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数学建模习题指导
第一章 初等模型
讨论题1 大小包装问题
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。
（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。
（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示：
决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。
单价随重量增加而减少
单价的减少随重量增加逐渐降低
思考题2 划艇比赛的成绩
赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格
第二章 线性代数模型
森林管理问题
森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，
γβα++=32w w C w
w c γβα++=-3123431w w c γβ--='-3
29434w w c γβ+=''-
在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。
思考：
试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习：
将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存
达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
第三章 优化模型
讨论题
1）最优下料问题
用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题
甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数
又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
（1）令
（2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1
三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ，
A
B 857.0=n R )
(),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y
x x
t 11=-++=
。
)(t p
练习2 下料问题
某车间有一批长度为180公分的钢管（数量充分多）今为制造零件，要将其截成三种不同长度的管料，70公分，52公分，35公分。生产任务规定，这三种料的需要量分别不少于100根，150根，100根。我们知道，截分钢管时不免要产生“边角料”，从节约原料的观点来考虑，应该采取怎样的截法，才能在完成任务的前提下，使总的边角料达到最小限度？
所 有 可 能 的 截 法
现用 分别表示采用每个截法的次数，则问题变成在约束条件：
()为正整数
且j j x j x x x x x x x x x x x x x x x x 821010053231502321002876431765324321,,,, =≥≥+++++≥++++≥+++
下求目标函数： 的最小值。 实例1 加工奶制品的生产计划
一奶制品厂用牛奶生产A 和B 两种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用12 小时加工成3 公斤A ，或者在设备乙上用8 小时加工成4 公斤B 。根据市场需求，生产的A ，B 全能出售，且每公斤A 获利24元，每公斤B 获利16元。现在加工每天能得到50 桶牛奶的供应，每天正式工人总劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100 公斤A ，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：
（1）若用35元买到1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ （2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ （3）由于市场需求变化，每公斤A 获利增加到30元，应否改变生产计划？
.,,.,,.][.32121045
5030807052073051050231322122111232221131211232221131211==≥?
??
??=+=+=+???≤++≤+++++++=j i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x u ij
8218765432152362452365x x x x x x x x f +++++++=
第四章概率统计模型
练习：
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？
用本章所学方法，思考以下几个方面的问题：
1）酒店
酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多），而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。
2）汽车出租公司
汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计划中要多的汽车。
3）图书馆
图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试建立书籍使用的模型。
练习：
下表给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据，从散点图，可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。
第五章离散模型
思考：多名专家的综合决策问题
五练习
1合理分配资金问题
某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，如何合理使用这笔利润。
2 足球队排名次（CUMCM）1993年 B 题
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling
3 自己设计有关题目
如：高考填报志愿问题，选择职业问题，排名（排序）问题。
合理分配资金问题
1 层次结构模型
2 求解
Z-C矩阵
{0.667, 0.333, 0}
第六章 微分方程模型 思考2 屋檐的水槽问题
房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋
檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在 。
a
现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径
50~20
为7.5cm ）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm ），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。
1 问题的简化
水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。 2 假设
（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上； （2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中； （3）直接落入水槽中的雨水可忽略不计； （4）落在房顶上的雨没有溅到外面去；
（5）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等。
4 模型的建立
根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。
01,Q Q ()t r 表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积实际受雨的水平面积αcos bd ，房顶上雨水的流速()cos bd t r 01)(Q Q t V -='
流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量 排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。 根据能量守恒原理 ， ，
水槽中水的体积为 ， θ
h
5模型的求解与分析
接下来请同学们自己完成。
古尸年代鉴定问题
在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，14
c 与12
c 的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？
第六章 其他模型
某大楼人员的疏散问题
ααsin cos )(1bd t r Q =)(21
2
t mgh mv =)(2t gh v =)(20t gh A Q =)
cos sin ()(2θθθ-=d a t V a h a -=θcos a h ah 2
2sin -=θ()a
h a a 22sin --=θ)2)((cos )(2
212a h ah h a a h a d a t V ----=-)()(2)(2)(2t h t ah t h d t V -'=')()(2)(22t h t ah t h d -'ααsin cos )(bd t r =)(2t gh A -)
()(22)
(2cos sin )(2t h t ah d t gh A bd t r dt
dh --=αα
数学模型第三版课后习题答案.doc
《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则
1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6
数学建模练习题
数学建模试题 1、新工人的学习曲线 在电冰箱、电视机、汽车等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动。在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间，随着不断的工作，新工人的熟练程度逐步提高，生产单位产品所需的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度以后，生产单位产品所需要的劳动时间就会稳定在一个定值。 纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布以后，工人织每匹布需要用16小时；当累计织完64匹布时，工人织每匹布用10小时.已知熟练工人织每匹布用8小时，是确定出新工人的学习曲线，并计算新工人用多少时间才能达到熟练工人的程度。 2、乙酸回收的最好效果 在,A B 两种物质的溶液中，我们想提取出物质A ，可以采取这样的方法：在,A B 的溶液中加入第三种物质C ，而C 与B 不互溶，利用A 在C 中的溶解度较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。 现有稀水溶液的乙酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m 。进行3次萃取来回收乙酸.问每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取的乙酸最多？ 3、陈酒出售的最佳时机 某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入050R =万元，如果窖 藏起来待来日（第n 年）按陈旧价格出售，第n 年末可得总收入为0R R =元。而银行利率为0.05r =。试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。 4、电子游戏中的数学 近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。 在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的奖金分配表： 牌型 奖金（元） 同花大顺（10到A ） 800 同花顺 50 四张相同点数的牌 25 满堂红（三张同点加一对） 8 同花 5
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
数学建模习题
4 美术馆悬挂着一副高h 的画，画的下边比一个观众的眼睛高d ，这个观众站在距离墙多 远的距离才是最佳视角？ 假设：人与墙的距离为x x d = αtan x h d += +)tan(βα ))tan((tan αβαβ-+= α βαα βαt a n )t a n (1t a n )t a n (?++-+= x h d x d x h +?+= 1 x h d d x h )(+?+ = ∵ab b a 2≥+ 当b a =时 ab b a 2=+ ∴) (2tan h d d h +?= β
8. 细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的．而有些细菌是有益的、更多 的是疾病之源．下面记录了某种细菌的繁殖数据，研究： （1）开始时细菌的个数是多少？ （2）如果细菌以过去的速度继续增长，一个月后细菌的个数是多少？ 细菌繁殖过程记录数据表1-2 假设：（1），一个月是30天，天数为x，开始时细菌的个数为k。 （2），细菌的生长环境（包括温度，湿度，空气含量等）保持不变；细菌在生长过程中没有大量死亡的特殊情况； x （1） y* e k 由上表公式得出开始时细菌的个数约是401个 带入公式（1）算出一个月后细菌的个数：
30 0.1969456 * y 401.573190 * 82 e 得出一个月后细菌的个数约是65266个。
2． 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。 (2)给出单位重量价格C 与W 的关系。画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。解释实际意义是什么。 （1） 假设：商品几何相似相对长度为L ，质量为W ，体积为V ，表面积为S 。 因为：生产成本与重量W 成正比，与体积V 成正比，与长度3 L 成正比。 包装成本与表面积S 成正比，与长度2 L 成正比，与体积32V 成正比，与重量3 2W 成正比。 所以：33 221k w k w k C ++= 又∵w C c = ∴133 121--++=w k w k k c ( 321,,k k k 为大于零的常数) （2） 单位重量价格： w c C = ∵ 2 334 23 1----='w k w k c ＞0 3337 229 4 --+=''w k w k c ＞0 ∴图像为单调递减且上凹。
数学建模试题
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级 统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩： 一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。 二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（20分） 某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以A 1, A 2表示；有三种规格的设备能完
成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 x ; 1 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 2 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 3 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 x; 4 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 5 按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 6 按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 7 按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 8 按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为 x; 9 则目标函数为： 约束条件为： 目标函数整理得： （2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下： f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y 输出结果为：
最新数学建模习题答案资料
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
D数学建模试题
D数学建模试题 Hessen was revised in January 2021
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） D题公务员招聘 我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。 现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下： （一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。 （二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。 （三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。 该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。 招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题： （1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案； （2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案； （3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行 (4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。 表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
数学建模习题
数学建模与数学实验课程练习 练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06 /12 625 .05 .04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似 值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游 1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。 如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取 水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0) P x
31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
数学建模模拟试题及答案.pdf
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
数学建模 练习题1
2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。
二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重
从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重
通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为
数学建模小题库
数学模型选修课考查题 1、某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ 2、如图，用宽ω的布条缠绕直径d 的圆柱形管 道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹 角α应多大？若知道管道长度l ，需用多长布 条（可考虑两端的影响）？如果管道是其它形 状（如截面是6边形，椭圆等等）呢？ 3、建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（00t T <<）一边生产一边销售，后 来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。 讨论k r 和k r ≈的情况。 4、某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A ，B ）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A ，B 。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3,1,2,1（%），进货价格分别为6,16,10,15（千元/吨）；产品A ，B 的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A ，B 的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？ 5、用层次分析法解决一个实际问题，可参考下列问题： （1） 学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。可分 为相对评价和绝对评价两种情况讨论。 （2） 你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何做出决策。 （3） 为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。 （4） 你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔……
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f
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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=??=??p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=
数学建模习题指导
数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-
第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p
数学建模知识竞赛题库
数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩
11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）