称为交换群或可交换群，它满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和矢量空间。阿贝尔群的

阿贝尔和伽罗华

阿贝尔和伽罗华 三、四次方程的一般解法找到之后，对一般的五次方程求解的研究迟迟没有得到解决。 大约三百年之后，在1825年，年仅22岁的挪威大学生阿贝尔(Abel N.H.,1802.8.5~1829.4.6)终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示。这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束。 阿贝尔的证明是：对于一般的高于四次的代数方程来说，如果用由方程的系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。 在阿贝尔证明了上述结论四年以后，在1829年，比阿贝尔更为年轻的法国大学生伽罗华（Galois E.,1811.10.26~1832.5.31）,在研究了拉格朗日（Lagrange j.L.,1736.1.25~1813.4.10）《关于代数方程解法的思考》及柯西（Cauchy A.L.B,1789.8.21~1857.5.23）、阿贝尔等人成果的基础上，创立了伽罗华理论，彻底解决了代数方程的可解条件问题。 伽罗华使用的方法不同于阿贝尔的方法。伽罗华使用的是一种深刻的现代化的方法--群论方法。尽管在伽罗华之前有人提出过"群"，但使"群"成为数学的一种深刻的现代化方法的是伽罗华。伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论。 由于伽罗华的创造性的成绩，有人说：如果要在数学史上列举20位贡献最大的数学家的话，伽罗华必为其中之一。遗憾的是，创立了如此伟大理论的伽罗华，年仅20岁就死于 了涉及恋爱纠纷的一场决斗。 2

伽罗瓦 介绍

伽罗瓦 河北师范学院邓明立 伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学． 伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败． 1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果． 据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取． 柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿． 1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在